高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《三角函數(shù)求w類型及三角換元應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《三角函數(shù)求w類型及三角換元應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________題型01平移型求w【解題攻略】平移型求w，可以借助代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，或者利用單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合圖形解出值或者范圍?！镜淅?-1】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【典例1-2】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與原函數(shù)圖像重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．9【變式1-1】（2021春·浙江杭州·高三學(xué)軍中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將函數(shù)的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2【變式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)校考一模）將函數(shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【變式1-3】（陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型02單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性求w【解題攻略】正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間（k∈Z）上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間（k∈Z）上都單調(diào)遞減余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上都單調(diào)遞減【典例1-1】（上海市川沙中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是________【典例1-2】（廣西玉林市育才中學(xué)2022屆高三12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，在區(qū)間上單調(diào)，則的值為_____________.【變式1-1】函數(shù),若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),且則的值為（）A． B．或 C． D．或【變式1-2】若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是____________.【變式1-3】（2022-2021學(xué)年度下學(xué)期高三數(shù)學(xué)備考總動(dòng)員C卷）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.題型03對(duì)稱中心（零點(diǎn)）求w【解題攻略】正弦函數(shù)對(duì)稱中心(kπ，0)(k∈Z)余弦函數(shù)對(duì)稱中心(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)正切函數(shù)對(duì)稱中心(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)【典例1-1】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的一個(gè)最小正周期是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期中）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，周期是的對(duì)稱中心，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對(duì)稱中心是，則（

）A． B． C．3 D．【變式1-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的一個(gè)最小正周期是（

）A． B． C． D．題型04對(duì)稱軸型求w【解題攻略】正弦函數(shù)對(duì)稱軸（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；（k∈Z）時(shí)，ymin＝－1余弦函數(shù)對(duì)稱軸x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）時(shí)，ymin＝－1【典例1-1】（2022秋·山西長(zhǎng)治·高三山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對(duì)稱軸方程為，則（

）A．3 B．2 C． D．1【典例1-2】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則的最小正周期的最大值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸是（）A． B．C． D．【變式1-2】（“超級(jí)全能生”高考全國(guó)卷26省9月聯(lián)考乙卷數(shù)學(xué)試題）已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【變式1-3】已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是A． B．C． D．題型05對(duì)稱軸及單調(diào)性型求w【典例1-1】（2021屆重慶市南開中學(xué)高考沖刺二數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為___________.【典例1-2】（2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國(guó)Ⅱ卷?數(shù)學(xué)（二）試題）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)，則的最大值為（）A． B．3 C． D．【變式1-1】（四川省成都市新都區(qū)2020-2021學(xué)年高三診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為________．【變式1-2】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱軸方程為，則的值可能是（

）A． B． C．1 D．【變式1-3】（內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測(cè)）若直線是曲線的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（

）A．9 B．7 C．11 D．3題型06“臨軸”型求w【解題攻略】若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則或.【典例1-1】（2023秋·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，且該函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的最短距離為，直線是該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則該函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，若在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，是函數(shù)圖象上兩條相鄰的對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023春·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1-3】（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．題型07“臨心”型求w【解題攻略】函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸，由求對(duì)稱中心.(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.【典例1-1】（2023春·廣東珠海·高三?？迹┮阎瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，的最大值為2，其圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．將圖象向右平移個(gè)單位與原圖象重合C．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【變式1-1】（河南焦作·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（云南紅河·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【變式1-3】（2021上·四川雅安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，點(diǎn)和是其相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則（）A． B． C． D．題型08區(qū)間內(nèi)有“心”型求w【解題攻略】求w的表達(dá)式時(shí)，中不要把寫成k,因?yàn)楹竺孢€有一個(gè)k,中不要把寫成k，否則不好研究w的最小值.它們本身就不一定相等.【典例1-1】（天津市部分區(qū)2020屆高考二模數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)()在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【典例1-2】（2021春?商洛）已知函數(shù)在，上恰有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【變式1-1】（2022?湖北模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【變式1-2】（云南省2020屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)（，）圖象過(guò)點(diǎn)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的最值情況為（

