2025年人教版七年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 重難點01 相交線與平行線熱考模型（10種模型+專題訓(xùn)練+10種模型解析）

重難點01相交線與平行線熱考模型（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種模型解析）【題型匯總】題型01三線八角的識別已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁內(nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁內(nèi)角互補：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.解題方法：運用平行線的性質(zhì)計算角的度數(shù)，要正確地辨認同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，同時結(jié)合平行線的性質(zhì)及其他有關(guān)角的性質(zhì)、定義進行計算.1．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．2．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在用數(shù)字表示的角中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯角？哪些是同旁內(nèi)角？題型02豬蹄模型豬蹄模型豬蹄模型-進階（又稱“鋸齒”模型）條件AB∥DEa∥b圖示結(jié)論∠B+∠E=∠BCE∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE左拐角之和=右拐角之和輔助線作法：過拐點作平行線，有多少拐點就作多少平行線.【補充】選、填題結(jié)論直接套用，解答題需寫過程.3．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖①，QUOTE，試問QUOTE與QUOTE的關(guān)系是什么？并說明理由；（2）如圖②，QUOTE，試問QUOTE與QUOTE的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論；（3）如圖③，QUOTE，試問QUOTE與QUOTE的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論．4．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線QUOTE，直線QUOTE??3l3和直線QUOTE??1l1、QUOTE??2l2分別交于點QUOTE??C和點QUOTE??D，QUOTE??P為直線QUOTE??3l3上一點，QUOTE??A、QUOTE??B分別是直線QUOTE??1l1、QUOTE??2l2上的定點．設(shè)QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)若QUOTE??P點在線段QUOTE????CD（QUOTE??C、QUOTE??D兩點除外）上）運動時，問QUOTE、QUOTE、QUOTE之間的關(guān)系是什么？說明理由．(2)在QUOTE的前提下，若QUOTE??P點在線段QUOTE????CD之外時，QUOTE、QUOTE、QUOTE之間的關(guān)系又怎樣？5．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）綜合與探究：已知QUOTE，QUOTE??E，QUOTE??F分別是QUOTE????AB，QUOTE????CD上的點，點QUOTE??P在QUOTE????AB，QUOTE????CD之間，連接QUOTE????PE，QUOTE????PF．(1)如圖1，若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．(2)如圖2，QUOTE與QUOTE的平分線交于點QUOTE??Q，猜想QUOTE與QUOTE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)如圖3，QUOTE與QUOTE的平分線交于點QUOTE??Q，猜想QUOTE與QUOTE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．QUOTE6．（23-24七年級上·湖南衡陽·期末）【模型發(fā)現(xiàn)】某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在活動中發(fā)現(xiàn)：如圖1的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是大家就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，QUOTE，QUOTE??M是QUOTE????AB、QUOTE????CD之間的一點，連接QUOTE????BM，QUOTE????DM，則有QUOTE．請你證明這個結(jié)論．(2)【運用】如圖2，QUOTE，QUOTE??M、QUOTE??N是QUOTE????AB、QUOTE????CD之間的兩點，且QUOTE，請你利用（1）中“豬蹄模型”的結(jié)論，找出QUOTE、QUOTE、QUOTE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【延伸】如圖3，QUOTE，點QUOTE??E、QUOTE??F分別在QUOTE????AB、QUOTE????CD上，QUOTE????EN、QUOTE????FG分別平分QUOTE和QUOTE，且QUOTE．如果QUOTE，那么QUOTE等于多少？（用含QUOTE偽偽的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)論，無需證明）題型03鉛筆頭模型鉛筆頭模型鉛筆頭模型-進階條件AB∥DEAB∥DEa∥b圖示結(jié)論∠B+∠BCE+∠E=360°∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°[類推]7．（20-21七年級下·廣東東莞·期中）（1）如圖（1）QUOTE，猜想QUOTE與QUOTE的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知QUOTE，猜想圖中的QUOTE與QUOTE的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知QUOTE，猜想圖中的QUOTE與QUOTE的關(guān)系，不需要說明理由．

QUOTE????鈭??8．（21-22七年級下·山東濟寧·期中）如圖，QUOTE，點E為兩直線之間的一點．(1)如圖1，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE_______；(2)如圖2，試說明，QUOTE；(3)如圖3，若QUOTE的平分線與QUOTE的平分線相交于點F，判斷QUOTE與QUOTE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖①，QUOTE，則QUOTE________；如圖②，QUOTE，則QUOTE________，請你說明理由；（2）如圖③，QUOTE，則QUOTE________；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，QUOTE，QUOTE和QUOTE的平分線相交于點F，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．10．（23-24七年級下·山西運城·期中）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)活動課上探索了平行線中的“拐點”問題．歸納模型：若QUOTE，如圖①“QUOTE??M”型和如圖②鉛筆型．試猜想QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系．【獨立思考】（1）如圖①Q(mào)UOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖②QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．【問題遷移】（3）如圖③，QUOTE，QUOTE????AN，QUOTE????CN分別是QUOTE，QUOTE的角平分線，探索QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．（4）如圖④，QUOTE，QUOTE????AP、QUOTE????CP分別是QUOTE、QUOTE的角平分線，探索QUOTE、QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．【聯(lián)想拓展】如圖⑤，已知直線QUOTE????AB，將一個含QUOTE的直角三角板QUOTE??????QCP，使頂點QUOTE??P落在直線QUOTE????AB上，過點QUOTE??Q作直線QUOTE????MN，且滿足QUOTE．（5）請你探索直線QUOTE????MN與QUOTE????AB具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．7．（20-21七年級下·廣東東莞·期中）（1）如圖（1）QUOTE，猜想QUOTE與QUOTE的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知QUOTE，猜想圖中的QUOTE與QUOTE的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知QUOTE，猜想圖中的QUOTE與QUOTE的關(guān)系，不需要說明理由．

