【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-3教案：第1章-拓展資料：排列組合易錯(cuò)題分析

高中數(shù)學(xué)排列組合易錯(cuò)題分析排列組合問(wèn)題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不留意，極易出錯(cuò).本文選擇一些在教學(xué)中同學(xué)常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行正誤會(huì)析，以饗讀者.1沒(méi)有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列組合問(wèn)題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問(wèn)題的前提.例1（1995年上海高考題）從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有種.誤會(huì)：由于可以取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.錯(cuò)因分析：誤會(huì)的緣由在于沒(méi)有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”方法，每類方法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類方法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有種方法；其次步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成其次類方法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過(guò)程共有種方法.例2在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠狀況共有（）種.（A）

（B）

（C）

（D）誤會(huì)：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A.錯(cuò)因分析：誤會(huì)是沒(méi)有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.說(shuō)明：本題還有同學(xué)這樣誤會(huì)，甲乙丙奪冠均有四種狀況，由乘法原理得.這是由于沒(méi)有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2推斷不出是排列還是組合出錯(cuò)在推斷一個(gè)問(wèn)題是排列還是組合問(wèn)題時(shí)，主要看元素的組成有沒(méi)有挨次性，有挨次的是排列，無(wú)挨次的是組合.例3有大小外形相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤會(huì)：由于是8個(gè)小球的全排列，所以共有種方法.錯(cuò)因分析：誤會(huì)中沒(méi)有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒(méi)有挨次，是組合問(wèn)題.這樣共有：排法.3重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)在排列組合中常會(huì)遇到元素支配問(wèn)題、平均分組問(wèn)題等，這些問(wèn)題要留意避開(kāi)重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書(shū)全部分給4個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少一本，不同的分法種數(shù)為（）（A）480

種

（B）240種

（C）120種

（D）96種誤會(huì)：先從5本書(shū)中取4本分給4個(gè)人，有種方法，剩下的1本書(shū)可以給任意一個(gè)人有4種分法，共有種不同的分法，選A.錯(cuò)因分析：設(shè)5本書(shū)為a、b、c、d、e，四個(gè)人為甲、乙、丙、丁.依據(jù)上述分法可能如下的表1和表2：乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最終一本書(shū)e給甲的狀況；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最終一本書(shū)a給甲的狀況.這兩種狀況是完全相同的，而在誤會(huì)中計(jì)算成了不同的狀況。正好重復(fù)了一次.正解：首先把5本書(shū)轉(zhuǎn)化成4本書(shū)，然后分給4個(gè)人.第一步：從5本書(shū)中任意取出2本捆綁成一本書(shū)，有種方法；其次步：再把4本書(shū)分給4個(gè)同學(xué)，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選B.例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天支配一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）種.（A）5040

（B）1260

（C）210

（D）630誤會(huì)：第一個(gè)人先選擇2天，其次個(gè)人再選擇2天，剩下的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有：，選B.錯(cuò)因分析：這里是均勻分組問(wèn)題.比如：第一人選擇的是周一、周二，其次人選擇的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人選擇的是周三、周四，其次人選擇的是周一、周二，所以在全排列的過(guò)程中就重復(fù)計(jì)算了.正解：種.4遺漏計(jì)算出錯(cuò)在排列組合問(wèn)題中還可能由于考慮問(wèn)題不夠全面，由于遺漏某些狀況，而出錯(cuò)。例6用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）（A）36個(gè)

（B）48個(gè)

（C）66個(gè)

（D）72個(gè)01，3誤會(huì)：如右圖，最終一位只能是1或3有兩種取法，又由于第1位不能是0，在最終一位取定后只有3種取法，剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有種排法，共有個(gè).錯(cuò)因分析：誤會(huì)只考慮了四位數(shù)的狀況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有72個(gè)，選D.5忽視題設(shè)條件出錯(cuò)在解決排列組合問(wèn)題時(shí)確定要留意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解.13254例13254地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）誤會(huì)：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域，有種，由乘法原理共有：種.錯(cuò)因分析：據(jù)報(bào)道，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒(méi)有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不愿定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).正解：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤會(huì)知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：種.例8已知是關(guān)于x的一元二次方程，其中a、，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).誤會(huì)：從集合中任意取兩個(gè)元素作為a、b，方程有個(gè)，當(dāng)a、b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè)，共有個(gè).錯(cuò)因分析：誤會(huì)中沒(méi)有留意到題設(shè)中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解狀況，由于同解、同解，故要減去2個(gè)。正解：由分析，共有個(gè)解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊狀況出錯(cuò)在排列組合中要特殊留意一些特殊狀況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò).例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）(A)1024種 (B)1023種 (C)1536種 (D)1535種誤會(huì)：由于共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種狀況，減去全不取的1種狀況，共有種.錯(cuò)因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤會(huì)中被計(jì)算成4種狀況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種狀況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種狀況，100元人民幣的取法有3種狀況，再減去全不取的1種狀況，所以共有種.7題意的理解偏差出錯(cuò)例10現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.（A）

（B）

（C）

（D）誤會(huì)：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A.錯(cuò)因分析：誤會(huì)中沒(méi)有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的狀況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.8解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)有些排列組合問(wèn)題用直接法或分類爭(zhēng)辯比較困難，要實(shí)行適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問(wèn)題的解決.例10高三班級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必需有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的支配方案有（）.（A）16種（B）18種（C）37種（D）48種誤會(huì)：甲工廠先派一個(gè)班去，有3種選派方法，剩下的2個(gè)班均有4種選擇，這樣共有種方案.錯(cuò)因分析：明顯這里有重復(fù)計(jì)算.如：a班先派去了甲工廠，b班選擇時(shí)也去了甲工廠，這