【名師一號】2020-2021學年人教A版高中數(shù)學必修2：第一章-空間幾何體-單元同步測試

第一章測試(時間：120分鐘總分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．正方體的表面積是96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．16C．64 D．96答案C2．直徑為10cm的一個大金屬球，熔化后鑄成若干個直徑為2cm的小球，假如不計損耗，可鑄成這樣的小球的個數(shù)為()A．5 B．15C．25 D．125解析設可鑄n個小球，依體積相等，得eq\f(4,3)π×53＝n×eq\f(4,3)π×13，∴n＝125.答案D3．將一個等腰梯形圍著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A．一個圓臺，兩個圓錐 B．兩個圓臺，一個圓錐C．兩個圓臺，一個圓柱 D．一個圓柱，兩個圓錐答案D4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()解析由三視圖知，原幾何體是由一個圓柱和一個圓臺組成的，因此選D.答案D5．如圖，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖(斜二測)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，則梯形ABCD的面積是()A．10 B．5C．5eq\r(2) D．10eq\r(2)解析由直觀圖，知梯形ABCD是一個直角梯形，且AB＝A1B1＝2，CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2，∴梯形ABCD的面積為eq\f(2＋3,2)×2＝5.答案B6．如圖，下列四個幾何體中，它們的三視圖(正視圖、側(cè)視圖、俯視圖)有且僅有兩個相同的是()A．①② B．①③C．②③ D．①④答案C7．向高為H的容器中注水，注滿為止，假如注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如圖所示，那么容器的外形應當是圖中的()解析由函數(shù)曲線，知水的體積隨水深h的增大，體積增長的越來越快．答案D8．一個直角三角形直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為()A．15π B．20πC．12π D．15π或20π答案D9．如圖是一個幾何體的三視圖，依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A．9π B．10πC．11π D．12π解析該幾何體的上部是一個球，其表面積是4π×12＝4π；下部是一個圓柱，其表面積是2π×1×3＋2π×12＝8π，則該幾何體的表面積是4π＋8π＝12π.答案D10．在棱長為1的正方體上，分別用過公共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的幾何體的體積是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析每一個小三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,48).因此，所求的體積為1－8×eq\f(1,48)＝eq\f(5,6).答案D11．兩個球的表面積之差為48π，它們的大圓周長之和為12π，這兩個球的半徑之差為()A．4 B．3C．2 D．1解析設兩個球的半徑分別為R、r，且R>r，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝48π，,2πR＋2πr＝12π，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2－r2＝12，,R＋r＝6，))∴R－r＝2.答案C12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π解析由三視圖知，該幾何體是一個組合體，其底部是一個半圓柱，上部是一個長方體，故體積為V＝2×2×4＋eq\f(1,2)·π×22×4＝16＋8π.答案A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．如圖是一個正方體盒子的平面開放圖，在其中的四個正方形內(nèi)標有數(shù)字1,2,3和－3，要在其余正方形內(nèi)分別填上－1，－2，使得按虛線折成正方體后，相對面上的兩數(shù)互為相反數(shù)，則A處應填________．解析將其平面開放圖沿虛線還原成正方體，由右圖，可看出A與2是相對面上的兩數(shù)，故A處應填－2.答案－214．過圓錐高的三等分點作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為________．解析從上到下三個圓錐的高之比為1:2:3，∴側(cè)面積之比為1:4:9，∴三部分面積之比為1:3:5.答案1:3:515．用相同的單位正方體搭一個幾何體(如圖)，其正視圖(從正面看到的圖形)、俯視圖(從上面看到的圖形)和側(cè)視圖(從左面看到的圖形)分別如下：則該幾何體的體積為________．解析由幾何體的三視圖，知該幾何體由6個單位正方體構(gòu)成．答案616．已知一個圓臺的下底面半徑為r，高為h，當圓臺的上底半徑r′變化時，圓臺體積的變化范圍是________．解析當r′→0時，圓臺趨近于圓錐．而V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h，當r′→r時，圓臺趨近于圓柱，而圓柱V圓柱＝πr2h.因此，當r′變化時，圓臺的體積的變化范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h，πr2h)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h，πr2h))三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)如圖所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)依次是AB，AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，D，H，G為垂足，若將△ABC繞AD旋轉(zhuǎn)180°，求陰影部分形成的幾何體的表面積．解幾何體是一個圓錐挖去一個圓柱后形成的，∵S錐表＝πR2＋πRl＝4π＋8π＝12π，S柱側(cè)＝2πrl＝2π·DG·FG＝2eq\r(3)π，∴所求幾何體的表面積為S＝S錐表＋S柱側(cè)＝12π＋2eq\r(3)π＝2(6＋eq\r(3))π.18．(12分)一個正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個正三棱柱的表面積．解由三視圖知正三棱柱的高為2mm，由側(cè)視圖知正三棱柱的底面正三角形的高為2eq\r(3)mm.設底面邊長為a，由三角形的面積相等，得eq\f(\r(3),2)a＝2eq\r(3).∴a＝4.∴正三棱柱的表面積S＝S側(cè)＋2S底＝3×4×2＋2×eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝8(3＋eq\r(3))(mm)2.19．(12分)已知圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，母線長為l，試證明圓臺的側(cè)面積公式為：S圓臺側(cè)面積＝π(r＋R)l，表面積公式為S＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)．證明把圓臺還原成圓錐，并作出軸截面，如圖：設AB＝x，BC＝l，∵△ABF∽△ACG.∴eq\f(r,R)＝eq\f(x,x＋l)，∴x＝eq\f(rl,R－r).∴S圓臺側(cè)＝S扇形ACD－S扇形ABE＝eq\f(1,2)·2πR(x＋l)－eq\f(1,2)·2πr·x＝πRl＋π(R－r)·eq\f(rl,R－r)＝π(R＋r)l∴S圓臺表面積＝π(R＋r)l＋πR2＋πr2＝π(Rl＋rl＋R2＋r2)．20．(12分)側(cè)棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的體對角線分別為9和15，高是5，求這個棱柱的側(cè)面積．解設底面兩條對角線的長分別為a，b，則有a2＋52＝92，b2＋52＝152，∴a＝eq\r(56)，b＝10eq\r(2).∴菱形的邊長x＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2)＝8.∴S側(cè)＝4x×5＝4×8×5＝160.21．(12分)如圖，BD是正方形ABCD的對角線，的圓心是A，半徑為AB，正方形ABCD以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，求圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比．解把題圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分分別繞直線AB旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積分別記為VⅠ，VⅡ，VⅢ，并設正方形的邊長為a.因此，VⅠ＝eq\f(1,3)πa2·a＝eq\f(π,3)a3，VⅡ＝eq\f(1,2)·eq\f(4,3)πa3－VⅠ＝eq\f(π,3)a3，VⅢ＝πa2·a－VⅠ－VⅡ＝eq\f(π,3)a3，∴VⅠ：VⅡ：VⅢ＝1：1：1.22．(12分)一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)．(1)試畫出它的直觀圖；(2)求它的表面積和體積．解(1)直觀圖如圖所示．(2)由三視圖可知該幾何體是長方體被截取一個角，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長方體的體積的eq\f(3,4).在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1，則