安徽省淮北市2024屆高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試題 含解析

第1頁/共1頁安徽省淮北市2024屆高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項:1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結合結合的運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】由集合，可得，所以.故選：B.2.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)化簡復數(shù)，然后在進行平方運算.【詳解】因為，所以.故選：.3.已知，下列命題正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】舉反例即可推出A,B,C錯誤，D利用反比例函數(shù)單調(diào)性和不等式可加性即可證得.【詳解】當時，，所以A錯.當時，，所以B錯.當時，，所以C錯.若，則，則成立，所以D正確.故選：D4.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除B,D兩項，再根據(jù)圖象取特殊值，排除A項即得.【詳解】由可知，，即，顯然該函數(shù)定義域關于原點對稱，由可知，函數(shù)為奇函數(shù)，排除B,D兩項，又，排除A項，故C項正確.故選：C.5.某次考試一共5道判斷題，有三名考生參加考試，每人均答對4道題，答錯一道題，三人回答具體情況記錄如下:題號考生甲考生乙考試丙則這5道題的正確答案依次為（）A.FFFTTB.FTFTTC.TFFTFD.TFFTT【答案】D【解析】【分析】根據(jù)答題情況，對第1題的答錯情況進行判斷，可得全部正確答案.【詳解】每個考生都均答對4道題，答錯一道題，第1題，若甲乙答錯，則甲乙的后四題答案應相同，不成立，故丙答錯了第1題；丙答錯了第1題，則丙的后四題全部正確，對比可知，甲答錯了第4題，乙答錯了第2題，則這5道題的正確答案依次為TFFTT.故選：D6.若函數(shù)是偶函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，得出，利用對數(shù)的運算性質(zhì)整理成，分析即得.詳解】依題意，，即，整理得：，即，則有，因不恒為0，故必有，解得，.故選：B.7.已知為雙曲線的右頂點，為坐標原點，為雙曲線上兩點，且，直線的斜率分別為4和，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由可得：是的中點，即關于原點對稱，然后設點，去表達直線的斜率，聯(lián)立方程組可解得，最后把這點代入雙曲線方程，就可以得到一個關于離心率的方程，并解得結果.【詳解】由可得：是的中點，即關于原點對稱，不妨假設點，則，由及直線的斜率分別為4和可得：，聯(lián)立解得：，所以把點代入雙曲線方程得：，再由代入得：，解得：，，故選：A.8.當實數(shù)變化時，函數(shù)最大值的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】先對內(nèi)函數(shù)對應的方程的根的情況分類討論，得出時，結果為16，對于時，求出兩根，根據(jù)圖象，就內(nèi)函數(shù)的零點與區(qū)間端點的位置進行分類考慮，利用函數(shù)單調(diào)性分析即得.【詳解】若，即時，，其對稱軸為，，此時，因，故的最小值為16；若，由可得，（Ⅰ）如圖1，當時，即時，上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，又，①當時，，故，而在上單調(diào)遞減，則此時，；②當時，，故，而在上單調(diào)遞增，則此時，.（Ⅱ）如圖2，當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則此時，而在上單調(diào)遞減，則.綜上，函數(shù)最大值的最小值為8.故選：D.【點睛】方法點睛：本題主考查絕對值函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，屬于難題.解決絕對值函數(shù)的方法，主要是根據(jù)其內(nèi)部函數(shù)的特點，結合圖象，就參數(shù)分類討論去掉絕對值，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求其最值.二、多項選擇題:木題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和分別為，若，則（）A. B.C.的前10項和為 D.的前10項和為【答案】ABD【解析】【分析】本題首先根據(jù)題意判斷出數(shù)列、分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公式，進而分析也是等比數(shù)列并求出其通項公式，可解決選項A、B、D的問題，再依據(jù)裂項法，可解決選項C的問題.【詳解】，所以是首項，公差的等差數(shù)列，，故選項A正確.令，則，，又，，，故選項C錯誤.又，，又，，，是首項為，公比的等比數(shù)列，，故選項B正確.