2023-2024學(xué)年吉林省長春市高三年級(jí)上冊(cè)冊(cè)聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)模擬試題（附解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長春市高三上學(xué)期聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)

模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)填寫在答題卡上，

2.回答選擇時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.已知集合A={Ny=log2（2—x）}.8={yl），=2i},則A06=（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（0,+e）D.（^o,2]

2.已知復(fù)數(shù)7.=上，則z的虛部為（）

1-1

A.-1B.-點(diǎn)C.gD.夕

3.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,4,5,6,x,則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為

4的概率為（）

1112

A.-B.—C."D.—

6323

4.芻薨是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示，其底面A8CO為矩形，頂榜P。和底面平

行，書中描述了芻薨的體積計(jì)算方法：求枳術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六

而一，即V=:（2/W+PQ）4C〃（其中〃是芻薨的高，即頂棱PQ到底面ABC。的距離），已知

6

AB=28C=8,./A。和△QBC均為等邊三角形，若二面角2-AO-8和。一AC—A的大小均為120。，

則該芻薨的體積為（）

99l

A.30GB.20、6C.yV3D.48+4-73

5.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國空間站要安排甲，乙,

丙，丁4名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排2人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排I人.若甲、

乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）種

A.8B.10C.16D.20

=—,則sin|

6.已知cosa——H-sincra-的值是（）

1、6j、6；

A&J_

?------B.C.-D.G

444V

7.已知點(diǎn)尸為拋物線C：爐=4.r的焦點(diǎn)，過戶的直線/與。交于A3兩點(diǎn)，則|A尸|+2忸F|的最小值

為（）

A.2-jlB.4C.3+2&D.6

1113

8.己的a=sin-.A=-cos-,c=ln二，則（）

3332

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.b<a<c

二、多選題：本題共3小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.已知數(shù)列｛4｝滿足。小入芻出二且丁/^^,則下列結(jié)論成立的有（）

4r"+1

A.4=2

B.數(shù)列｛〃可｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛q｝為遞增數(shù)列

D.數(shù)列｛4-6｝的前n項(xiàng)和S”的最小值為S6

10.已知正方體的棱長為2,M為空間中動(dòng)點(diǎn)，N為CO中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的

是（）

兀71

A.若M為線段AN上的動(dòng)點(diǎn)，則與8c所成為的范圍為

B.若M為側(cè)面人”>人上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足MN/平面ARC,則點(diǎn)”的軌跡的長度為加

C.若M為側(cè)面QCGR上的動(dòng)點(diǎn)，且“8=名"，則點(diǎn)M的軌跡的長度為友兀

D.若A7為側(cè)面A。2A上的動(dòng)點(diǎn)，則存在點(diǎn)M滿足M8+MN=26

11.已知/(x)=(x+l)lav,g(x)=x(e、1)(其中e=2.71828?,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則下列結(jié)論正確

的是()

A.尸⑴為函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù)，則方程卜'37-5/(外+6=0有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)解

B.玉w(O,+8)J(x)=g(x)

C.若對(duì)任意x>0,不等式ge+hir)Kg(Aci-x)恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值為-1

/、/、mi

D.若/(x)=g(w)=?f>0),則2居(％+1)的最大值為:?

三、填空題：本題共3小題.

?\6

12.在x-4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

X')

13.已知向量。,b為單位向量，且=-g,向量d與￡+3/j共線，則|/?+c|的最小值為.

14.已知雙曲線C。=1(a>0/>0)的左，右焦點(diǎn)分別為。序P為C右支上一點(diǎn),

/。鳥"二笄,”"鳥的內(nèi)切圓圓心為M,直線尸M交x軸于點(diǎn)M|PM|=3|MN|,則雙曲線的離心率

為.