8．（21-22七年級下·山東濟寧·期中）如圖，QUOTE，點E為兩直線之間的一點．(1)如圖1，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE_______；(2)如圖2，試說明，QUOTE；(3)如圖3，若QUOTE的平分線與QUOTE的平分線相交于點F，判斷QUOTE與QUOTE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖①，QUOTE，則QUOTE________；如圖②，QUOTE，則QUOTE________，請你說明理由；（2）如圖③，QUOTE，則QUOTE________；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，QUOTE，QUOTE和QUOTE的平分線相交于點F，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．10．（23-24七年級下·山西運城·期中）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)活動課上探索了平行線中的“拐點”問題．歸納模型：若QUOTE，如圖①“QUOTE??M”型和如圖②鉛筆型．試猜想QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系．【獨立思考】（1）如圖①Q(mào)UOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖②QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．【問題遷移】（3）如圖③，QUOTE，QUOTE????AN，QUOTE????CN分別是QUOTE，QUOTE的角平分線，探索QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．（4）如圖④，QUOTE，QUOTE????AP、QUOTE????CP分別是QUOTE、QUOTE的角平分線，探索QUOTE、QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．【聯(lián)想拓展】如圖⑤，已知直線QUOTE????AB，將一個含QUOTE的直角三角板QUOTE??????QCP，使頂點QUOTE??P落在直線QUOTE????AB上，過點QUOTE??Q作直線QUOTE????MN，且滿足QUOTE．（5）請你探索直線QUOTE????MN與QUOTE????AB具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．題型04大腳模型類型大腳模型骨折模型已知AB∥CD圖示結(jié)論∠E=∠1-∠3即：腳尖度數(shù)=大角-小角∠E=∠3-∠111．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知QUOTE．(1)QUOTE，求QUOTE的度數(shù)；(2)猜想QUOTE三者之間的關(guān)系并加以說明．12．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，請判斷QUOTE????AB與QUOTE????EF的位置關(guān)系，并說明理由．13．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖QUOTE??a，QUOTE，猜想QUOTE與QUOTE、QUOTE的關(guān)系，并說明理由．(1)填空：解：猜想QUOTE．理由：過點QUOTE??P作QUOTE，如圖QUOTE??e所示，所以QUOTE(①___________)．因為QUOTE，QUOTE，所以QUOTE(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么②___________)，所以QUOTE(③___________)，所以QUOTE④___________，即QUOTE；(2)依照上面的解題方法，觀察圖QUOTE??b，已知QUOTE，猜想圖中的QUOTE與QUOTE、QUOTE的關(guān)系，并說明理由；(3)觀察圖QUOTE??c和圖QUOTE??d，已知QUOTE，猜想圖中的QUOTE與QUOTE、QUOTE的關(guān)系，不需要說明理由．14．（23-24七年級下·廣東韶關(guān)·期中）【探究學(xué)習(xí)】小學(xué)階段，我們可以通過“拼”角、“折”角，觀察得到三角形內(nèi)角和為QUOTE180擄180擄．現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)，就可以證明此結(jié)論的正確性了．（1）如圖1，過QUOTE的頂點A作QUOTE????BC的平行線QUOTE????ED，請你證明三角形的內(nèi)角和為QUOTE180擄180擄；【解題反思】平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能．【遷移應(yīng)用】（2）健康騎行越來越受到老百姓的喜歡，自行車的示意圖如圖2，其中QUOTE．①若QUOTE，QUOTE，則QUOTE的度數(shù)為______；②若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．（3）如圖3，若QUOTE，點P在QUOTE????AB、QUOTE????CD外部，請直接寫出QUOTE、QUOTE、QUOTE之間的關(guān)系．15．（23-24七年級下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·階段練習(xí)）【感知探究】如圖①，已知QUOTE，點M在QUOTE????AB上，點N在QUOTE????CD上，求證：QUOTE【類比遷移】如圖②，QUOTE的數(shù)量關(guān)系為（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，已知QUOTE，QUOTE，則QUOTE【拓展延申】如圖④，已知QUOTE，QUOTE分別平分QUOTE和QUOTE，探究QUOTE之間的關(guān)系，并說明理由QUOTE題型05蛇形模型條件AB∥CD圖示結(jié)論∠BCD+∠D-∠B=180°∠BCD+∠B-∠D=180°16．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）生活情境·山路“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界，數(shù)學(xué)活動課上，老師把山路抽象成圖2的樣子，并提出了一個問題：在圖2中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．17．（23-24七年級下·遼寧營口·階段練習(xí)）如圖，QUOTE????ABQUOTEQUOTE????DC，點QUOTE??E在直線QUOTE????AB，QUOTE????DC之間，連接QUOTE????DE，QUOTE????BE．

(1)寫出QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)；18．（22-23六年級下·山東煙臺·期末）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點QUOTE??A是QUOTE????BC外一點，連接QUOTE????AB、QUOTE????AC，求QUOTE的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．

解：過點QUOTE??A作QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，又因為QUOTE，所以QUOTE．

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將QUOTE、QUOTE、QUOTE“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖1，已知QUOTE，求QUOTE的度數(shù)；(3)深化拓展：已知直線QUOTE，點QUOTE??P為平面內(nèi)一點，連接QUOTE????PA、QUOTE????PD．①如圖2，已知QUOTE，QUOTE，請直接寫出QUOTE的度數(shù)；②如圖3，請判斷QUOTE、QUOTE、QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

19．（21-22八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）已知直線QUOTE，QUOTE??P為平面內(nèi)一點，連接QUOTE????PA、QUOTE????PD．(1)如圖QUOTE11，已知QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)；(2)如圖QUOTE22，判斷QUOTE、QUOTE、QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖QUOTE33，在（2）的條件下，QUOTE，QUOTE????DN平分QUOTE，若QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．題型06平行平分三等角解題大招：平行平分得三等角.20．（24-25七年級上·全國·期末）如圖，QUOTE，直線QUOTE????EF分別與直線QUOTE????,????AB,CD交于點E，F(xiàn)，點G在QUOTE????CD上，QUOTE????EG平分QUOTE．若QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．

