【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版選修2-2)課時(shí)作業(yè)-2.2.2-反證法

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十八)反證法一、選擇題(每小題3分，共18分)1.(2022·合肥高二檢測(cè))用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是()A.有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角B.有三個(gè)內(nèi)角是鈍角C.至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角D.沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是鈍角【解析】選C.“最多有一個(gè)”的反設(shè)是“至少有兩個(gè)”.2.實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=2，則()A.a，b，c都是正數(shù)B.a，b，c都大于1C.a，b，c都小于2D.a，b，c中至少有一個(gè)不小于1【解析】選D.假設(shè)a，b，c均小于12，則a+2b+c<12+1+123.(2022·唐山高二檢測(cè))(1)已知：p3+q3=2，求證：p+q≤2.用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p+q≥2.(2)已知：a，b∈R，|a|+|b|<1，求證：方程x2+ax+b=0的兩根的確定值都小于1.用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的確定值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1，以下結(jié)論正確的是()A.(1)與(2)的假設(shè)都錯(cuò)誤B.(1)與(2)的假設(shè)都正確C.(1)的假設(shè)正確，(2)的假設(shè)錯(cuò)誤D.(1)的假設(shè)錯(cuò)誤，(2)的假設(shè)正確【解析】選D.(1)錯(cuò)，應(yīng)假設(shè)為p+q>2.(2)假設(shè)正確.故選D.4.(2022·杭州高二檢測(cè))設(shè)a，b，c大于0，則3個(gè)數(shù)：a+1b，b+1c，c+1A.都大于2B.至少有一個(gè)不大于2C.都小于2D.至少有一個(gè)不小于2【解題指南】由于三個(gè)數(shù)的和不小于6，可以推斷三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2，所以可假設(shè)這三個(gè)數(shù)都小于2來(lái)推出沖突.【解析】選D.假設(shè)a+1b，b+1c，c+即a+1b<2，b+1c<2，c+所以a+1b+b又a>0，b>0，c>0，所以a+1b+=a+1a+b+這與假設(shè)沖突，所以假設(shè)不成立.【變式訓(xùn)練】已知x1>0，且x1≠1，且xn+1=xn(xn2+3)3xn2+1(n=1，2，3…).試證：數(shù)列{xn}對(duì)任意正整數(shù)n都滿足xnA.對(duì)任意的正整數(shù)n，都有xn=xn+1B.存在正整數(shù)n，使得xn=xn+1C.存在正整數(shù)n，使xn≥xn-1且xn≥xn+1D.存在正整數(shù)n，使得(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0【解析】選B.對(duì)于數(shù)列中的連續(xù)兩項(xiàng)來(lái)說(shuō)，要么不相等，要么相等.5.設(shè)a，b，c是正數(shù)，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR>0”是“P，Q，R同時(shí)大于零”的A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.必要性明顯，充分性：若PQR>0，則P，Q，R同時(shí)大于零或其中兩個(gè)為負(fù)，不妨設(shè)P<0，Q<0，R>0，由于P<0，Q<0，即a+b<c，b+c<a，所以a+b+b+c<c+a，即b<0，這與b>0沖突，所以P，Q，R同時(shí)大于零，故選C.6.若△ABC能被一條直線分成兩個(gè)與自身相像的三角形，那么這個(gè)三角形的外形是()A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定【解析】選B.分△ABC的直線只能過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)且與對(duì)邊相交，如直線AD(點(diǎn)D在BC上)，則∠ADB+∠ADC=π，若∠ADB為鈍角，則∠ADC為銳角.而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABD與△ACD不行能相像，與已知不符，只有當(dāng)∠ADB=∠ADC=∠BAC=π2二、填空題(每小題4分，共12分)7.(2022·南昌高二檢測(cè))命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是____________________________.【解析】“至少有一個(gè)”的否定是“沒(méi)有一個(gè)”.答案：沒(méi)有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形8.(2022·石家莊高二檢測(cè))設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a+b=1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是__________【解題指南】可接受特殊值法或反證法逐一驗(yàn)證.【解析】若a=13，b=23，則a+b=1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a=b=1，則a+b=2，故若a=-2，b=1，則a2+b2>2，故④不能推出.對(duì)于③，即a+b>2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a+b≤2與a+b>2沖突，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.答案：③9.用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相沖突，則∠A=∠B=90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=∠B=90°.正確挨次的序號(hào)排列為_(kāi)_______.【解析】由反證法證明的步驟知，先反設(shè)即③，再推出沖突即①，最終作出推斷，確定結(jié)論即②，即挨次應(yīng)為③①②.答案：③①②三、解答題(每小題10分，共20分)10.(2021·南陽(yáng)高二檢測(cè))已知a，b，c，d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).【解題指南】反證法來(lái)證明正難則反的運(yùn)用，先否定結(jié)論，假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，然后推出沖突來(lái)得到證明.【證明】假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，由于a+b=c+d=1，所以(a+b)(c+d)=1.又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd，所以ac+bd≤1，這與已知ac+bd>1沖突，所以a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).【拓展提升】適用反證法證明的題型適用反證法證明的題型有：(1)一些基本命題、基本定理.(2)易導(dǎo)出與已知沖突的命題.(3)“否定性”命題.(4)“唯一性”命題.(5)“必定性”命題.(6)“至多”“至少”類(lèi)命題.(7)“必定性”命題.(8)涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題等.11.求證過(guò)一點(diǎn)只有一條直線與已知平面垂直.