【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1學(xué)案：《命題》

第1課時命題1.了解命題的概念及命題的四種形式(即原命題、逆命題、否命題、逆否命題).2.會分析四種命題間的相互關(guān)系和等價關(guān)系.有一家仆人是一個不善言辭的木訥之人,一天仆人邀請張三、李四、王五三人吃飯談天,時間到了,只有張三、李四準(zhǔn)時赴約,王五打電話說:“臨時有急事不能來了.”仆人聽到隨口說了一句:“你看看,該來的沒來.”張三聽到,臉色一沉,起來一聲不吭地走了,仆人愣了片刻,又道了句:“哎,不該走的走了.”李四一聽大怒,拂袖而去,仆人尷尬不知所措.問題1:(1)張三和李四之所以生氣走人,是由于仆人的表達方式存在規(guī)律錯誤,該來的沒來這句話等價于,不該走的走了這句話等價于.

(2)一般地,在數(shù)學(xué)中我們把用語言、符號或式子表達的,可以推斷的陳述句叫作命題.其中推斷為真的語句叫作,推斷為假的語句叫作.命題的常見形式是,其中p叫作命題的,q叫作命題的.

問題2:四種命題對于兩個命題,假如一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的和,那么我們把這樣的兩個命題叫作命題.假如把其中的一個命題叫作,那么另一個命題叫作.

對于兩個命題,其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的和,我們把這樣的兩個命題叫作命題.假如把其中一個命題叫作原命題,那么另一個命題就叫作.

對于兩個命題,其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的和,我們把這樣的兩個命題叫作.假如把其中的一個命題叫作原命題,那么另一個命題就叫作.

問題3:四種命題之間的相互關(guān)系問題4:四種命題的真假性的推斷狀況:原命題逆命題否命題逆否命題真真

真假

假真

假假

說明:(1)原命題與逆否命題,否命題與逆命題具有;

(2)互逆命題和互否命題,它們的真假性關(guān)系;

(3)在推斷一些命題的真假時,假如不簡潔直接推斷,可以通過推斷其逆否命題的真假來推斷原命題的真假.1.命題“平行四邊形的對角線既相互平分,也相互垂直”的結(jié)論是().A.這個四邊形的對角線相互平分B.這個四邊形的對角線相互垂直C.這個四邊形的對角線既相互平分,也相互垂直D.這個四邊形是平行四邊形2.命題“若a?A,則b∈B”的否命題是().A.若a?A,則b?B B.若a∈A,則b?BC.若b∈B,則a?A D.若b?B,則a?A3.下列語句是命題的有.

(1)5<2;(2)π是無理數(shù);(3)x+5=8;(4)你是高二的同學(xué)嗎?4.已知命題:若m>2,則方程x2+2x+3m=0無實根,寫出該命題的逆命題、否命題和逆否命題,并推斷真假.命題及其真假的推斷推斷下列語句是否為命題,若是命題,則推斷其真假.①求證:2是無理數(shù);②x2-2x+3≥0;③正三角形是等腰三角形嗎?④x≤3;⑤方程x2+3x+3=0無實數(shù)解;⑥若G2=ab,則a,G,b成等比數(shù)列.四種命題間的關(guān)系將命題“a>0,則函數(shù)y=ax+b的值隨x的增大而增大”,寫成“若p,則q”的形式,并寫出其否命題、逆命題和逆否命題.逆否命題的應(yīng)用求證:已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),則a+b≥0.推斷下列語句是否是命題.(1)求證π是無理數(shù);(2)x2+4x+5=0;(3)若a,b都是無理數(shù),則ab是無理數(shù).寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并推斷其真假.(1)若a>b,則ac2>bc2.(2)兩個無理數(shù)的積仍是無理數(shù).證明:對任意非正數(shù)c,若a≤b+c,則a≤b.1.已知x,y∈R,下列命題中為真命題的是().A.若xy=0,則x2+y2=0 B.若xy=0,則|x|+|y|=|x+y|C.若x>y,則x2>y2 D.若x<y,則xy<2.命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方是正數(shù)”的逆命題是().A.“若一個數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù)”B.“若一個數(shù)的平方是正數(shù),則它是負(fù)數(shù)”C.“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù)”D.“若一個數(shù)的平方不是正數(shù),則它不是負(fù)數(shù)”3.命題“當(dāng)AB=AC時,△ABC是等腰三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中,真命題有個.