）A．最小值為，最大值為 B．無(wú)最小值，最大值為C．無(wú)最小值，最大值為 D．最小值為，最大值為【變式1-3】（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題16-20題）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．題型09區(qū)間內(nèi)無(wú)“心”型求w【解題攻略】無(wú)“心”型求w，可以采用正難則反的策略把無(wú)交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有交點(diǎn)的問(wèn)題，利用補(bǔ)集思想得到最終的結(jié)果，對(duì)于其他否定性問(wèn)題經(jīng)常這樣思考.【典例1-1】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍為_________.【典例1-2】（天津市南開中學(xué)2022屆高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【變式1-1】函數(shù)，且，，若的圖像在內(nèi)與軸無(wú)交點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【變式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型10區(qū)間內(nèi)最值點(diǎn)型求w【解題攻略】極值點(diǎn)最大值最小值的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為區(qū)間對(duì)稱軸的個(gè)數(shù)，利用對(duì)稱軸公式求解。【典例1-1】.已知函數(shù)（，），，，在內(nèi)有相鄰兩個(gè)最值點(diǎn)，且最小值點(diǎn)距離軸近，則的最小正整數(shù)值為（

）A．5 B．7 C．9 D．10【典例1-2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)及直線對(duì)稱，且在不存在最值，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題13-16題）已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，則_______．【變式1-2】（2022屆湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．【變式1-3】（【全國(guó)百?gòu)?qiáng)?！亢颖焙馑鹁?022屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，兩個(gè)等式：對(duì)任意的實(shí)數(shù)均恒成立，且上單調(diào)，則的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4題型11多可能性分析型求w【解題攻略】解決函數(shù)綜合性問(wèn)題的注意點(diǎn)（1）結(jié)合條件確定參數(shù)的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．（2）解題時(shí)要將看作一個(gè)整體，利用整體代換的方法，并結(jié)合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解．（3）解題時(shí)要注意函數(shù)圖象的運(yùn)用，使解題過(guò)程直觀形象化．【典例1-1】.函數(shù)，已知為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，直線為圖象的一條對(duì)稱軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）A． B． C． D．【典例1-2】（北京市西城區(qū)北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)，若三個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則正數(shù)的最小值為__________.【變式1-1】（北京市東城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，則的所有可能值為__________．【變式1-2】（上海市晉元高級(jí)中學(xué)2022屆高三數(shù)學(xué)試題）已知，若存在使得集合中恰有3個(gè)元素，則的取值不可能是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2021?淮北二模）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調(diào)，則滿足條件的個(gè)數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．10題型12三角應(yīng)用：三角雙換元【解題攻略】形如，等，均可以用三角換元來(lái)解決.在利用三角換元時(shí)，一定要注意角度限制，因?yàn)閷?duì)于三角函數(shù)的值域都是[-1，1]，但其角度有多種形式，于是我們?cè)谠O(shè)置角度時(shí)要抓住2點(diǎn)：設(shè)置的角度要使三角函數(shù)的范圍為[-1，1]，（2）根號(hào)要能直接開出來(lái).就如本題來(lái)講，令，此時(shí)，于是.【典例1-1】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.【典例1-2】（2020·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列滿足，且，求的取值范圍（

