安徽省A10聯(lián)盟2024屆高三4月質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題 含解析

第1頁/共1頁1號(hào)卷·A10聯(lián)盟2024屆高三4月質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中學(xué)舒城中學(xué)太湖中學(xué)天長中學(xué)屯溪一中宣城中學(xué)滁州中學(xué)池州一中阜陽一中靈盟中學(xué)宿城一中合肥六中太和中學(xué)合肥七中科大附中野寨中學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答.第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.4 B.7 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】求出集合中元素，進(jìn)而求出集合的子集個(gè)數(shù)．【詳解】由題意得，，則的子集個(gè)數(shù)為，故選：C．2.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)在C上，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，求得，求出，即可求得的面積.【詳解】將代入C的方程，得，故，所以，則的面積.故選：A.3.已知，，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：B.4.學(xué)校安排含唐老師、李老師在內(nèi)的5位老師去3個(gè)不同的學(xué)校進(jìn)行招生宣傳，每位老師都必須選1個(gè)學(xué)校宣傳，且每個(gè)學(xué)校至少安排1人.由于唐老師是新教師，學(xué)校安排唐老師和李老師必須在一起，則不同的安排方法有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.60種【答案】B【解析】【分析】把5位老師按和分組，再把分成的3組安排到3所學(xué)校，列式計(jì)算得解.【詳解】把5位老師按和分組，且唐老師和李老師在一起的不同分組方法數(shù)為，所以不同的安排方法有（種）.故選：B5.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得解.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，所以故選：C6.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知等式結(jié)合正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系和特殊三角函數(shù)值得到結(jié)果即可【詳解】由及正弦定理得，即，由及余弦定理可得，∴，∴，∴.又，∴.故選：D.7.已知是圓O：直徑，M，N是圓O上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（）A.0 B.-2 C.-4 D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)C，結(jié)合垂徑定理與數(shù)量積的運(yùn)算表示出后，借助三角函數(shù)值域即可得解.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為C，∵，，則，∵C為的中點(diǎn)，∴，設(shè)向量與的夾角為，∴，又，∴的最小值為.故選：C.8.若定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（）A.0 B.-1 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】利用賦值法，先后求出，，再令，得到，即可求解.【詳解】令，則有，又，∴.令，.則有，∴令，則有.∵，∴，∴，∴.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，運(yùn)動(dòng)員們都在積極參加集訓(xùn)，已知某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次集訓(xùn)中7位裁判給出的分?jǐn)?shù)分別為：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，則這組數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為9.6 B.眾數(shù)為10C.第80百分位數(shù)為9.8 D.方差為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)和方差的定義求解.【詳解】對(duì)于A，平均數(shù)，故A正確；對(duì)于B，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為10，故B正確；對(duì)于C，7×0.8=5.6，第80百分位數(shù)為第6位，即10，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方差為，故D正確.故選：ABD.10.在信息時(shí)代，信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)的圖象可以近似模擬某種信號(hào)的波形，則（）A.為偶函數(shù) B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.是的一個(gè)周期【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)奇偶函數(shù)得定義判斷；對(duì)B，計(jì)算可判斷；對(duì)C，計(jì)算可判斷；對(duì)D，根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷.【詳解】由題意得，，對(duì)于A，，，∴函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，，∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，，∴不是的周期，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），點(diǎn)在直線上，點(diǎn)Q在直線上，且，則（）A.C的離心率為3 B.當(dāng)時(shí)，C. D.為定值【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)離心率的公式即可求解A，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長公式即可求解B，根據(jù)二倍角公式以及斜率關(guān)系即可求解C，根據(jù)角的關(guān)系即可求解線段長度相等，判斷D.【詳解】由題意得，，故A錯(cuò)誤；聯(lián)立，得，解得或，則，故B正確；由直線：可知，又，，故在線段的中垂線上，設(shè)，的斜率分別為，，，故直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，，故.當(dāng)軸時(shí)，，是等腰直角三角形，且易知；當(dāng)不垂直于x軸時(shí)，直線的斜率為，故，因?yàn)?，所以，所以，，故C正確；因?yàn)椋?，故，故D正確.故選:BCD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由實(shí)部和虛部都小于零解不等式組求出即可.【詳解】由題意得，，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，即可得到，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，令，則，易知單調(diào)遞增，所以.令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，得.所以的最大值為.故答案為：14.已知正方體的體積為8，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，三棱錐的外接球體積為______.