【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修五導(dǎo)學(xué)案：《數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用》

第11課時數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用1.把握等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式及其應(yīng)用.2.了解銀行存款的種類及存款計息方式.3.體會“零存整取”、“定期自動轉(zhuǎn)存”、“分期付款”等日常經(jīng)濟生活中的實際問題.4.感受從數(shù)學(xué)中發(fā)覺美的樂趣,體驗成功解決問題的歡快,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好.某人有七位伴侶.第一位伴侶每天晚上都去他家看他,其次位伴侶每隔一個晚上到他家去,第三位伴侶每隔兩個晚上去他家串門,第四位伴侶每隔三個晚上去他家做客,依次類推,直至第七位伴侶每隔六個晚上在他家消滅.這七位伴侶昨晚在仆人家中碰面,請問他們還會在同一個晚上在仆人家中碰面嗎?我們來分析下,第一位伴侶每天晚上都在;其次位伴侶第2,4,6,8,…天在,是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n;第三位伴侶第3,6,9,…天在,是首項為3,公差為3的等差數(shù)列,通項公式為an=3n;第四、五、六、七位伴侶在的時間的通項公式分別為an=4n,an=5n,an=6n,an=7n;要使他們在同一晚上消滅,這個數(shù)應(yīng)為這六個數(shù)列的公共項,即2,3,4,5,6,7的公倍數(shù),而2,3,4,5,6,7的最小公倍數(shù)為420,因此第420,840,1260,…天晚上他們會同時在仆人家消滅.問題1:數(shù)列應(yīng)用問題的常見模型(1):一般地,假如增加(或削減)的量是一個固定的具體量時,那么該模型是等差模型,增加(或削減)的量就是公差,其一般形式是:an+1-an=d(d為常數(shù)).

(2):一般地,假如增加(或削減)的百分比是一個固定的數(shù)時,那么該模型是等比模型.

(3):在一個問題中,同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型.

(4):假如簡潔找到該數(shù)列任意一項an+1與它的前一項an(或前幾項)間的遞推關(guān)系式,那么我們可以用遞推數(shù)列的學(xué)問求解問題.

問題2:解題時怎樣推斷是用等差數(shù)列還是等比數(shù)列來求解?一般涉及遞增率什么的,用到;涉及依次增加或者削減什么的,用到,或者有的問題是通過轉(zhuǎn)化得到的,在解決問題時要往這些方面去聯(lián)系.

問題3:與銀行利率相關(guān)的幾類模型(1)銀行儲蓄單利公式:利息按單利計算,本金為a元,每期利率為r,存期為x,則本利和.

(2)銀行儲蓄復(fù)利公式:利息按復(fù)利計算,本金為a元,每期利率為r,存期為x,則本利和.

(3)產(chǎn)值模型:原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,對于時間x的總產(chǎn)值.

(4)分期付款模型a為貸款總額,r為月利率,b為月等額本息還款數(shù),n為貸款月數(shù),則b=r(1+r)問題4:數(shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟(1)——弄清題意,分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容,在每個數(shù)學(xué)內(nèi)容中,各是什么問題.

(2)——把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”,每個小題或每個小“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等.

(3)——分別求解這些小題或這些小“步驟”,從而得到整個問題的解答.

(4)——將所求結(jié)果還原到實際問題中.

具體解題步驟如下框圖:1.夏季高山上的氣溫從山腳起每上升100米降低0.7度,已知山腳氣溫為26度,山頂氣溫為14.1度,那么此山相對山腳的高度為()米.A.1600 B.1700 C.1800 D.19002.依據(jù)市場調(diào)查結(jié)果,猜測某種家用商品從年初開頭的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足關(guān)系式:Sn=n90(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),按此猜測,在本年度內(nèi),需求量超過1.5萬件的月份是()A.5、6月 B.6、7月 C.7、8月 D.8、9月3.阿明存入5萬元定期存款,存期1年,年利率為2.25%,那么10年后共得本息和為萬元.(精確到0.001)