21．（24-25八年級上·湖北宜昌·階段練習(xí)）如圖，QUOTE????CD是QUOTE的角平分線，QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．22．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，QUOTE，三角形QUOTE??????EFG的頂點F，G分別落在直線QUOTE????AB，QUOTE????CD上，QUOTE????GE交QUOTE????AB于點H，QUOTE????GE平分QUOTE，若QUOTE，QUOTE求QUOTE的度數(shù)．題型07平行線折疊問題記住三句話:①折疊前后對應(yīng)角，對應(yīng)邊相等.②折疊不改變原先的平行關(guān)系.③以折線為對稱軸.23．（23-24七年級下·山東濟寧·期中）如圖，在長方形QUOTE????????ABCD中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，將長方形QUOTE????????ABCD沿著直線QUOTE????BD折疊，使點C落在QUOTE??'C'處，QUOTE????BC交QUOTE????AD于點E，求QUOTE的度數(shù)．24．（23-24七年級下·山東菏澤·期末）已知：在圖QUOTE1?1?圖QUOTE66中，QUOTE，點QUOTE??E，點QUOTE??F，點QUOTE??G與QUOTE????AB，QUOTE????CD在同一平面內(nèi)．(1)探究與表達請直接寫出：QUOTE圖QUOTE11中QUOTE，QUOTE，QUOTE的數(shù)量關(guān)系；QUOTE圖QUOTE22中QUOTE，QUOTE，QUOTE的數(shù)量關(guān)系；QUOTE圖QUOTE33中QUOTE，QUOTE，QUOTE的數(shù)量關(guān)系：QUOTE圖QUOTE44中QUOTE，QUOTE，QUOTE的數(shù)量關(guān)系；QUOTE圖QUOTE55中QUOTE，QUOTE，QUOTE的數(shù)量關(guān)系；QUOTE圖QUOTE66中QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE的數(shù)量關(guān)系；(2)推導(dǎo)與應(yīng)用如圖QUOTE77，將長方形紙片沿QUOTE????EF折疊，已知QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．25．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生們進行了折紙的系列綜合實踐活動：〖活動素材〗如圖，長方形紙片QUOTE．〖活動1〗如圖1，將長方形紙片QUOTE????????ABCD進行折疊，第1次QUOTE????EF折疊，折疊后QUOTE????EB與QUOTE????CD交于點G，在探究過程中，同學(xué)們通過測量發(fā)現(xiàn)QUOTE與QUOTE的度數(shù)總是相等的；〖活動2〗如圖2，在活動1的基礎(chǔ)上，將長方形紙片QUOTE????????ABCD進一步折疊，第2次沿QUOTE????MN折疊，且QUOTE，同學(xué)們通過研究發(fā)現(xiàn)QUOTE與QUOTE之間也存在一定的數(shù)量關(guān)系；〖活動3〗如圖3，在活動2的基礎(chǔ)上，作QUOTE的平分線QUOTE????FR，并反向延長與QUOTE的平分線交于點Q，QUOTE與QUOTE之間是否也存在確定的數(shù)量關(guān)系呢?〖任務(wù)1〗求證：QUOTE；〖任務(wù)2〗若QUOTE，求QUOTE的度數(shù)；〖任務(wù)3〗請畫出點Q，并直接寫出QUOTE與QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系．26．（23-24七年級下·福建三明·期中）綜合與實踐：七年級下冊第二章我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定，今天我們繼續(xù)探究：折紙中的數(shù)學(xué)—長方形紙條的折疊與平行線(1)知識初探如圖1，長方形紙條QUOTE????????ABCD中，QUOTE，QUOTE，QUOTE．將長方形紙條沿直線QUOTE????EF折疊，點A落在QUOTE??'A'處，點D落在QUOTE??'D'處，QUOTE??'??A'E交QUOTE????CD于點G．①若QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．②試猜想QUOTE和QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系，并進行說明．(2)類比再探如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將QUOTE對折，點C落在直線QUOTE????GE上的QUOTE??'C'處．點QUOTE??B落在QUOTE??'B'處，得到折痕QUOTE????GH，點QUOTE??'A'、QUOTE??G、QUOTE??E、QUOTE??'C'在同一條直線上，則折痕QUOTE????EF與QUOTE????GH有怎樣的位置關(guān)系?請說明理由．27．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)活動課上，琳琳同學(xué)將一張長方形紙條QUOTE????????ABCD沿QUOTE????BE折疊，點QUOTE??A落在點QUOTE??F處．(1)如圖QUOTE11，她通過測量發(fā)現(xiàn)：QUOTE，請你證明她的結(jié)論；(2)如圖QUOTE22，點QUOTE??M在QUOTE????AD上，點QUOTE??N在QUOTE????BC上，連接QUOTE????MN，QUOTE，將四邊形QUOTE????????MDCN沿QUOTE????MN所在直線折疊得到QUOTE????????MHGN，QUOTE????MN交QUOTE????BC于QUOTE??R，點QUOTE??D的對應(yīng)點落在點QUOTE??H處，點QUOTE??C的對應(yīng)點落在點QUOTE??G處．她通過測量發(fā)現(xiàn)：QUOTE，請你證明她的結(jié)論．(3)如圖QUOTE33，在（QUOTE22）的條件下，將四邊形QUOTE????????MHGN沿QUOTE????RN向上折疊得到四邊形QUOTE????????RPQN，點QUOTE??H的對應(yīng)點恰好落到QUOTE????AD上的點QUOTE??P處，點QUOTE??G落到點QUOTE??Q處，猜想QUOTE，QUOTE與QUOTE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．題型08三角板拼接模型常見的三角板與三角板（平行）拼接模型：類型兩條斜邊平行斜邊于直角邊平行兩條直角邊平行圖示頂點在斜邊上頂點在直角邊上頂點在邊上頂點重合【提示】根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和進行角度計算，計算線段長時會用到特殊角的三角函數(shù)值.28．（23-24七年級下·山東臨沂·期中）在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組的活動主題是《關(guān)于三角板的數(shù)學(xué)思考》．已知：QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．