又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，，故選項D正確.故選：ABD.10.已知正方體的棱長為分別是棱的中點，下列結論正確的是（）A.B.C.棱的中點在平面內(nèi)D.四面體的體積為1【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量研究線線關系可判定A、B，利用空間向量研究點面距離結合錐體體積公式可判定D，補全平面截正方體的截面可判定C.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標系，則，所以，由空間向量共線的充要條件知若，則有，顯然上述方程無解，故A錯誤；又，所以B正確；延長交于H點，連接交于G點，由平行線分線段成比例可知G為靠近B點的線段的一個三等分點，故C錯誤；設平面的一個法向量為，易知，則，令，即，則N到平面的距離為，而，所以，故D正確.故選：BD11.如圖所示的鐘表中，時針初始指向“12”，每次擲一枚均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面則時針按順時針方向旋轉，若出現(xiàn)反面則時針按逆時針方向旋轉，用表示次后時針指向的數(shù)字，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，的可能取值為，求出相應的概率，得到期望；B選項，2次旋轉中，1次順時針方向旋轉，1次逆時針方向旋轉，得到概率；C選項，設硬幣正面朝上的次數(shù)為，列出方程，求出，求出；D選項，求出的可能取值及對應的概率，得到數(shù)學期望，得到答案.【詳解】A選項，的可能取值為，且，故，A正確；B選項，，即2次旋轉中，1次順時針方向旋轉，1次逆時針方向旋轉，故，B錯誤；C選項，，即順時針走了或逆時針走了，設硬幣正面朝上的次數(shù)為，則反面朝上的次數(shù)為，，解得，故，C正確；D選項，若硬幣8次均正面朝上，此時，故，若硬幣7次正面朝上，1次反面朝上，此時，故，若硬幣6次正面朝上，2次反面朝上，此時，故，若硬幣5次正面朝上，3次反面朝上，此時，故，若硬幣4次正面朝上，4次反面朝上，此時，，若硬幣3次正面朝上，5次反面朝上，此時，，若硬幣2次正面朝上，6次反面朝上，此時，，若硬幣1次正面朝上，7次反面朝上，此時，，若硬幣8次均反面朝上，此時，，故，D正確.故選：ACD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與共線，則實數(shù)______.【答案】2【解析】【分析】利用平面向量共線坐標式列出方程，求解即得.【詳解】由可得，，，因與共線，則有，解得.故答案為：2.13.在的方格中，每個方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若每個的方格中的四個小方格的顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，第一個的方格有種涂法，假設第一個的方格，涂如圖所示四種顏色，分類求得不同的涂色方法，結合分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】設四種顏色分別為，對于第一個的方格，共有種不同的涂法，假設第一個的方格，涂如圖所示四種顏色，①若第三列的一個方格涂，第三列的第二方格涂，則第三列的第三方格涂或，當?shù)谌械牡谌礁裢繒r，則第三行的第一、二方格，分別涂；當?shù)谌械牡谌礁裢繒r，則第三行的第一、二方格，分別涂；②若第三列的一個方格涂，第三列的第二方格涂，則第三列的第三方格涂或，當?shù)谌械牡谌礁裢繒r，則第三行的第一、二方格，分別涂；當?shù)谌械牡谌礁裢繒r，則第三行的第一、二方格，分別涂；所以，共有類涂法，則共有種不同的涂色方法.故答案為：.14.在等腰梯形中，，若，則梯形周長的最大值為______，梯形面積的最大值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】過作，為垂足，設，，把梯形周長和面積表示為關于的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求最大值.【詳解】設，，則中，，，過作，為垂足，則，，等腰梯形周長為，所以當時，梯形周長的最大值為10.梯形面積，當且僅當，即時等號成立，所以梯形面積的最大值為.故答案為：；.【點睛】思路點睛：設，利用圖形特征，把梯形周長和面積表示為關于的函數(shù)，借助函數(shù)的思想，利用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，或不等式的性質(zhì)，求最大值.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）試判斷的形狀；（2）若，求周長的最大值.【答案】（1）是直角三角形（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；（2）由（1）和，得到，則周長為，結合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周長為，因為，可得，所以，當時，即為等腰直角三角形，周長有最大值為.16.