4.一件家用電器,現(xiàn)價2000元,實行分期付款,每期付款數(shù)相同,購買后一個月付款一次,共付12次,一年后還清,月利率為0.8%,按復(fù)利計算,那么每期應(yīng)付款多少元(精確到0.01元)?等差數(shù)列模型某旅游公司年初用98萬元購買一艘游艇,第一年各種費用12萬元,以后每年都增加4萬元,每年旅游收益50萬元.(1)問第幾年開頭獲利?(2)若干年后,有兩種處理方案:①年平均獲利最大時,以26萬元出售該游艇;②總純收入獲利最大時,以8萬元出售該游艇.問哪種方案合算.分期付款的等比數(shù)列模型陳老師購買商品房92m2,單價為10000元/m2,首付432000元以后向銀行申請住房商業(yè)貸款.經(jīng)協(xié)商住房貸款實行分期付款,經(jīng)過一年付款一次,……共付10次,10年后付清,假如按年利率7.5%,每年按復(fù)利計算,那么每年應(yīng)付款多少元?(參考下列數(shù)據(jù):1.0759≈1.971,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216)易錯易混點(第幾年的中低價房的面積與累計面積)假設(shè)某市:2004年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房.估計在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米?(2)哪年建筑的中低價房的面積占該年建筑住房面積的比例首次大于85%?有若干臺型號相同的聯(lián)合收割機,收割一片土地上的小麥,若同時投入工作到收割完畢需要24小時.現(xiàn)在這些收割機是每隔相同的時間挨次投入工作的,每一臺投入工作后都始終工作到小麥?zhǔn)崭钔?假如第一臺收割機時間是最終一臺的5倍,求用這種方法收割完這片土地的小麥需要多長時間?用分期付款方法購買電器一件,價格為1150元,購買當(dāng)天先付150元,以后每月這一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率為1%,分20次付完,若交付150元以后的第一個月開頭算分期付款的第一個月,問分期付款的第十個月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家電實際花多少錢?為了建設(shè)和諧社會,我國打算治理垃圾.經(jīng)調(diào)查,近10年來我國城市垃圾的年平均增長率為3%,到2021年底堆存垃圾已達60億噸,侵占了約5億平方米的土地,目前我國還以年產(chǎn)1億噸的速度產(chǎn)生新的垃圾,垃圾治理已刻不容緩.(1)問2004年我國城市垃圾約有多少億噸?(2)假如從2022年起,每年處理上年堆存垃圾的110,到2021年底,我國城市垃圾約有多少億噸?可節(jié)省土地多少億平方米1.某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每天衰減3%,若此物質(zhì)衰減到其質(zhì)量的一半以下,則至少需要的天數(shù)是(參考數(shù)據(jù)lg0.97=-0.0132,lg0.5=-0.3010)().A.22 B.23 C.24 D.252.現(xiàn)有200根相同的鋼管,把它們堆放成正三角形垛,要使剩余的鋼管盡可能的少,那么剩余鋼管的根數(shù)為().A.9 B.10 C.19 D.293.小王每月除去全部日常開支,大約結(jié)余a元.小王打算接受零存整取的方式把余錢積蓄起來,每月初存入銀行a元,存期1年(存12次),到期取出本息和.假設(shè)一年期零存整取的月利率為r,每期存款按單利計息.那么,小王存款到期利息為元.