4.把下列命題寫成“若p,則q”的形式,并推斷其真假.(1)等腰三角形的兩個底角相等.(2)當(dāng)x=2或x=4時,x2-6x+8=0.(3)菱形對角線相等且相互平分.(4)方程x2-x+1=0有兩個實根.(2021年·天津卷)已知下列三個命題:①若一個球的半徑縮小到原來的12,則其體積縮小到原來的1②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等,則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等;③直線x+y+1=0與圓x2+y2=12相切其中真命題的序號是().A.①②③ B.①② C.①③ D.②③考題變式(我來改編):第一章常用規(guī)律用語第1課時命題學(xué)問體系梳理問題1:(1)來的都是不該來的該走的沒有走(2)真假真命題假命題“若p,則q”條件結(jié)論問題2:結(jié)論條件互逆原命題原命題的逆命題條件的否定結(jié)論的否定互否原命題的否命題結(jié)論的否定條件的否定互為逆否命題原命題的逆否命題問題4:真真假真真假假假(1)相同的真假(2)沒有基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.C條件:若一個四邊形為平行四邊形,結(jié)論:這個四邊形的對角線既相互平分,也相互垂直.2.B留意“∈”與“?”互為否定形式.3.(1)(2)(1)(2)是能判真假的陳述句,是命題.(3)雖是陳述句,但不能推斷真假.(4)是疑問句,不是陳述句.故(3)(4)不是命題.4.解:逆命題:若方程x2+2x+3m=0無實根,則m>2,假命題.否命題:若m≤2,則方程x2+2x+3m=0有實根,假命題.逆否命題:若方程x2+2x+3m=0有實根,則m≤2,真命題.重點難點探究探究一:【解析】題號是否為命題分析①否不是陳述句,因此不是命題②是x2-2x+3=(x-1)2+2≥0恒成立,是真命題③否不是陳述句,因此不是命題④否雖是陳述句,但無法推斷其真假,故不是命題⑤是由于Δ=32-4×3=-3<0,故方程x2+3x+3=0無實數(shù)解,是真命題⑥是若G=a=0,則a,G,b不是等比數(shù)列,故為假命題【小結(jié)】推斷一個語句是否為命題的步驟:先看該語句是否為陳述句,假如不是陳述句,就不是命題,假如是陳述句,再看該語句能否推斷真假,若能推斷真假就是命題,否則不是命題.探究二:【解析】原命題“若p,則q”的形式:當(dāng)a>0時,若x增大,則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增大;否命題:當(dāng)a>0時,若x不增大,則函數(shù)y=ax+b的值也不增大;逆命題:當(dāng)a>0時,若函數(shù)y=ax+b的值增大,則x的值也隨著增大;逆否命題:當(dāng)a>0時,若函數(shù)y=ax+b的值不增大,則函數(shù)x的值也不增大.【小結(jié)】在寫四種命題時,要記住條件和結(jié)論位置的變化及是否已被否定.探究三:【解析】原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),a,b∈R,若a+b<0,則f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.若a+b<0,則a<-b,b<-a,又∵f(x)是在(-∞,+∞)上的增函數(shù),∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).即原命題的逆否命題為真命題,∴原命題為真命題.【小結(jié)】命題的四種形式之間的關(guān)系,供應(yīng)了一個推斷命題真假的變通手段,由于互為逆否的兩個命題是等價命題,它們同真或同假,所以當(dāng)一個命題不易推斷時,可以通過推斷其逆否命題的真假來推斷原命題的真假.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)祈使句,不是命題;(2)由于x2+4x+5=(x+2)2+1>0,對于x∈R,可以推斷其真假,所以是命題;(3)可以推斷真假,所以是命題.應(yīng)用二:(1)逆命題:若ac2>bc2,則a>b,真命題.否命題:若a≤b,則ac2≤bc2,真命題.逆否命題:若ac2≤bc2,則a≤b,假命題.(2)逆命題:乘積為無理數(shù)的兩個數(shù)都是無理數(shù),假命題.否命題:兩個不都是無理數(shù)的積也不是無理數(shù),假命題.逆否命題:乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)不都是無理數(shù),假命題.應(yīng)用三:將“對任意非正數(shù)c,若a≤b+c,則a≤b”視為原命題.要證明原命題為真命題,可以考慮證明它的逆否命題“對任意非正數(shù)c,若a>b,則a>b+c”為真命題.若a>b,由c≤0知b≥b+c,∴a>b+c.∴原命題的逆否命題為真命題,從而原命題為真命題.即對任意非正數(shù)c,若a≤b+c,則a≤b.基礎(chǔ)智能檢測1.B若x=2,y=0,則x2+y2>0,故A是假命題.xy=0即x、y中至少有一個為0,∴|x|+|y|=|x+y|,故B是真命題.若x=2,y=-3,則x2<y2,故C是假命題.若x<y<0,則xy>1,故D是假命題2.B3.2原命題為真命題;逆命題“當(dāng)△ABC是等腰三角形時,AB=AC”為假命題;否命題“當(dāng)AB≠AC時,△ABC不是等腰三角形”為假命題;逆否命題“當(dāng)△ABC不是等腰三角形時,AB≠AC”為真命題.4.解:(1)若一個三角形是等腰三角形,則它的兩個底角相等,真命題.