(1)李華將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點E落在QUOTE????AB上，且QUOTE，求QUOTE的度數(shù)；(2)如圖2，張明將一個三角板QUOTE??????ABC放在一組直線QUOTE????MN與QUOTE????PQ之間，并使頂點B在直線QUOTE????MN上，頂點QUOTE??C在直線QUOTE????PQ上，現(xiàn)測得QUOTE，QUOTE，請判斷直線QUOTE????MN，QUOTE????PQ是否平行，并說明理由；(3)現(xiàn)將三角板QUOTE??????ABC按圖3方式擺放，仍然使頂點B在直線QUOTE????MN上，頂點C在直線QUOTE????PQ上，若QUOTE，請直接寫出QUOTE與QUOTE之間的關(guān)系式．29．（23-24七年級下·四川樂山·期末）將一副三角板按如圖放置，其中點QUOTE在同一直線上，QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)若QUOTE相交于點QUOTE??F，求QUOTE的度數(shù)；(2)將圖中的QUOTE繞點QUOTE??C以每秒QUOTE5擄5擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)得QUOTE，設(shè)運動時間為QUOTE??t秒．當(dāng)QUOTE??t為何值時，QUOTE??'??'A'B'與QUOTE????CD第一次平行；(3)QUOTE繞點QUOTE??C以每秒QUOTE5擄5擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)的同時，QUOTE繞點QUOTE??C以每秒QUOTE4擄4擄的速度逆時針旋轉(zhuǎn)QUOTE得QUOTE，旋轉(zhuǎn)過程中若射線QUOTE????'CB'、QUOTE????'CD'、QUOTE????'CE'中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平分，設(shè)運動時間為QUOTE??t秒，請求出滿足條件的QUOTE??t值．30．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點QUOTE??C按如圖方式疊放在一起，友情提示：QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)①若QUOTE，則QUOTE的度數(shù)為________．②若QUOTE，則QUOTE的度數(shù)為________．(2)由（1）猜想QUOTE與QUOTE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若QUOTE且點QUOTE??E在直線QUOTE????AC的上方，當(dāng)這兩塊直角三角板有一組邊互相平行時，請直接寫出QUOTE角度所有可能的值（不必說明理由）．31．（2025七年級下·江蘇揚州·專題練習(xí)）在七年級的“平行線的性質(zhì)與判定”的學(xué)習(xí)中，我們常借助于三角板來研究其相關(guān)知識，現(xiàn)有一副三角板如圖1所示，其中QUOTE．請同學(xué)們結(jié)合已有的知識及活動經(jīng)驗，解決下列問題：【初步感知】（1）如圖2，將上述三角板的直角頂點重合在一起．當(dāng)QUOTE時，QUOTE_________．（2）如圖3，當(dāng)CA平分QUOTE時，請寫出圖中兩條平行的直線，并說明理由．【深度探究】（3）將上述三角板按圖4所示的方式擺放，點A，B在直線GH上，點D，F(xiàn)在直線MN上，直線QUOTE，保持三角板ABC不動，現(xiàn)將三角板DEF繞點D以每秒QUOTE3擄3擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為QUOTE??sts，且QUOTE，則是否存在t的值，使邊BC與另一塊三角板DEF的一條邊平行？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．（4）將上述三角板按圖5所示的方式擺放，點C與點D重合，保持三角板ABC不動，將三角板DEF繞點C旋轉(zhuǎn)，使點F在直線BC上方，當(dāng)兩塊三角板的兩條邊互相平行時，若QUOTE度數(shù)的最大值為m，最小值為n，則QUOTE?????=m?n=_________．32．（23-24七年級下·江西南昌·期中）如圖1，將一副三角板按圖中所示位置擺放，點QUOTE??F在直線QUOTE????AC上，且QUOTE，QUOTE????DF與QUOTE????AB相交于點QUOTE??G，其中QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)求此時QUOTE的度數(shù)；(2)若三角板QUOTE??????DEF繞QUOTE??F點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)QUOTE時，求此時QUOTE的度數(shù)；(3)在（2）的前提下，三角板QUOTE??????DEF繞QUOTE??F點按逆時針方向以每秒QUOTE3擄3擄的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為QUOTE??t秒，當(dāng)QUOTE0<??<650<t<65時，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，是否還存在三角板QUOTE??????DEF的某一條邊與QUOTE????AB平行的情況？若存在，請求出所有滿足題意的QUOTE??t值；若不存在，請說明理由．題型09直尺與三角板拼接模型綜合類型一直尺與30°角的三角板拼接圖示解題方法利用三線八角求解結(jié)論∠1+∠2=90°∠1=∠2∠1+∠2=90°類型二直尺與45°角的三角板拼接圖示解題方法遇拐點作平行線三線八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解結(jié)論∠1+∠2=90°∠1=∠2=75°∠1=105°【提示】直尺本身含平行線，根據(jù)平行線性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和進行角度計算.33．（22-23七年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖1，一塊直尺和一塊含30°的直角三角板如圖放置，其中直尺和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：QUOTE????鈭??MN鈭B，QUOTE鈭燘????=60擄鈭燘AC=60擄，QUOTE鈭燙=90擄鈭燙=90擄，QUOTE????MN分別交QUOTE????AC、QUOTE????BC于點E、F、QUOTE鈭燘????鈭燘AC的角平分線QUOTE????AD交QUOTE????MN于點D，H為線段QUOTE????AB上一動點（不與A、B重合），連接QUOTE????FH交QUOTE????AD于點QUOTE??K．(1)當(dāng)QUOTE時，求QUOTE鈭燗????鈭燗KF．(2)QUOTE??H在線段QUOTE????AB上任意移動時，求QUOTE鈭燗????鈭燗KF，QUOTE鈭燞????鈭燞AK，QUOTE鈭燚????鈭燚FH之間的關(guān)系．(3)在（1）的條件下，將QUOTE鈻矰????鈻矰KF繞著點QUOTE??F以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為QUOTE，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)QUOTE鈻矰????鈻矰KF的其中一邊與QUOTE鈻矯????鈻矯EF的某一邊平行時，直接寫出此時QUOTE??t的值．34．（23-24七年級下·廣西河池·期末）如圖1，把一塊含QUOTE的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上．(1)如圖2，現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)QUOTE??擄n擄，當(dāng)QUOTE0<??<900<n<90，且點QUOTE??C恰好落在QUOTE????DG邊上時，請直接寫出QUOTE鈭?=鈭?=________°，QUOTE鈭?=鈭?=________°（結(jié)果用含QUOTE??n的代數(shù)式表示）；(2)在（1）的條件下，若QUOTE恰好是QUOTE的QUOTE5454倍，求QUOTE??n的值．35．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）將一副三角板如圖1所示擺放，直線QUOTE????鈭??GH鈭N．