4.某商場今年銷售計算機5000臺.假如平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%,那么從今年起大約幾年可使總銷售量達到30000臺(結(jié)果保留到個位)?1.(2022年·北京卷)某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示,從目前記錄的結(jié)果看,前m年的年平均產(chǎn)量最高,m的值為 ()A.5B.7C.9D.11考題變式(我來改編):2.(2011年·安徽卷)某國接受養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金,數(shù)目為a1,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0),因此,歷年所交納的儲務(wù)金數(shù)目a1,a2,…是一個公差為d的等差數(shù)列,與此同時,國家賜予優(yōu)待的計息政策,不僅接受固定利率,而且計算復(fù)利.這就是說,假如固定年利率為r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1(1+r)n-1,其次年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額.(1)寫出Tn與Tn-1(n≥2)的遞推關(guān)系式;(2)求證:Tn=An+Bn,其中{An}是一個等比數(shù)列,{Bn}是一個等差數(shù)列.考題變式(我來改編):第11課時數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用學(xué)問體系梳理問題1:(1)等差模型(2)等比模型(3)混合模型(4)遞推模型問題2:等比數(shù)列等差數(shù)列等差或等比數(shù)列問題3:(1)y=a(1+xr)(2)y=a(1+r)x(3)y=N(1+p)x問題4:(1)審題(2)分解(3)求解(4)還原基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.1700從山腳到山頂氣溫的變化成等差數(shù)列,首項為26,末項為14.1,公差為-0.7,設(shè)數(shù)列的項數(shù)為n,則14.1=26+(n-1)×(-0.7),解得n=18,所以山的高度為h=(18-1)×100=1700(米).2.C由an=Sn-Sn-1解得an=130(-n2+15n-9)(n≥2),再解不等式130(-n2+15n-9)>1.5,得6<n<3.6.24610年后的本息和為:a10=5(1+0.0225)10≈6.246(萬元).4.解:設(shè)每期應(yīng)付款x元,則第1期付款后欠款2000(1+0.008)-x,第2期付款后欠款(2000×1.008-x)×1.008-x=2000×1.0082-1.008x-x,…第12期付款后欠款2000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x,由于第12期付款后欠款為0,所以2000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x=0,故x=2000×1.008121.00812-1重點難點探究探究一:【解析】(1)由題設(shè)知每年費用構(gòu)成以12為首項,4為公差的等差數(shù)列,設(shè)純收入與年數(shù)的關(guān)系為f(n).∴f(n)=50n-[12+16+…+(8+4n)]-98=40n-2n2-98.獲利即為f(n)>0,即n2-20n+49<0,解之得10-51<n<10+51,即2.9<n<17.1.又n∈N+,∴n=3,4,…,17.∴當(dāng)n=3時,即第3年開頭獲利.(2)①年平均收入f(n)n=40-2(n+49n),當(dāng)n=7時,年均獲利最大,總收益為84+②當(dāng)n=10時,f(n)max=102,總收益為102+8=110萬元.比較兩種方案,總收益都為110萬元,但第一種方案需7年,其次種方案需10年,故選擇第一種.【小結(jié)】建立數(shù)列模型與建立函數(shù)模型一樣,應(yīng)抓住數(shù)量關(guān)系,結(jié)合數(shù)學(xué)方法,將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示.探究二:【解析】設(shè)每年應(yīng)付款x元,那么到最終一次付款時(即購房十年后),第一年付款及所生利息之和為x×1.0759元,其次年付款及所生利息之和為x×1.0758元,…,第九年付款及其所生利息之和為x×1.075元,第十年付款為x元,而所購房余款的現(xiàn)價及其利息之和為[10000×92-432000]×1.07510=488000×1.07510(元).因此有x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=488000×1.07510(元),所以x=488000×1.07510×1-1.0751-1.07510≈488000×所以每年需交款71096元.【小結(jié)】分期付款問題,實質(zhì)上是等比或等差數(shù)列求和問題,解題的視角是建立等量關(guān)系式.探究三:【解析】(1)設(shè)中低價房面積形成數(shù)列{an},由題意可知{an}是等差數(shù)列,其中a1=250,d=50,則Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù),∴n≥10,即到2021(2)設(shè)第n年建筑的中低價房滿足題意,則有400(1+8%)n-1·85%<25n2+225n.解出n即可.[問題]上述解法正確嗎?[結(jié)論]不正確.(2)問中應(yīng)是第幾年的中低價房的面積而不是累計面積.于是,正確解答為:(1)同錯解部分.(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn},由題意可知{bn}是等比數(shù)列,其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1.由題意可知an>0.85bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由于n是正整數(shù),將1,2,…依次代入可得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6,即到2009年底,當(dāng)年建筑的中低價房的面積占該年建筑住房面積的比例首次大于85%.【小結(jié)】對應(yīng)用題的審題肯定要認(rèn)真認(rèn)真,否則很簡潔出錯.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:依題意,這些聯(lián)合收割機投入工作的時間構(gòu)成一個等差數(shù)列,按規(guī)定的方法收割,所需要的時間等于第一臺收割機所需要的時間,即數(shù)列的首項.設(shè)這n臺收割機工作的時間依次為a1,a2,…,an小時,依題意,{an}是一個等差數(shù)列,且每臺收割機每小時的工作效率為124n,由②得a1+a2+…+an=24n,即n(a1+∴a1+an=48.③由①,③聯(lián)立,解得a1=40.故用這種方法收割完這片土地上的小麥共需40小時.應(yīng)用二:購買時付150元,欠1000元,每月付50元,分20次付清.設(shè)每月付款數(shù)順次成數(shù)列{an},則a1=50+1000×1%=60(元),a2=50+(1000-50)×1%=59.5=60-0.5×1(元),a3=50+(1000-50×2)×1%=59=60-0.5×2(元),…,a10=50+(1000-50×9)×1%=55.5=60-0.5×9(元),an=60-0.5(n-1)=-0.5n+60.5(1≤n≤20),∴{an}是以60為首項,-0.5為公差的等差數(shù)列,∴總數(shù)=S20+150=20a1+20×192×d+150=1255(元),∴第十個月該交55.5元,全部付清實際花應(yīng)用三:(1)設(shè)2004年我國城市垃圾約有a億噸,則有a+a(1+3%)+a(1+3%)2+…+a(1+3%)9=60,∴a·1-1.03101-1.03=60(2)2022年底有垃圾60×910+1億噸2021年底有垃圾(60×910+1)×910+1=60×92102022年底有垃圾(60×92102+910+1)×910+1=60×93……2021年底有垃圾60×(910)6+(910)5+(910)4+…+1=60×(910)6+1-0.9可節(jié)省土地23.4×560≈2(億平方米)基礎(chǔ)智能檢測1.B依題意有(1-3%)n<0.5,所以n>lg0.5lg0.97≈22.2.B1+2+3+…+n<200,即n(n+1)2<200.明顯n=19時,剩余鋼管最少,此時最多用去19×2023.78ar依題意得,小王存款到期利息為12ar+11ar+10ar+…+3ar+2