四、解答題：本題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.為了更好地推廣冰雪體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，某中學(xué)要求每位同學(xué)必須在高中三年的每個(gè)冬季學(xué)期選修

滑冰、滑雪、冰壺三類體育課程之一，且不可連續(xù)選修同一類課程，若某生在選修滑冰后，下一次選

修滑雪的概率為:：在選修滑雪后，下一次選修冰壺的概率為在選修冰壺后，下一次選修滑冰

34

2

的概率為

(1)若某生在高一冬季學(xué)期選修了滑雪，求他在高三冬季學(xué)期選修滑冰的概率：

(2)若某生在高一冬季學(xué)期選修了滑冰，設(shè)該生在高中三個(gè)冬季學(xué)期中選修滑冰課程的次數(shù)為隨機(jī)變

量X,求X的分布列及期望,

16.在ABC中，角A.8,C的對(duì)邊分別為a,〃,c,已知。=1,COSC+CCOSA-2Z?cos8=0.

(1)求B；

(2)若AC=2CO，且8。=6，求J

17.如圖，在四棱錐P-A8C。"底面是邊長為2的正方形，且PB=^BC，點(diǎn)。Q分別為棱CDPA

的中點(diǎn)，且。Q，平面PBC.

(1)證明：。。〃平面04。；

(2)求二面角P-AD-。的大小.

18.已知橢圓。:5+￡=1僅>〃>0)的兩焦點(diǎn)6(—1,0),6(1,0),且橢圓C過尸-

(I)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓。的左、右頂點(diǎn)分別為AB,直線/交橢圓C于例,N兩點(diǎn)(M,N與A3均不重合)，記直

線4W的斜率為勺，直線4N的斜率為他,且4-2&=。，設(shè)AMN,的面積分別為力52,

求W-Szl的取值范圍

19.已知〃力=加2、2.rev(其中c=2.71828?為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)處的切線方程，

(2)當(dāng)時(shí)，判斷了(力是否存在極值，并說明理由；

⑶WxeRJ(x)+LwO,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

1.A

【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B,再利用集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】解：因?yàn)榧?={乂＞=1%(2-力}={%|工＜2},8=}|)，=2'-2}=b|)，＞0},

所以"13=(0,2),

故選；A

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)除法的法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.

iix(l+i)i+i211

【詳解】z=「=.J=丁=一不+丑

I-i(l-i)x(l4-i)222

所以z的虛部為g.

故選：C.

3.A

【分析】根據(jù)x的六種取值情況分別得出中位數(shù)，再利用古典概型概率公式即得.

【詳解】當(dāng)x=L2,3時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3,當(dāng)x=4時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4,當(dāng)工=5,6

時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5,

故由古典概型概率公式可得：P=2.

6

故選：A.

4.D

【分析】根據(jù)給定條件，求出線段PQ長及PQ到底面48co的距離，再代入公式計(jì)算即得.

【詳解】如圖：取力DBC的中點(diǎn)M,N,連接/W,QNWN,

由底面A3CD為矩形，所以MN//AB,

因?yàn)轫斃?Q和底面488平行，且尸。心面加4%面。048^iABCD-AB.

所以PQHAB，所以PQ//MN和P,Q,M,N四點(diǎn)共面，

過只。分別作的延長線的垂線，垂足為P',Q',

因?yàn)榈酌?8co為矩形，易得ADJ.MN

因?yàn)樵谝幻螅緸榈冗吶切?，且M為A。的中點(diǎn)，所以AO_LPM,

因?yàn)镸NPM=M、MN、PMu面PP'QQ',

所以AOJL面夕產(chǎn)。。'，

因?yàn)镸u面PP'Q。'，所以ADJ./VL

又因?yàn)镻產(chǎn)_LPQ,且產(chǎn)。'、AD=M,//ADu面ABCD、

所以P/〉_L面A8C￡),

所以PP為PQ到底面ABCD的距離h,

同理可證：BC上面PPQ。，Q。L面ABCD,

所以4MN為二面角夕-八。-A的平面角；NQNM為二面角Q-8C—A的平面角.