(1)如圖2，現(xiàn)將三角板QUOTE??????ABC繞點QUOTE??A以每秒QUOTE2擄2擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，三角板QUOTE??????DEF不動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為QUOTE??t秒，當(dāng)?shù)谝淮涡D(zhuǎn)到QUOTE????鈭??BC鈭F時，QUOTE??t的值是多少？(2)若三角板QUOTE??????ABC不動，而三角板QUOTE??????DEF繞點QUOTE??D以每秒QUOTE1.5擄1.5擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為QUOTE??t秒，求當(dāng)?shù)谝淮涡D(zhuǎn)到QUOTE????鈭??DE鈭C時，QUOTE??t的值是多少？(3)若三角板QUOTE??????ABC繞點QUOTE??A以每秒QUOTE3擄3擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板QUOTE??????DEF繞點QUOTE??D以每秒QUOTE5擄5擄的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時間為QUOTE??t秒QUOTE(0<??<70)(0<t<70)，若邊QUOTE????BC與三角板QUOTE??????DEF的一條直角邊平行時，直接寫出所有滿足條件的QUOTE??t的值．36．（22-23八年級下·河南鄭州·開學(xué)考試）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．閱讀理解：如圖1，已知點A是QUOTE????BC外一點，連接QUOTE．求QUOTE鈭燘????+鈭燘+鈭燙鈭燘AC+鈭燘+鈭燙的度數(shù)．解：過點A作QUOTE????鈭??DE鈭C，∵QUOTE????鈭??DE鈭C，∴QUOTE又∵QUOTE，∴QUOTE．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”功能．方法運用：如圖2，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如上方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含QUOTE角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含QUOTE角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，求QUOTE的度數(shù)．37．（23-24七年級下·湖北鄂州·期末）如圖1，把一塊含QUOTE的直角三角板QUOTE??????ABC的QUOTE????BC邊放置于長方形直尺QUOTE????????DEFG的QUOTE????EF邊上．(1)【特例初探】如圖2，現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)QUOTE??擄n擄，當(dāng)QUOTE0<??<900<n<90，且點C恰好落在QUOTE????DG邊上時，請求QUOTE的度數(shù)．(2)【技能提升】在（1）的條件下，若QUOTE比QUOTE的一半多QUOTE，求n的值．(3)【綜合運用】如圖2，現(xiàn)將射線QUOTE????BC繞點B以每秒QUOTE5擄5擄的轉(zhuǎn)速逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線QUOTE????'BC'，同時射線QUOTE????QA繞點Q以每秒QUOTE4擄4擄的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線QUOTE????'QA'，當(dāng)射線QUOTE????QA旋轉(zhuǎn)至與QUOTE????QB重合時，則射線QUOTE均停止轉(zhuǎn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為QUOTE??sts．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在QUOTE？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．38．（23-24七年級下·重慶江北·期末）如圖，直線QUOTE????鈭??PQ鈭N，一副教學(xué)三角板中QUOTE鈭燗????=鈭燙????=90擄鈭燗BC=鈭燙DE=90擄，QUOTE鈭燗????=30擄鈭燗CB=30擄，QUOTE鈭燘????=60擄鈭燘AC=60擄，QUOTE鈭燚????=鈭燚????=45擄鈭燚CE=鈭燚EC=45擄，現(xiàn)按如圖1放置，其中點E在直線QUOTE????PQ上，點B，C均在直線QUOTE????MN上．(1)如圖1，當(dāng)QUOTE????CE平分QUOTE鈭燗????鈭燗CM時，求QUOTE鈭???????????鈭燩????鈭?aaCEQ鈭燩ED的值；(2)若將三角板QUOTE??????ABC繞點B以每秒3度的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)（QUOTE??A，QUOTE??C的對應(yīng)點分別為QUOTE??F，QUOTE??G），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．①在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2所示，當(dāng)邊QUOTE????鈭??BG鈭E，求QUOTE的值．②若三角板QUOTE??????ABC繞點B旋轉(zhuǎn)的同時，三角板QUOTE??????CDE繞點E以每秒2度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（QUOTE??C，QUOTE??D的對應(yīng)點為QUOTE??H，QUOTE??K），請直接寫出當(dāng)邊QUOTE????鈭??BG鈭K時QUOTE的值．題型10等積模型條件：AB∥CD圖形：結(jié)論：1)2)39．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，直線QUOTE，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點．(1)如果A、B、C為三個定點，點P在直線m上移動，那么無論點P移動到何位置，總有QUOTE________與QUOTE鈻矨????鈻矨BC的面積相等．理由是____________________；(2)如果點P在如圖所示的位置，請寫出另外兩對面積相等的三角形：____________________．QUOTE鈻砅????40．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在四邊形QUOTE????????ABCD中，QUOTE????鈭??AD鈭C，對角線QUOTE????AC，QUOTE????BD交于點O，若QUOTE鈻矨????鈻矨OB的面積為8，求QUOTE鈻矯????鈻矯OD的面積．

