【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：拋物線

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：拋物線一、選擇題1．已知拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點(diǎn)，則a等于()A．1B．4C．8 D．162．拋物線y＝－4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A．－eq\f(17,16) B．－eq\f(15,16)C.eq\f(7,16) D.eq\f(15,16)3．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)4．已知拋物線y2＝2px，以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是()A．相離 B．相交C．相切 D．不確定5．已知F為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則||FA|－|FB||的值等于()A．4eq\r(2) B．8C．8eq\r(2) D．166．在y＝2x2上有一點(diǎn)P，它到A(1,3)的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)二、填空題7．以拋物線x2＝16y的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為_(kāi)_______．8．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，拋物線上一點(diǎn)Q(－3，m)到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為_(kāi)_______．9．已知拋物線y2＝4x與直線2x＋y－4＝0相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，那么||＋||＝________.三、解答題10．依據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)P(2，－4)．11．已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1，－1)，拋物線C：y2＝4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M，P兩點(diǎn)，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q.若向量與的夾角為eq\f(π,4)，求△POM的面積．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－1)，B點(diǎn)在直線y＝－3上，M點(diǎn)滿足∥，·＝·，M點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．詳解答案一、選擇題1．解析：依據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\f(a,4))，雙曲線的上焦點(diǎn)為(0,2)，依題意則有eq\f(a,4)＝2,解得a＝8.答案：C2．解析：拋物線方程可化為x2＝－eq\f(y,4)，其準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(1,16).設(shè)M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知eq\f(1,16)－y0＝1?y0＝－eq\f(15,16).答案：B3．解析：依據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案：C4．解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為AB，中點(diǎn)為M，準(zhǔn)線l，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距離d＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|＝半徑，故相切．答案：C5．解析：依題意F(2,0)，所以直線方程為y＝x－2由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y2＝8x))，消去y得x2－12x＋4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(144－16)＝8eq\r(2).答案：C6．解析：如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同即為1，則可排解A、C、D.答案：B二、填空題7．解析：拋物線的焦點(diǎn)為F(0,4)，準(zhǔn)線為y＝－4，則圓心為(0,4)，半徑r＝8.所以，圓的方程為x2＋(y－4)2＝64.答案：x2＋(y－4)2＝648．解析：設(shè)拋物線方程為x2＝ay(a≠0)，則準(zhǔn)線為y＝－eq\f(a,4).∵Q(－3，m)在拋物線上，∴9＝am.而點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，∴|m－(－eq\f(a,4))|＝5.將m＝eq\f(9,a)代入，得|eq\f(9,a)＋eq\f(a,4)|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，∴所求拋物線的方程為x2＝±2y，或x2＝±18y.答案：x2＝±2y或x2＝±18y9．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,2x＋y－4＝0))，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的兩根為A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故x1＋x2＝5，由于拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，所以||＋||＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7答案：7三、解答題10．解：雙曲線方程化為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，左頂點(diǎn)為(－3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則－eq\f(p,2)＝－3，∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝－12x.(2)由于P(2，－4)在第四象限且拋物線對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)拋物線方程為y2＝mx或x2＝ny，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m＝8，n＝－1，∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y.11．解：設(shè)點(diǎn)M(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)，P(eq\f(y\o\al(2,2),4)，y2)，∵P，M，A三點(diǎn)共線，∴kAM＝kPM，即eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)＋1)＝eq\f(y1－y2,\f(y\o\al(2,1),4)－\f(y\o\al(2,2),4))，即eq\f(y1,y\o\al(2,1)＋4)＝eq\f(1,y1＋y2)，∴y1y2＝4.∴·＝eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＋y1y2＝5.∵向量與的夾角為eq\f(π,4)，∴||·||·coseq\f(π,4)＝5.∴S△POM＝eq\f(1,2)||·||·sineq\f(π,4)＝eq\f(5,2).12．解：(1)設(shè)M(x，y)由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．再由題意可知(＋)·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.所以曲線C的方程為y＝eq\f(1,4)x2－2.(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線C：y＝eq\f(1,4)x2－2上一點(diǎn)，由于y′＝eq\f(1,2)x，所以l的斜率為eq\f(1,2)x0.因此曲線l的方程為y－y0＝eq\f(1,2)x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－xeq\o\al(2,0)＝0.則O點(diǎn)到l的距離d＝eq\f(|2y0－x\o\al(2,0)|,\r(x\o\al(2,0)＋4