因?yàn)槎娼荘-相＞-8和Q—BC-A的大小均為120。，

所以NPMN=NQNM=120°

由AB=2BC=^PAD和△Q?C均為等邊三角形，

易得PQ=PM+MN+NQ，=8+2值,h=P產(chǎn)=3,

所以V=3(2A8+PQ)KC/=[(2x8+8+26)x4x3=48+46

故選：D.

5.B

【分析1先不考慮甲、乙直接安排，再排除甲、乙在一個(gè)艙內(nèi)的情況即可.

【詳解】若天和核心艙安排2人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，不同的安排方案共有

C：A；=12種；

若甲、乙兩人在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，不同的安排方案共有A；=2種;

所以不同的安排方案共有12-2=10種.

故選：B.

6.B

【分析】先根據(jù)差角公式和輔助角公式將題中所給的條件化簡(jiǎn)，求得sin(a+1)=；,再利用誘導(dǎo)公

式得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閏os[a-己+sina=，+Lina+sina工皿謬

2222I6J4

-r/口■兀I

可得sina+—

6一4，

故選：B.

7.C

【分析】設(shè)直線方程為x="?y+i,聯(lián)立方程組得出A3兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出

M目+2忸川關(guān)于AB兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，使用基本不等式求出最小值.

【詳解】拋物線的焦點(diǎn)廠(M)),

過下(1,0)的斜率為。的直線為y=。，直線工。與拋物線V=4x有且只有一個(gè)交點(diǎn),

與條件矛盾，故直線/的斜率不為0,故可設(shè)直線/的方程為x=〃?.y+i,

2=4x

聯(lián)立方程組廠v,得y2—4/〃),-4=0,

x=my+1

方程y2-4my-4=0的判別式A=16”+16>0,

喏“所以制譚,

設(shè)月，則匯%二-4

If\f

22A

由拋物線的性質(zhì)得IM吟+L|四吟+1=j+i,

.?.|A可+2忸尸|=今+1+三+2=3+?+鳥之3+2.

于$3+2萬

當(dāng)且僅當(dāng),=±2?時(shí)，等號(hào)成立，

故選：C.

8.D

【分析［構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，從而比較大小.

【詳解】設(shè)/⑴二朝…小"由①則/“)…11",

在x/og)時(shí)，ff(x)>0,所以/(%)在(0,外上單調(diào)遞增，

\乙)\乙)

所以fix)>/(0)=0,則/(；)=sin|-lcosl>(),

BDsin->-cos-,則a>〃，

333

IY-l

設(shè)g(x)=lnx+—，則R'(X)=-^,X>0,

X尤”

則當(dāng)xe(0,l),g'(x)vo,所以g(x)為減函數(shù)，

則當(dāng)X￡(l,+8),g\x)>0,所以g(x)為增函數(shù)，

所以gG3)=ln3?+(2>g(l)=l,則ln3?>IQ：

設(shè)/?(x)=x—sinx,xw((),］),5lljh\x)=1-cosx>0,

所以人(幻在［)，5)為增函數(shù)，則〃(；)=；sin；>〃(())=0,

即1>sin',則In3>sin,，所以。>〃；

3323

所以c>a>b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：兩個(gè)常用不等式

(1)x>sinx,xe(0,5

(2)sinx>xcosx,工€(0段)

9.ABD

【分析】變形給定的等式，利用等比數(shù)列的定義判斷并求出｛〃.｝的通項(xiàng)，再逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】在數(shù)列｛凡｝中，由號(hào)二起，得"I：”向=2,而19=1,

因此數(shù)列卜叼｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，則〃q=2"\即〃"=二二，B正確;

23

=—=2,A正確;

4

顯然%＞0,也=一^二號(hào)21，當(dāng)〃=1時(shí)，出=6,因此數(shù)列｛〃”｝不是單調(diào)數(shù)列，C錯(cuò)誤；

當(dāng)〃22時(shí)，%＞可，即數(shù)列的｝從第2項(xiàng)起單調(diào)遞增，而4=々＜6必=力＞6,

67

因此數(shù)歹必可-6｝的前6項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第7項(xiàng)起均為正數(shù)，所以數(shù)歹6｝的前〃項(xiàng)和5“的最小

值為$6,D正確.