41．（24-25七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，P是長方形QUOTE????????ABCD外一點，QUOTE鈻矨????鈻矨BP的面積為a．若QUOTE鈻矪????鈻矪PD的面積為b，則QUOTE鈻矪????鈻矪PC的面積為．（用含a、b的代數(shù)式表示）

42．（23-24七年級上·福建福州·開學(xué)考試）如圖，正方形QUOTE????????ABCD和正方形QUOTE????????ECGF并排放置，QUOTE????BF和QUOTE????EC相交于點QUOTE??H，已知QUOTE????=6AB=6厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

重難點01相交線與平行線熱考模型（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種模型解析）【題型匯總】題型01三線八角的識別已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁內(nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁內(nèi)角互補：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.解題方法：運用平行線的性質(zhì)計算角的度數(shù)，要正確地辨認同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，同時結(jié)合平行線的性質(zhì)及其他有關(guān)角的性質(zhì)、定義進行計算.1．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．【答案】圖1中同位角有：QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE；內(nèi)錯角有：QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE；同旁內(nèi)角有：QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE；圖2中同位角有：QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE；同旁內(nèi)角有：QUOTE與QUOTE．【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．根據(jù)兩直線被第三條直線所截，兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角是同位角，可得同位角；兩個角在截線的兩側(cè)，被截兩直線的中間的角是內(nèi)錯角，可得內(nèi)錯角；兩個角在截線的同側(cè)，被截兩直線的中間的角是同旁內(nèi)角，可得同旁內(nèi)角．【詳解】解：如圖1，同位角有：QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE；內(nèi)錯角有：QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE；同旁內(nèi)角有：QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE．如圖2，同位角有：QUOTE與QUOTE，QUOTE與QUOTE；同旁內(nèi)角有：QUOTE與QUOTE．2．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在用數(shù)字表示的角中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯角？哪些是同旁內(nèi)角？【答案】同位角：QUOTE和QUOTE和QUOTE；內(nèi)錯角：QUOTE和QUOTE和QUOTE；同旁內(nèi)角：QUOTE和QUOTE和QUOTE和QUOTE和QUOTE．【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角．依此即可得出答案．【詳解】解：同位角：QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE；內(nèi)錯角：QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE；同旁內(nèi)角：QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE．題型02豬蹄模型豬蹄模型豬蹄模型-進階（又稱“鋸齒”模型）條件AB∥DEa∥b圖示結(jié)論∠B+∠E=∠BCE∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE左拐角之和=右拐角之和輔助線作法：過拐點作平行線，有多少拐點就作多少平行線.【補充】選、填題結(jié)論直接套用，解答題需寫過程.3．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖①，QUOTE，試問QUOTE與QUOTE的關(guān)系是什么？并說明理由；（2）如圖②，QUOTE，試問QUOTE與QUOTE的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論；（3）如圖③，QUOTE，試問QUOTE與QUOTE的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論．【答案】（1）QUOTE，見解析；（2）QUOTE；（3）QUOTE【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）過點QUOTEEE作QUOTEEF鈭BEF鈭B，從而推出QUOTE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可知QUOTE，QUOTE，從而推出QUOTE與QUOTE的關(guān)系；（2）分別過點QUOTEEE，QUOTEGG，QUOTEMM，作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTEGH鈭BGH鈭B，QUOTEMN鈭BMN鈭B，從而推出QUOTE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可推出QUOTE與QUOTE的關(guān)系；（3）分別過點QUOTEEE，QUOTEGG，QUOTEMM，QUOTEKK，QUOTEPP，作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTEGH鈭BGH鈭B，QUOTEMN鈭BMN鈭B，QUOTEKL鈭BKL鈭B，QUOTEPQ鈭BPQ鈭B，從而知道QUOTE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可推出QUOTE與QUOTE的關(guān)系．【詳解】解：（1）QUOTE，理由如下：如圖，過點QUOTEEE作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTE，QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE；（2）同理（1）得：QUOTE，理由如下：分別過點QUOTEEE，QUOTEGG，QUOTEMM，作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTEGH鈭BGH鈭B，QUOTEMN鈭BMN鈭B，QUOTEQUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE（3）同理（1）得：QUOTE．理由如下：分別過點QUOTEEE，QUOTEGG，QUOTEMM，QUOTEKK，QUOTEPP，作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTEGH鈭BGH鈭B，QUOTEMN鈭BMN鈭B，QUOTEKL鈭BKL鈭B，QUOTEPQ鈭BPQ鈭B，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．4．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線QUOTE，直線QUOTEl3l3和直線QUOTEl1l1、QUOTEl2l2分別交于點QUOTECC和點QUOTEDD，QUOTEPP為直線QUOTEl3l3上一點，QUOTEAA、QUOTEBB分別是直線QUOTEl1l1、QUOTEl2l2上的定點．