）A． B． C． D．【變式1-1】（寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，求的取值范圍為（）A． B．C． D．【變式1-2】（江西省撫州市金溪一中等七校2021-2022學(xué)年高三考試數(shù)學(xué)試題（B卷））已知滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．【變式1-3】（浙江省嘉興市2022屆高三試數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是_______．題型13三角應(yīng)用：無(wú)理根號(hào)型【解題攻略】無(wú)理根號(hào)型求范圍，可以通過(guò)換元求得：1.單根號(hào)，一般是齊次關(guān)系。2.雙根號(hào)，不僅僅是齊次關(guān)系，并且平方后能消去x。3.式子可能具有“輪換特征”4.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約?！镜淅?-1】.求函數(shù)的值域.【典例1-2】求函數(shù)的值域.【變式1-1】若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式1-2】（新疆莎車縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）函數(shù)y=x?4?【變式1-3】（2020屆安徽省六安市第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬卷（七）數(shù)學(xué)（理）試題）已知，則的最大值為_________.題型14三角應(yīng)用：圓代換型【解題攻略】圓代換型，利用圓的參數(shù)方程，注意盡量代換規(guī)范：余弦對(duì)應(yīng)x，正弦對(duì)應(yīng)y的參數(shù)方程是：【典例1-1】（上海市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）知點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)P是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)Q，線段AP的中點(diǎn)為，則|MQ|的最大值是______【典例1-2】設(shè)圓O:x2+y2=1上兩點(diǎn)Ax【變式1-1】已知是單位圓（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）上任一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交單位圓于點(diǎn)，則的最大值為________.【變式1-2】設(shè)圓上兩點(diǎn)，滿足：，則的取值范圍是___________.【變式1-3】（2020·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎c(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的取值范圍.題型15三角應(yīng)用：向量型換元【解題攻略】向量中的三角換元原理之一，就是源于,實(shí)質(zhì)是圓。所以模定值，可以用圓的參數(shù)方程代換?！镜淅?-1】（廣東佛山·高三統(tǒng)考）菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則，的最小值為.【典例1-2】（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，則向量的最小值為.【變式1-1】（2024上·重慶·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面向量，，滿足，，則的最大值為.【變式1-2】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為.【變式1-3】（上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是.高考練場(chǎng)1.（湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得的圖象與圖象重合，則（

）A．， B．，C．， D．，2.（湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為__________．3.（四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)(>0)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（