故選：ABD

10.BC

【分析】利用異面直線所成角的定義推理計(jì)算判斷A；證明面面平行，可得點(diǎn)M的軌跡可判斷B；

判斷軌跡形狀并求出長度判斷C；利用“將軍飲馬”模型，化折為直，結(jié)合勾股定理，可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)M與N穴重合時(shí)，過M作例E〃8。交C。于E,連接jM,。/,如圖，

由BC工平面CQDG，R￡u平面CODC，得8C_LR￡,有顯然ME//%G，

則為與BC所成的角，tan/〃ME=冬，當(dāng)”與A重合時(shí)=皿=1

當(dāng)M由點(diǎn)A向點(diǎn)N移動(dòng)過程中，RE逐漸增大，ME逐漸減小，則咨逐漸增大，

ME

因此tan/RME＞1,當(dāng)M與點(diǎn)N重合時(shí)，有B￡1RM,ND\ME=g

兀71

所以RM與8?所成角的范圍為,A錯(cuò)誤；

42

對(duì)于B,取。R的中點(diǎn)F,D4的中點(diǎn)G,連接式MGN,AR,RC,AC如圖,

由中位線可知，NF//D￡,GF//\A,D￡u平面AD。,則,“7/平面ARC,

同理可得：GQ〃平面A。。，又破門6r=產(chǎn)且都在面GNF內(nèi),所以面GM//平面A。。，

因?yàn)镸N平面AQC，所以點(diǎn)例tGE則點(diǎn)M的軌跡的軌跡的長度產(chǎn)G=&，故B正確;

對(duì)于C,由8C/平面CQQG，易得△8MC是直角三角形，MB=紀(jì)①，CMBM2-BC2,

33

如圖，

r-CC12_x/3

點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心，生目為半徑的圓弧由8s乙兒「一方一而-5,則N/CG=F，

3------6

3

同理/"。。=?，

所以/〃。=二,軌跡長度為Lx生8x^=立兀，C正確;

62369

對(duì)于D,在平面A8C。內(nèi)延長CD,截取力M=ON,連接交4。于點(diǎn)/,（如圖）

BJ+NJ=BN'=>/9+4=V13>2x/3,

點(diǎn)M與點(diǎn)，重合時(shí)，MB+MN=BJ+NJ,

點(diǎn)用與點(diǎn)/不重合時(shí)，MB+MN>BJ+NJ,

所以不存在點(diǎn)M滿足M4+MV=2百，D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.AC

【分析】對(duì)于A,只需判斷r（x）=2或廣（耳=3的根的個(gè)數(shù)和即可，通過求導(dǎo)研究

V-I1

/，（耳=］必+江1=a（力的性態(tài)畫出圖象即可得解；對(duì)于B,由/（x）單調(diào)遞增，故只需判斷函數(shù)

.X

〃（x）=eJ">0有無零點(diǎn)即可；對(duì)于C,首先得屋同=/?）在（0,+e）上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)換成

心疣1—網(wǎng)北）=機(jī)（〃）=彳-111”,〃=疣、>0在（0,+8）上恒成立驗(yàn)算即可；對(duì)于D,根據(jù)單調(diào)性得

e

%=戶，將問題轉(zhuǎn)換成求字=>0的最大值即可.