設(shè)QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)若QUOTEPP點在線段QUOTECDCD（QUOTECC、QUOTEDD兩點除外）上）運動時，問QUOTE、QUOTE、QUOTE之間的關(guān)系是什么？說明理由．(2)在QUOTE的前提下，若QUOTEPP點在線段QUOTECDCD之外時，QUOTE、QUOTE、QUOTE之間的關(guān)系又怎樣？【答案】(1)QUOTE，理由見解析(2)QUOTE或QUOTE【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．（1）過點P作QUOTE，根據(jù)QUOTE可知QUOTE，故可得出QUOTE，QUOTE，再由QUOTE即可得出結(jié)論；（2）由于點P的位置不確定，故應(yīng)分當(dāng)點P在線段QUOTEDCDC的延長線上與點P在線段QUOTECDCD的延長線上兩種情況進行討論．【詳解】（1）解：QUOTE．理由如下：如圖，過點QUOTEPP作QUOTE，因為QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，QUOTE．又因為QUOTE，所以QUOTE；（2）解：①當(dāng)點QUOTEPP在線段QUOTEDCDC的延長線上時，QUOTE．理由如下：如圖所示，當(dāng)點QUOTEPP在線段QUOTEDCDC的延長線上時，過點QUOTEPP作QUOTE，所以QUOTE．因為QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE；②當(dāng)點QUOTEPP在線段QUOTECDCD的延長線上時，QUOTE．理由如下：如圖所示，當(dāng)點QUOTEPP在線段QUOTECDCD的延長線上時，過點QUOTEPP作QUOTE，所以QUOTE．因為QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE．5．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）綜合與探究：已知QUOTE，QUOTEEE，QUOTEFF分別是QUOTEABAB，QUOTECDCD上的點，點QUOTEPP在QUOTEABAB，QUOTECDCD之間，連接QUOTEPEPE，QUOTEPFPF．(1)如圖1，若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．(2)如圖2，QUOTE與QUOTE的平分線交于點QUOTEQQ，猜想QUOTE與QUOTE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)如圖3，QUOTE與QUOTE的平分線交于點QUOTEQQ，猜想QUOTE與QUOTE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)QUOTE(2)QUOTE，見解析(3)QUOTE，見解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和角的和差運算，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點QUOTEPP作QUOTEPM鈭BPM鈭B，根據(jù)平行公理的推論、平行線的性質(zhì)可得QUOTE，QUOTE，從而得到QUOTE，代入數(shù)據(jù)計算即可；（2）由（1）中的結(jié)論得QUOTE，QUOTE，根據(jù)角平分線的定義得QUOTE，QUOTE，可得結(jié)論；（3）由（1）中的結(jié)論和鄰補角的定義得QUOTE鈭燛PF鈭燛PF與QUOTE鈭燛QF鈭燛QF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖，過點QUOTEPP作QUOTEPM鈭BPM鈭B，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE的度數(shù)為QUOTE；（2）解：QUOTE，理由：由（1）可知：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礒Q鈭礒Q，QUOTEFQFQ分別平分QUOTE鈭燗EP鈭燗EP，QUOTE鈭燙FP鈭燙FP，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE；（3）解：QUOTE，理由：由（1）可知：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礒Q鈭礒Q，QUOTEFQFQ分別平分QUOTE鈭燗EP鈭燗EP，QUOTE鈭燙FP鈭燙FP，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．6．（23-24七年級上·湖南衡陽·期末）【模型發(fā)現(xiàn)】某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在活動中發(fā)現(xiàn)：如圖1的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是大家就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，QUOTE，QUOTEMM是QUOTEABAB、QUOTECDCD之間的一點，連接QUOTEBMBM，QUOTEDMDM，則有QUOTE．請你證明這個結(jié)論．(2)【運用】如圖2，QUOTE，QUOTEMM、QUOTENN是QUOTEABAB、QUOTECDCD之間的兩點，且QUOTE，請你利用（1）中“豬蹄模型”的結(jié)論，找出QUOTE、QUOTE、QUOTE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【延伸】如圖3，QUOTE，點QUOTEEE、QUOTEFF分別在QUOTEABAB、QUOTECDCD上，QUOTEENEN、QUOTEFGFG分別平分QUOTE和QUOTE，且QUOTE．如果QUOTE，那么QUOTE等于多少？（用含QUOTE偽偽的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)論，無需證明）【答案】(1)見解析(2)QUOTE，理由見解析(3)QUOTE鈭燤GF鈭燤GF等于QUOTE【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用“豬蹄模型”是解題關(guān)鍵．（1）如圖，過QUOTEMM作QUOTEMN鈭BMN鈭B．得QUOTE，故QUOTE，QUOTE，因此QUOTE．（2）過QUOTENN作QUOTENE鈭BNE鈭B．由（1）QUOTE①．再得出QUOTE②，由①Q(mào)UOTE++②得QUOTE，即QUOTE，再求解即可．（3）由角平分線得QUOTE，QUOTE，由“豬蹄模型”得QUOTE，再利用平行線和三角形內(nèi)角和計算即可．【詳解】（1）證明：如圖，過QUOTEMM作QUOTEMN鈭BMN鈭B．QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．（2）解：QUOTE、QUOTE、QUOTE三者之間的數(shù)量關(guān)系：QUOTE．理由如下：如圖：過QUOTENN作QUOTENE鈭BNE鈭B．由（1）QUOTE①．QUOTE，QUOTE，QUOTE②，①Q(mào)UOTE++②得QUOTE，即QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭粹垹MNC=23鈭燘MN鈭粹垹MNC=2QUOTEQUOTE．答：QUOTE、QUOTE、QUOTE三者之間的數(shù)量關(guān)系：QUOTE．（3）證明：QUOTE鈭礒N鈭礒N、QUOTEFGFG分別平分QUOTE鈭燘EM鈭燘EM和QUOTE鈭燙FM鈭燙FM，QUOTE，QUOTE，由（1）結(jié)論得：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭磝?y=90擄?12偽鈭磝?y=90擄?1QUOTE，QUOTE，QUOTE，由三角形內(nèi)角和得：QUOTE．答：QUOTE鈭燤GF鈭燤GF等于QUOTE．題型03鉛筆頭模型鉛筆頭模型鉛筆頭模型-進階條件AB∥DEAB∥DEa∥b圖示結(jié)論∠B+∠BCE+∠E=360°∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°[類推]7．（20-21七年級下·廣東東莞·期中）（1）如圖（1）QUOTE，猜想QUOTE與QUOTE的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知QUOTE，猜想圖中的QUOTE與QUOTE的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知QUOTE，猜想圖中的QUOTE與QUOTE的關(guān)系，不需要說明理由．