）A． B．C． D．4.（安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考一模）已知直線是函數(shù)（）圖象的一條對(duì)稱軸，則在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5.（2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國(guó)Ⅱ卷?數(shù)學(xué)（理）（二）試題）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)，則的最大值為（）A． B．3 C． D．6.（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．7.（2020·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，為曲線()(常數(shù))的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心，若該曲線在點(diǎn)，處的切線互相垂直，則的值為.8.（四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)縣威遠(yuǎn)中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)(ω>0)，若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是________.9.（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10..已知函數(shù)，其中，，為的零點(diǎn)，且恒成立，在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，則的最大值是_______11.（河北省衡水市第十四中學(xué)2020-2021學(xué)年高三四調(diào)數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點(diǎn)，x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為______．12.（江蘇省泰州中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為__________.13.．函數(shù)y＝x＋的最小值為________．14.（廣東省清遠(yuǎn)市恒大足球?qū)W校2020屆高三上學(xué)期九月月考數(shù)學(xué)試題）若，那么的最大值為_________________.15.在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．參考答案題型01平移型求w【解題攻略】平移型求w，可以借助代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，或者利用單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合圖形解出值或者范圍。【典例1-1】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意是周期的整數(shù)倍，求出的表達(dá)式，從而求出其最小值.【詳解】,的周期為,將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖像與原圖像重合，是周期的整數(shù)倍，，，，的最小值等于.故選：B【典例1-2】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與原函數(shù)圖像重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】由題意可知是的周期的倍數(shù)，即，從而可求得答案【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與原函數(shù)圖像重合，所以是的周期的倍數(shù)，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，最小，故選：C【變式1-1】（2021春·浙江杭州·高三學(xué)軍中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將函數(shù)的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】平移函數(shù)圖象后得，根據(jù)與重合可求解.【詳解】函數(shù)的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后可得，，與函數(shù)的圖象重合，所以，由，所以.故選：A.【變式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃⒑瘮?shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】由正弦函數(shù)的平移法則以及周期性可得，結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可得，∴，，解得，，又，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為5．故選：D.【變式1-3】（陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象變換可得，根據(jù)題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，運(yùn)算求解即可得結(jié)果.【詳解】將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.題型02單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性求w【解題攻略】正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間（k∈Z）上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間（k∈Z）上都單調(diào)遞減余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上都單調(diào)遞減【典例1-1】（上海市川沙中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是________【答案】【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單增區(qū)間，由（），可得：，所以，整理即可得解.【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：（），所以：，解得：，整理可得：，當(dāng)有解，解得.故答案為：.【典例1-2】（廣西玉林市育才中學(xué)2022屆高三12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，在區(qū)間上單調(diào)，則的值為_____________.【答案】2或6.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱,故,...①又,故或,...②①-②可得或,,.解得或,,又在區(qū)間上單調(diào),故周期滿足,且,所以故當(dāng)時(shí)有滿足條件.故答案為：2或6【變式1-1】函數(shù),若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),且則的值為（）A． B．或 C． D．或【答案】B分析：由在區(qū)間是有單調(diào)性，可得范圍，從而得；由，可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又，有對(duì)稱中心為；討論與是否在同一周期里面相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心即可．詳解：因?yàn)樵趩握{(diào)，∴，即，而；若，則；若，則是的一條對(duì)稱軸，是其相鄰的對(duì)稱中心，所以，∴.故選B.【變式1-2】若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是____________.【答案】【分析】首先對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行恒等變形，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，求解不等式即可確定的取值范圍.【詳解】整理函數(shù)的解析式有：結(jié)合題意可知函數(shù)的最小正周期：,即，求解不等式可得的取值范圍是.【變式1-3】（2022-2021學(xué)年度下學(xué)期高三數(shù)學(xué)備考總動(dòng)員C卷）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】先由題意可知，得到，再由整體法得到單調(diào)減區(qū)間為，顯然是其子集，由此可得，檢驗(yàn)的值易得，得解.【詳解】由題意可得函數(shù)的最小正周期,∴，∵函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為，又，由，得，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，解得．當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，顯然矛盾，不合題意.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：.