對(duì)于A,若[廣（力了_5/（力+6=0,則r（%）=2或7（“）=3,

而r（x）=]nx+^ii=/?（x）,h\x）=---7=^3^,x>0,

AXXX

所以當(dāng)Ovxvl時(shí),/f(-v)<0,力⑴即火力單調(diào)遞減,當(dāng)x>l時(shí)，小)>0,力⑴即/(力單調(diào)遞

增，

所以/'(%=/'⑴=2,而r(H=lInl()>"(10)=lnl0+巳〉3,

所以方程［/'(X并-5尸(力+6=0有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，故A正確：

對(duì)于B,若xe(O,+e)J(x)=g(x)=/(c)由A選項(xiàng)分析可知r(x"2>0,即/(x)單調(diào)遞增，

所以令〃(x)=e'-x,x>0,/(x)=e=l>O,x>。，所以“(X)單調(diào)遞增，

所以“工)=廿一工>〃(0)=1/>0,矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由B選項(xiàng)分析可知在(0,e)上單調(diào)遞增，而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知g(x)=.f(e')在

(0,+8)上單調(diào)遞增，

若對(duì)任意x>0,不等式g(a+lnx)Kg(xe.2-“恒成立，則a+lnx4比皿一工，

即aKxe'2-x-lav=.讓-?一In(xe')在(0,+<%>)上恒成立，

令〃=xe3當(dāng)xw(0,+8)時(shí)，”=疣、w(0,+8),令〃?(〃)=彳>。，

e

則加(〃)=4一'="，〃:>0,

e'ue'u

所以當(dāng)〃e(0,e，時(shí)，小(〃)單調(diào)遞減，當(dāng)〃e(e\y)時(shí)，硝〃)>0,〃?(〃)單調(diào)遞增，

2

所以〃=〃?(/)=馬一hie?=-1,

e

因?yàn)閍<A-ev2-In(xev)=/〃(〃)=2一In=xex>0在(0,+向上恒成立，

e

所以。<一1,即4^=7,故C正確；

對(duì)于D,若/缶)=8(勺)=/(-)=/)0，

又/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以％=e3

InrInrInrIn/

所以和司=研詢=/后萬=〃z(x山>°，

所以響=與乎">0,所以當(dāng)兵(0,e)時(shí),〃'⑺>0,〃⑺單調(diào)遞增，當(dāng)r?e,y)時(shí)，/0<0,

4，

⑺單調(diào)遞減,

/、1Inr1

所以〃⑴皿二五，即訴而的最大值為孤，故口錯(cuò)誤?

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷A選項(xiàng)的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，判斷BCD的關(guān)鍵是首先根據(jù)單調(diào)性“去括號(hào)”,

然后轉(zhuǎn)換成恒成立問題或最值問題即可順利得解.

12.60

【分析】由二項(xiàng)式定理可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令6-3r=0,運(yùn)算即可得解.

【詳解】解：二項(xiàng)式『芻]的展開式的通項(xiàng)公式為卻=禺尸'/[=(-1)，2y尸"

令6-3廠=0,解得i=2,

所以卜-福)的二項(xiàng)展開式中,常數(shù)項(xiàng)為(-1)222^=60.

故答案為：60.

13.—

14

【分析】令c=Na+3與jeR,利用向量模的計(jì)算公式把|力+。|表示成，的函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可.

【詳解】因向顯c與方十3b共線，令c=?a+3b)/eR,

則Z;+c=/a+(l+3/)b,而向量。，〃為單位向量，且』〃=-3,

3+6+1=業(yè)+/2+畀筌

當(dāng)且僅當(dāng)/==時(shí)取“=”，

14

所以W+cl的最小值為叵.

14

故答案為：—

14

7

14.-##1.4

5

【分析】首先由|PM|=孑MM轉(zhuǎn)化成置=4,分別利用雙曲線上點(diǎn)的性質(zhì)和余弦定理化簡(jiǎn)求得

計(jì)算即得.

如圖，分別過點(diǎn)產(chǎn)和點(diǎn)用作x軸的垂線段PQ,MR,因歸M|=3|MN|,故易得：闔=瑞=4,

,7T

不妨設(shè)|「甲=間夕圖=兒依題意得:"7-〃=①，由余弦定理：m2=n2+4c2-4/iccos—,

3

將①式代入得：〃?+〃=生i竺②，由①-②整理可解得:

整理得：(〃，-〃)(〃?+〃)=4c2+2nc,

再將其代入②式右邊，計(jì)算可得:=士網(wǎng)③

2a-c

|PQ|〃?+〃+2c.