【答案】（1）QUOTE，理由見解析；（2）QUOTE，理由見解析；（3）圖（3）QUOTE，圖（4）QUOTE【分析】（1）過點P作QUOTEEF鈭BEF鈭B，得到QUOTE，由QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEEF鈭BEF鈭B，得到QUOTEEF鈭DEF鈭D，得到QUOTE，由此得到QUOTE；（2）過點P作QUOTEPE鈭BPE鈭B，由QUOTE，得到QUOTE，從而得到結(jié)論QUOTE；（3）由QUOTEAB鈭DAB鈭D，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得QUOTE鈭燘PD鈭燘PD與QUOTE的關(guān)系．【詳解】（1）解：猜想QUOTE．理由：過點P作QUOTEEF鈭BEF鈭B，∴QUOTE，∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEEF鈭BEF鈭B，∴QUOTEEF鈭DEF鈭D，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE；（2）QUOTE．理由：如圖，過點P作QUOTEPE鈭BPE鈭B，

∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE；（3）如圖（3）：QUOTE．理由：∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，

∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE；如圖（4）：QUOTE．理由：∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，

∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（21-22七年級下·山東濟寧·期中）如圖，QUOTE，點E為兩直線之間的一點．(1)如圖1，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE_______；(2)如圖2，試說明，QUOTE；(3)如圖3，若QUOTE的平分線與QUOTE的平分線相交于點F，判斷QUOTE與QUOTE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)QUOTE；(2)見解析；(3)QUOTE，理由見解析．【分析】本題考查平行線的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)探索角之間的關(guān)系．（1）過點E作直線QUOTEMN鈭BMN鈭B，利用平行線的性質(zhì)證明QUOTE，QUOTE，即可得到QUOTE；（2）過點E作QUOTEEG鈭BEG鈭B，利用平行線的性質(zhì)證明QUOTE，QUOTE，即可證明QUOTE，即QUOTE；（3）由（1）可得QUOTE，再證明QUOTE，由（2）可知，QUOTE，即可證明QUOTE．【詳解】（1）解：過點E作直線QUOTEMN鈭BMN鈭B，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE．（2）解：如圖所示，過點E作QUOTEEG鈭BEG鈭B，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，即QUOTE．（3）解：①Q(mào)UOTE，理由如下：由（1）可得QUOTE，QUOTE鈭礎(chǔ)F鈭礎(chǔ)F平分QUOTE鈭燘AE鈭燘AE，QUOTECFCF平分QUOTE鈭燚CE鈭燚CE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，由（2）可知，QUOTE，QUOTE．9．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖①，QUOTE，則QUOTE________；如圖②，QUOTE，則QUOTE________，請你說明理由；（2）如圖③，QUOTE，則QUOTE________；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，QUOTE，QUOTE和QUOTE的平分線相交于點F，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．【答案】（1）QUOTE180擄180擄，QUOTE360擄360擄，見解析；（2）QUOTE540擄540擄；（3）QUOTE115擄115擄【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義；（1）直接由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得圖①答案；如圖，過點QUOTEA2A2作QUOTEPA2鈭A1PA2鈭A1，證明QUOTE（2）如圖，過點QUOTEA2A2作QUOTEPA2鈭A1PA2鈭A1，證明QUOTE（3）過QUOTEFF作QUOTE．證明QUOTE，可得QUOTE．求解QUOTE，再結(jié)合角平分線的定義可得答案．【詳解】解：（1）QUOTE180擄180擄

QUOTE360擄360擄，理由如下：理由：∵QUOTEMA1鈭A2∴QUOTE．如圖，過點QUOTEA2A2作QUOTEPA2鈭A1PQUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．（2）如圖，過點QUOTEA2A2作QUOTEPA2鈭A1PQUOTE，QUOTE，∴QUOTE，結(jié)合（1）的結(jié)論可得：QUOTE，∴QUOTE；（3）如圖，過QUOTEFF作QUOTE．QUOTE，QUOTE，QUOTE．QUOTE，QUOTE．QUOTE鈭礏F鈭礏F平分QUOTE鈭燗BE鈭燗BE，QUOTEDFDF平分QUOTE，QUOTE，10．（23-24七年級下·山西運城·期中）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)活動課上探索了平行線中的“拐點”問題．歸納模型：若QUOTE，如圖①“QUOTEMM”型和如圖②鉛筆型．試猜想QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系．【獨立思考】（1）如圖①Q(mào)UOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖②QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．【問題遷移】（3）如圖③，QUOTE，QUOTEANAN，QUOTECNCN分別是QUOTE，QUOTE的角平分線，探索QUOTE，QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．（4）如圖④，QUOTE，QUOTEAPAP、QUOTECPCP分別是QUOTE、QUOTE的角平分線，探索QUOTE、QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系是________．【聯(lián)想拓展】如圖⑤，已知直線QUOTEABAB，將一個含QUOTE的直角三角板QUOTEQCPQCP，使頂點QUOTEPP落在直線QUOTEABAB上，過點QUOTEQQ作直線QUOTEMNMN，且滿足QUOTE．（5）請你探索直線QUOTEMNMN與QUOTEABAB具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）QUOTE；（2）QUOTE；（3）QUOTE；（4）QUOTE；（5）QUOTE，理由見解析【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等角的余角相等，作平行線求解是解答的關(guān)鍵．（1）過E作QUOTE，則QUOTE，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明QUOTE，QUOTE即可作出判斷；（2）過E作QUOTE，則QUOTE，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明QUOTE，QUOTE，進而可作出結(jié)論；（3）先根據(jù)角平分線定義得到QUOTE，QUOTE，再根據(jù)（1）和（2）中結(jié)論可作出判斷；（4）根據(jù)角平分線的定義得到QUOTE，QUOTE，再根據(jù)（1）中結(jié)論可作出判斷；（5）過C作QUOTE，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角的余角相等得到QUOTE，則有QUOTE，進而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①，過E作QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，故答案為：QUOTE；（2）如圖2，過E作QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，故答案為：QUOTE；（3）如圖③，∵QUOTEANAN，QUOTECNCN分別是QUOTE鈭燘AM鈭燘AM，QUOTE鈭燚CM鈭燚CM的角平分線，∴QUOTE，QUOTE，由（1）得QUOTE，由（2）得QUOTE，∴QUOTE，則QUOTE，故答案為：QUOTE；（4）如圖④，∵QUOTEAPAP、QUOTECPCP分別是QUOTE鈭燘AQ鈭燘AQ、QUOTE鈭燚CQ鈭燚CQ的角平分線，∴QUOTE