【答案】##【解析】【分析】首先將平面展成與平面同一平面，確定點(diǎn)的位置，再建立空間直角坐標(biāo)系，確定球心的位置，根據(jù)球體積公式計(jì)算即可．【詳解】由題意得，，將平面展成與平面同一平面，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，在展開圖中作，垂足為N，因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，，由得，，解得，在正方體，過點(diǎn)作，垂足為，則，如圖，以D為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，且，所以平面，因?yàn)椋匀忮F外接球的球心在上，設(shè)球心為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即，所以外接球，所以三棱錐外接球的體積，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體圖形中求線段和最小值，將線段所在平面展開在同一平面，即可確定最小值；確定立體圖形的外接球，可先確定球心所在直線，建立空間直角坐標(biāo)系求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的方程；（2）若函數(shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）令，分離參數(shù)可得，由題意可得方程在上有2個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出其極值和單調(diào)區(qū)間即可得解.【小問1詳解】由題意得，，故，解得，而，故所求切線方程為，即；【小問2詳解】令，則，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有2個(gè)根，令，，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.如圖，在三棱柱中，，，，，P為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段上靠近的三等分點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先得到，，得到線面垂直，故，再得到，由三線合一得到，得到線面垂直，得到結(jié)論；（2）先證明出面面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)椋?，又，所以，故?cè)面為矩形，故，又，，，所以平面，而平面，故，又，，故為等邊三角形，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，故，且，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，?【小問2詳解】由（1）知，平面，又平面，故平面平面，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)C在平面內(nèi)作垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，設(shè)，則，即，解得，故，易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量，則，令，則.記平面與平面夾角為，故，即平面與平面夾角的余弦值為.17.某學(xué)校組織一場由老師與學(xué)生進(jìn)行的智力問題比賽，最終由小明同學(xué)和唐老師入圍決賽，決賽規(guī)則如下：①學(xué)生：回答n個(gè)問題，每個(gè)問題小明回答正確的概率均為；若小明回答錯(cuò)誤，可以行使學(xué)生權(quán)益，即可以進(jìn)行場外求助，由場外同學(xué)小亮幫助答題，且小亮每個(gè)問題回答正確的概率均為.②教師：回答個(gè)問題，每個(gè)問題唐老師回答正確的概率均為.假設(shè)每道題目答對(duì)與否相互獨(dú)立，最終答對(duì)題目多的一方獲勝.（1）若，，記小明同學(xué)答對(duì)問題（含場外求助答對(duì)題數(shù)）的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望：（2）若，且小明同學(xué)獲勝的概率不小于，求p的最小值.【答案】（1）分布列見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）求出小明答每個(gè)問題，回答正確的概率，再利用二項(xiàng)分布求出分布列及期望.（2）求出小明答對(duì)1個(gè)、2個(gè)試題的概率，唐老師答對(duì)0個(gè)、1個(gè)試題的概率，再把小明獲勝的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率.【小問1詳解】小明同學(xué)答每個(gè)問題，回答正確的概率，的所有可能取值為，顯然，則，，，，則的分布列為0123數(shù)學(xué)期望.【小問2詳解】記事件為小明同學(xué)答對(duì)了道題，事件為唐老師答對(duì)了道題，，，其中小明同學(xué)答對(duì)某道題的概率為，答錯(cuò)某道題的概率為，則，，，，所以小明同學(xué)獲勝概率為，解得，所以的最小值為.18.已知橢圓C：的短軸長為4，過右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的投影分別為，（在的左側(cè)）；當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求的方程；（2）若圓：，判斷以線段為直徑的圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若直線與直線交于點(diǎn)M，的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）圓與圓內(nèi)切，理由見解析（3）或【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，以及直線的斜率，求橢圓方程；（2）根據(jù)橢圓的定義，表示圓心距和兩圓半徑的關(guān)系，即可判斷兩圓的位置關(guān)系；（3）首先設(shè)直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示的面積，即可求解直線方程.【小問1詳解】易知，則.設(shè)，，則，相減得，，故，解得，則，故橢圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，圓的半徑為,橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，，設(shè)為線段的中點(diǎn)，則，故圓與圓內(nèi)切.【小問3詳解】當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不符合題意，舍去.當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，易知，則，.易知，，所以直線：①，直線：②，聯(lián)立①②，所以，因?yàn)?，所以，解得，故直線的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示面積公式.19.在不大于的正整數(shù)中，所有既不能被2整除也不能被3整除的個(gè)數(shù)記為.（1）求，的值；（2）對(duì)于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）記表示不超過的最大整數(shù)，且，求的值.【答案】（1），（2）不存在，理由見解析（3）500【解析】【分析】（1）由的定義，分別求出，；（2）若成立，可轉(zhuǎn)化為，即，即可判斷；（3）根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，可證，即，得解.【小問1詳解】在不大于的所有正整數(shù)中，所有既不能被2整除也不能被3整除的數(shù)為1，5，7，11，13，共5個(gè)，所以.在不大于的所有正整數(shù)中，所有既不能被2整除也不能被3整除的數(shù)為1，5，7，11，13，17，19，23