由題意，△尸￡行的面積為：：x2cx|PQb；x(/〃+〃+2c)x|M/?|,化簡(jiǎn)得:==4,

|MR|2c

7

將③式代入并整理得：c(5c-la)=0,因c>0,則離心率為：e=(

7

故答案為：-

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的離心率求解問題.

解決圓錐曲線的離心率問題，一般離不開圓錐曲線的定義，如果有角的條件，則常常要用到正余弦

定理，如果有三角形的內(nèi)切圓條件，一般與三角形的等面積轉(zhuǎn)化有關(guān)，遇到線段的比值時(shí)，經(jīng)常需

要利用相似形轉(zhuǎn)化.

3

15.(I)—

10

27

(2)分布列見解析，—

【分析】(1)利用獨(dú)立事件的乘法公式求解;

（2）易得隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,分別求得其概率.列出分布列，再求期望.

【詳解】（1）解：若高一選修滑雪，設(shè)高三冬季學(xué)期選修滑冰為隨機(jī)事件A,

323

則P（4）=-x-=一

V74510

（2）隨機(jī)變量X的可能取值為1,2.

z3231PX

PD（Xv=ln）=-x-+-x-=￡（=2）32+_LXL2

'7534320'/534320

所以X的分布列為:

/6.

4UD

⑵海

2

【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理可解；

（2）根據(jù)題意，設(shè)CD=x,則AC=2x,在ABC.ABC與ABCD中,利用余弦定理得到c與工

的方程，從而求解.

【詳解】（I）a—L-'.cosC+cccS—2bcc*R=/7cosC+rccS—2bcc*R-0.

由正弦定理，可得

sinAcosC+sinCcosA-2sinBtosB=sin（A+C）-2sinBcosB=0.

又.A+4+C=7t,..sin（4+C）=sin3H0,「.cos4=g,

-B?=3兀-

（2）AC=2CD，設(shè)CZ）=K,W'JAC-2x,

在,ABC中，cosB=0+I-c2+1-4x2=c.

2c2

22

在.ABC與ABCD中，cos/ECA="“Y,cqsZBCD=6x-c-3=0.

4,v2x

22o八3±向?3+歷

c-3c-3=0,.，.c=------.*,*c>0c=--------

22

17.（1）證明見解析

【分析】(I)取E4中點(diǎn)G,連接G0,G。，可證。?！ā晷?，進(jìn)而OQ〃平面?人。；

(2)根據(jù)已知可證平面A8C。，取A8中點(diǎn)E,以。￡,。。，。。所在直線分別為x，y，z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由兩平面夾角的向量公式可解.

【詳解】(1)取24中點(diǎn)G,連接GQ,G。.?.點(diǎn)。為尸8中點(diǎn)，

/.GQ//AB,GQ=；AB.

底面是邊長為2的正方形，。為CO中點(diǎn)，

DO//AB,DO=-AB.

2

■.GQ//0。,6。=0。二.四邊形6。0。是平行四邊形.

OQ//DG,OQ(Z平面PAD,GDu平面PAD,

AOQ〃平面PAD.

(2)'：DQV平面PBC,BCu平面PBC「.DQVBC.

又.?底面是邊長為2的正方形，DQcDC=D、

OQu平面QCQ,%<=平面。。。，..8。_1平面。。。.

QOQu平面DCQ,:.AC_LOQ又?jCQu平面DCQyBCLCQ.

PB=2R,:.QB=6BC=2,:.QC=>[2.

；底面是邊長為2的正方形，「.DB=2vl.?.DQ=42「.DQ=CQ,

?.,O為C。中點(diǎn)，??.OQLQC.

又：BC1OQ,DCcBC=C,DCu平面ABCD,BCu平面ABCD,

.?.OQ_L平面A8CO.