如圖，在長方體中，點E、F分別在，上，且，．（1）求證：平面；（2）當，，時，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以線面垂直判定定理去證明即可解決；（2）建立空間直角坐標系，以向量法去求平面與平面的夾角的余弦值即可解決.【小問1詳解】因為平面，平面，所以．又，，所以平面因為平面，所以同理：因為平面，平面，所以．又，，所以平面因為平面，所以又因為，，所以平面【小問2詳解】以為原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系如圖．則，，，，，．所以，且是平面的一個法向量．，設平面的法向量為則，即所以，令，得．則平面的一個法向量為．所以．，所以．所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.塔山石榴，產(chǎn)自安徽省淮北市烈山區(qū)塔山，種植迄今已有千年歷史.為了進一步發(fā)展高效農(nóng)業(yè)，豐富石榴品種，壯大石榴產(chǎn)業(yè)，當?shù)卣心撤N業(yè)科研公司培育了兩種新品石榴，將它們分別種植在兩塊土質(zhì)和大小相同的試驗田內(nèi)，并從收獲的果實中各隨機抽取300個，按質(zhì)量（單位:g）將它們分成4組:，，得到如下頻率分布直方圖:（1）分別估計品種石榴單個果實的質(zhì)量；（2）經(jīng)篩選檢測，除去壞果和瑕疪果，兩種石榴的合格率如下表:A品種合格率0.70.80.70.8品種合格率0.70.80.80.9已知A品種混放在一個庫房，品種混放在另一個庫房，現(xiàn)分別從兩個庫房中隨機各抽取2個石榴，其中合格石榴的總個數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1）94g，90g（2）分布列見解析，期望為3.1【解析】【分析】（1）分別根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)估計即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖及合格率表先得出兩個品種取得合格品的概率，再分別計算隨機抽取到合格品個數(shù)的概率，列出其分布列并計算期望即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得樣本中A品種石榴單個果實質(zhì)量的估計值為:樣本中品種石榴單個果實質(zhì)量的估計值為:【小問2詳解】設A:從品種石榴中任取1個為合格品；B:從品種石榴中任取1個為合格品；則:由題意得，則，所以的分布列為012340.00250.0350.18250.420.36所以.18.如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓上不同三點，滿足，且成等差數(shù)列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標的取值范圍；（3）直線與交于點，交軸于點，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角形重心坐標公式先求A坐標，再代入橢圓方程結合其性質(zhì)計算即可；（2）設B、D、E坐標，并根據(jù)焦半徑公式得，由等差中項的性質(zhì)得出，再根據(jù)點差法得出中垂線的斜率，表示中垂線方程，結合點在橢圓內(nèi)計算范圍即可；（3）設M、N坐標，聯(lián)立橢圓方程結合韋達定理得出其橫坐標關系，再根據(jù)平面向量的坐標表示，利用函數(shù)的性質(zhì)計算范圍即可.【小問1詳解】不妨設，因為的重心，所以，所以，又短軸長為6，所以，代入解得，所以橢圓方程為:；【小問2詳解】由上可知，設中點，則，又，消去并整理得，同理，又，由題意得，即，因B，D在上，易得，化簡得，所以線段中垂線的斜率，線段中垂線方程:，令得，又線段中點在橢圓內(nèi)所以，所以；【小問3詳解】設，由得，聯(lián)立消整理得，得，所以，當時，，當時，，解不等式得.【點睛】思路點睛：根據(jù)焦半徑公式及等差中項的性質(zhì)可確定中點橫坐標，再由中垂線方程得出E與中點的關系結合點在橢圓內(nèi)計算范圍即可解決第二問；利用平面向量共線的坐標表示結合韋達定理計算橫坐標關系，分類討論斜率是否為零，再含參表示結合函數(shù)的性質(zhì)求范圍解不等式即可.19.已知函數(shù)，其中（1）若，記，試判斷在上的單調(diào)性；（2）求證:當時，；（3）若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）直接利用導數(shù)的運算法則計算，利用三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可判定單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)為偶函數(shù)，則只判定時，即可；法一、分區(qū)間討論顯然成立，時，多次求導結合三角函數(shù)有界性判定即可；法二，在時，放縮證明即可，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性證明即可；（3）將題設通過換元法化簡為有恒成