【解題指南】文字?jǐn)⑹鲱}的證明應(yīng)先寫(xiě)出已知，求證，本題證明時(shí)應(yīng)分兩種狀況，即點(diǎn)P在平面α內(nèi)和點(diǎn)P在平面α外.【證明】已知：平面α和一點(diǎn)P.求證：過(guò)點(diǎn)P與平面α垂直的直線只有一條.證明：如圖所示，不論點(diǎn)P在α內(nèi)或α外，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P).假設(shè)過(guò)點(diǎn)P還有另一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β=a，于是在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與在同一平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相沖突，所以假設(shè)不成立，原命題成立.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.(2022·濟(jì)寧高二檢測(cè))用反證法證明命題“2+3是無(wú)理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是()A.假設(shè)2是有理數(shù)B.假設(shè)3是有理數(shù)C.假設(shè)2或3是有理數(shù)D.假設(shè)2+3是有理數(shù)【解析】選D.假設(shè)結(jié)論的反面成立，2+3不是無(wú)理數(shù)，則2+3是有理數(shù).2.(2022·濰坊高二檢測(cè))否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是()A.有一個(gè)解 B.有兩個(gè)解C.至少有三個(gè)解 D.至少有兩個(gè)解【解析】選C.在規(guī)律中“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n+1個(gè)”，所以“至多有兩個(gè)解”的否定為“至少有三個(gè)解”.3.已知直線a，b為異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A.確定是異面直線B.確定是相交直線C.不行能是平行直線D.不行能是相交直線【解析】選C.假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面沖突，故c與b不行能是平行直線.4.已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=an+2，bn=bn+1(a，b是常數(shù)，且a>b)，那么兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與相應(yīng)項(xiàng)的數(shù)值相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.無(wú)窮多個(gè)【解題指南】假設(shè)存在兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與相應(yīng)項(xiàng)的數(shù)值相同的項(xiàng)，推理得出沖突.【解析】選A.假設(shè)存在兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與相應(yīng)項(xiàng)的數(shù)值相同的項(xiàng)，則有an+2=bn+1，得到(a-b)n=-1，這樣的n是不存在的，故假設(shè)不成立.二、填空題(每小題5分，共10分)5.(2022·鄭州高二檢測(cè))若下列兩個(gè)方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【解析】假設(shè)兩個(gè)一元二次方程均無(wú)實(shí)根，則有Δ1=(a-1解得{a|-2<a<-1}，所以其補(bǔ)集{a|a≤-2或a≥-1}即為所求的a的取值范圍.答案：{a|a≤-2或a≥-1}6.完成反證法證題的全過(guò)程.設(shè)a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一個(gè)排列，求證：乘積p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)為偶數(shù).證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則a1-1，a2-2，…，a7-7均為奇數(shù).因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)=__________=__________=0.但0≠奇數(shù)，這一沖突說(shuō)明p為偶數(shù).【解題指南】利用奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，把a(bǔ)1-1，a2-2，…，a7-7相加，利用a1+a2+…+a7=1+2+…+7可推出沖突.【解析】據(jù)題目要求及解題步驟，由于a1-1，a2-2，…，a7-7均為奇數(shù)，所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也為奇數(shù).即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)為奇數(shù).又由于a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一個(gè)排列，所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7，故上式為0.所以奇數(shù)=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.答案：(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)三、解答題(每小題12分，共24分)7.(2021·臨沂高二檢測(cè))已知a，b，c∈(0，1).求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于14【證明】假設(shè)(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于14由于0<a<1，0<b<1，所以1-a>0.由基本不等式，得(1-a)+b2≥(1-a)b>1同理，(1-b)+c2>12，(將這三個(gè)不等式兩邊分別相加，得(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>即32>3故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于148.(2022·溫州高二檢測(cè))設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=an+bn.證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.【解題指南】假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比數(shù)列的條件推出沖突，即知假設(shè)不成立.【證明】假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).①由于{an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q，所以an2=an-1an+1，bn2=b代入①并整理，得2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbnpq即2=pq+qp當(dāng)p，q異號(hào)時(shí)，pq+qp<0，與當(dāng)p，q同號(hào)時(shí)，由于p≠q，所以pq+qp>2，與故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.【拓展延長(zhǎng)】適用反證法證明的題型適用反證法證明的題型有：(1)一些基本命題、基本定理.(2)易導(dǎo)出與已知沖突的命題.(3)“否定性”命題.(4)“唯一性”命題.(5)“必定性”命題.(6)“至多”“至少”類(lèi)命題.(7)涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題等.【變式訓(xùn)練】已知f(x)=x2+px+q.求證：(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于12【解題提示