取A5中點(diǎn)E,以。EOC，。。所在直線分別為x，F(xiàn)Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-町z,

則0(0,0.0),Q(0,0,1),A(2,-1,0),8(2,1,0),0(0,-1,0),尸(—2,-1,2)

所以AP=(T,0,2),40=(—2,0,0),AQ=(-2,1,1),

設(shè)平面PAD法向量為m=（x,y,z）,

m-AP=-4x+2z=0

則.?.〃?=((),1,0)

m-AD=-2x=0

設(shè)平面如。法向量為〃=（不加zj,

n-AQ=-2xx+y+z,=0

則=(O,U-l),

n-AD=-2七=0

in-nyJ2

cos;n,H=-=—,

r網(wǎng)Tn同2

所以向量的夾角為;，結(jié)合圖形可知二面角2-A。-Q為銳角,

4

所以二面角P-A。-。的大小為

4

18.⑴三+二=|

43

⑵陷

C=1

【分析】（1）由題意可得：a2-b2=c2,求解即可:

33,

—+—7=1

（2）先確定直線MN的斜率必不為0,設(shè)其方程為x=）+〃!（機(jī)工±2）,聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定

理，結(jié)合題意可得直線MN恒過x軸上一定點(diǎn)。（一?1，（））.從而可求得

⑸-訃容^^^可,進(jìn)而可求解.

c=1a=2,

【詳解】（1）由題意可得：/-〃，解得〃=6,所以橢圓的方程為：—+￡-=1：

331c=143

b+^=1

（2）依題意,A（-2,0）,3（2,0）,設(shè)“a，yJ,N（孫為），直線5M斜率為臉.

若直線MN的斜率為0,則點(diǎn)M.N關(guān)于），軸對(duì)稱，必有4+&=（），不合題意.

所以宜線MN的斜率必不為0,設(shè)其方程為x=0，+〃z（〃7工±2），

3vJ+4v2=12

與橢圓C的方程聯(lián)立一，得（3產(chǎn)+4）），2+6〃小，+3病-12=0,

x=ty+陽

6tm

y+%=一

所以△=48（3/+4—〃打＞。，且.3產(chǎn)+4

3W2-12

y%=

35+4

因?yàn)槔╔，y）是橢圓上一點(diǎn)，滿足￡+41=1,

3-Q

則…『=2&，即—

因?yàn)樵?=缶_維_2）

=________2122________二、一―，

m22

（彷十m-2）（仇+〃L2）ryxy2+f（〃L2）（必十%）十（-）

3/-12,、、

_____________________________=3("-4)=3(m+2)=_3

4(/??-2)24(/??-2)8

所以加=_|,此時(shí)A=48（3產(chǎn)+4一§=48(3/+高＞0,

（2

故直線MN恒過x軸上一定點(diǎn)。一4,。

因叫3nr-l232

y^=^V=-^4）-

ir2、i（2、

所以|$一Sal=5|y-2-1一--\）\-y2\2-「正

=||yi-y|=|J（乂+）'2＞一4）仍=卻建_更忙上

2

JJ3產(chǎn)+43V”+4『

二8G]14

3q3產(chǎn)+49（3『+4）2，

（°，｛|’132卜竽

令〃一一一G

3尸+4

當(dāng)〃=彳匕=；即，=0時(shí)，|S「S2|取得最大值等.

???想一邑|=啕*+代（°呼］

y

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（內(nèi)方）,伍，力）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或＞）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為內(nèi)+9、陽再（或y+為、）1％）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

19.(I)y=-4ev+2e

(2)有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，理由見解析

(3)[(1-⑹e&,0)

【分析】(1)當(dāng)。=()時(shí)，求得/'(X)=-2(x+l)e',結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；

(2)當(dāng)〃時(shí)，求得/(力=。'(爐—2x-2),F(x)=ev-2x-2,利用導(dǎo)數(shù)求得*x)的單調(diào)性

與F*)min<。，得到存在NW(T』n2)使得產(chǎn)(切=0,存在A2c(ln2,2)使得