題型03對(duì)稱中心（零點(diǎn)）求w【解題攻略】正弦函數(shù)對(duì)稱中心(kπ，0)(k∈Z)余弦函數(shù)對(duì)稱中心(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)正切函數(shù)對(duì)稱中心(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)【典例1-1】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的一個(gè)最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正切函數(shù)的對(duì)稱中心得到，，再對(duì)各選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)分析即可.【詳解】根據(jù)題意得，，則，又，則，，對(duì)于A，若是的最小正周期，則，得，與矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，滿足條件，故B正確；對(duì)于C，由得，與矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.【典例1-2】（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期中）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，則，再根據(jù)，，即可得出答案.【詳解】解：由題意知，存在在使得的一個(gè)對(duì)稱中心為，即存在使得時(shí)，，代入，則，即，即，因?yàn)椋?，所以，則，由不等式性質(zhì)知時(shí)，取到最小值，又由于無(wú)法取到，故，所以的取值范圍為.故選：C..故選：C.【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，周期是的對(duì)稱中心，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，列出方程即可求得，然后根據(jù)對(duì)稱中心以及周期范圍求出，即可得到的解析式，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由可得，且，所以，又因?yàn)槭堑膶?duì)稱中心，故解得且，即所以，當(dāng)時(shí)，即，所以故選:D【變式1-2】（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對(duì)稱中心是，則（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】可得，根據(jù)輔助角公式可得，由對(duì)稱中心可得最小正周期為，故根據(jù)可求，從而可求.【詳解】，由的對(duì)稱中心是，知的最小正周期，故故解得.故.故選:D.【變式1-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的一個(gè)最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切型函數(shù)的對(duì)稱性可得出的表達(dá)式，再利用正切型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，，可得，，則，故函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，可知函數(shù)的一個(gè)最小正周期為.故選：C.題型04對(duì)稱軸型求w【解題攻略】正弦函數(shù)對(duì)稱軸（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；（k∈Z）時(shí)，ymin＝－1余弦函數(shù)對(duì)稱軸x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）時(shí)，ymin＝－1【典例1-1】（2022秋·山西長(zhǎng)治·高三山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對(duì)稱軸方程為，則（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)給定的對(duì)稱軸方程可得的周期，進(jìn)而求出，再借助函數(shù)性質(zhì)及給定圖象求出A值作答.【詳解】由給定的圖象知，，，即，因函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，則的最小正周期，，而，顯然有，即，解得，所以.故選：A【典例1-2】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則的最小正周期的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱軸可求的值，從而可求最小正周期.【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸，所以，故，所以，故的最小正周期的最大值為，故選：D.【變式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，求出，再對(duì)化簡(jiǎn)即可求出.【詳解】函數(shù)變?yōu)?，（令?因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以,解得：.所以.所以函數(shù)，其中,其對(duì)稱軸方程,所以.因?yàn)?，所以，所?當(dāng)時(shí)，符合題意.對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，D正確.故選：D.【變式1-2】（“超級(jí)全能生”高考全國(guó)卷26省9月聯(lián)考乙卷數(shù)學(xué)試題）已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】,,由，得，,由對(duì)稱軸,假設(shè)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，可知當(dāng)k=1,2，3時(shí)，，現(xiàn)不屬于區(qū)間，所以上面的并集在全集中做補(bǔ)集，得，選B.【變式1-3】已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【詳解】，又，，，所以，由的任何一條對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則得，，當(dāng)，，顯然不符合題意；當(dāng)，符合題意；當(dāng)，，符合題意；當(dāng)，，顯然不符合題意，綜上的取值范圍是，故選B題型05對(duì)稱軸及單調(diào)性型求w【典例1-1】（2021屆重慶市南開中學(xué)高考沖刺二數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為___________.【答案】【分析】根據(jù)，得函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以有可得，解得，再分類討論又在區(qū)間上單調(diào)遞增和遞減兩種情況，對(duì)每一種情況列出關(guān)于的不等式組，解之可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱軸為，所以即，解得，,又在區(qū)間上單調(diào)，所以（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則∵，∴，∴，即，解得，所以，且，所以當(dāng)時(shí)，滿足題意；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則∵，∴，∴，即，解得，所以，且，此時(shí)無(wú)解，綜上可得滿足題意；故答案為：.【典例1-2】（2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國(guó)Ⅱ卷?數(shù)學(xué)（二）試題）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)，則的最大值為（）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】函數(shù)的對(duì)稱軸可表示為：，在上單調(diào)可得，使得，然后可得，即可分析出答案.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸可表示為：，在上單調(diào)可得，使得，解得又.，∴當(dāng)3時(shí)，可取最大值為【變式1-1】（四川省成都市新都區(qū)2020-2021學(xué)年高三診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)得，再由，得到區(qū)間的長(zhǎng)度恰好為，再根據(jù)的范圍求得的最大值，進(jìn)而得到的最大值.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)，所以.故答案為：.【變式1-2】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱軸方程為，則的值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則滿足，可得，結(jié)合選項(xiàng)可得，可能的值為和.故選：B.【變式1-3】（內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測(cè)）若直線是曲線的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（

）A．9 B．7 C．11 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出的關(guān)系式，再求出函數(shù)含有數(shù)0的單調(diào)區(qū)間即可判斷作答.【詳解】因直線是曲線的一條對(duì)稱軸，則，即，由得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則，解得，所以的最小值為11.故選：C題型06“臨軸”型求w【解題攻略】若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則或.【典例1-1】（2023秋·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，且該函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的最短距離為，直線是該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則該函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的最大值為4，最小值為0，求得A，m，再由該函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的最短距離為，求得，然后由直線是該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為4，最小值為0，所以，所以，又因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的最短距離為，所以，則，所以函數(shù)，又直線是該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以，則，因?yàn)椋?，所以該函?shù)的解析式是，故選：B【典例1-2】（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，若在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)題意分析得出，其中，可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出的取值范圍，可得出的可能取值，然后對(duì)的值由大到小進(jìn)行檢驗(yàn)，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則，其中，所以，，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，所以，.所以，的可能取值有：、、、、.（i）當(dāng)時(shí)，，，所以，，則，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，，所以，，則，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，合乎題意.因此，的最大值為.故選：A.【變式1-1】（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是函數(shù)圖象上兩條相鄰的對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數(shù)的對(duì)稱性和周期性計(jì)算即可.【詳解】由題意得：，故，則當(dāng)時(shí)，，又，故.故選：A.【變式1-2】（2023春·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得的解析式，再得到的解析式，并求得在上的最小值，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于的不等式，解之即可求得的取值范圍.【詳解】又圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，則的周期為，則，則將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則恒成立，解之得故選：B【變式1-3】（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而得，再求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】解：直線是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，，即，令，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.題型07“臨心”型求w【解題攻略】函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸，由求對(duì)稱中心.(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.【典例1-1】（2023春·廣東珠?！じ呷？迹┮阎瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，分析可知，函數(shù)的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數(shù)圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，則，可得，又因?yàn)榍掖嬖冢瑒t，解得，因?yàn)?，則，所以，，故選：B.【典例1-2】（天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，的最大值為2，其圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．將圖象向右平移個(gè)單位與原圖象重合C．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【分析】依題意可求得,從而可求得的解析式，從而可以對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸、平移一一判斷.【詳解】函數(shù)，的最大值為2，即，所以，又圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不單調(diào)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；將圖象向右平移個(gè)單位，得，其圖象與原圖象不重合，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；令，可得，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，為最小值，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)D正確.故選：D.【變式1-1】（河南焦作·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，分析可知，函數(shù)的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數(shù)圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，則，可得，又因?yàn)榍掖嬖?，則，解得，因?yàn)?，則，所以，，故選：B.【變式1-2】（云南紅河·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)得出，繼而由周期公式得出.【詳解】解：設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)（）的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，知，，又因?yàn)椋?，即，則．故選：B．【變式1-3】（2021上·四川雅安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，點(diǎn)和是其相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正切函數(shù)的圖象性質(zhì)，得出相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為半個(gè)周期，可求出T，然后由求出，然后再代點(diǎn)討論滿足題意的，即可得出答案.【詳解】由正切函數(shù)圖象的性質(zhì)可知相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為，得.則由得，即得.由，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則可得，∴.由得，因，可得或，當(dāng)時(shí)，，由，得，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，令，由，得函數(shù)在上不是單調(diào)遞減，所以不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由，得，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，令，由，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以滿足題意；綜上可得：滿足題意.故選：A.題型08區(qū)間內(nèi)有“心”型求w【解題攻略】求w的表達(dá)式時(shí)，中不要把寫成k,因?yàn)楹竺孢€有一個(gè)k,中不要把寫成k，否則不好研究w的最小值.它們本身就不一定相等.【典例1-1】（天津市部分區(qū)2020屆高考二模數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)()在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得，由余弦函數(shù)的零點(diǎn)可得，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，，函數(shù)()在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，解得；令，則，即，由，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)()在區(qū)間上存在零點(diǎn)，，解得；綜上，的取值范圍是.故選：D.【典例1-2】（2021春?商洛）已知函數(shù)在，上恰有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)樵?，上恰?個(gè)零點(diǎn)，且，所以，解得．故選：．【變式1-1】（2022?湖北模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【解答】解：由題意：轉(zhuǎn)化為與函數(shù)在區(qū)間，上恰有三個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，，上，．當(dāng)，可得．根據(jù)余弦函數(shù)的圖象：可得，解得：的取值范圍是，故答案為：，．【變式1-2】（云南省2020屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)（，）圖象過(guò)點(diǎn)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的最值情況為（

）A．最小值為，最大值為 B．無(wú)最小值，最大值為C．無(wú)最小值，最大值為 D．最小值為，最大值為【答案】C【分析】由圖象過(guò)點(diǎn)求出，然后解，得，再分析在上有且只有兩個(gè)時(shí)，的取值只能是，從而可得的范圍，【詳解】由題可知，即，∴，又∵，，∴.令，得，解得又∵，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，∴只能取1，2，故，解得，∴，∴，沒(méi)有最小值．故選：C.【變式1-3】（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題16-20題）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【分析】原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求得取值范圍，作出可知，滿足條件可最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度為，由此建立關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】令，則，令，則，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求得取值范圍，作出與的圖象，如圖所示，由圖可知，滿足條件可最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度為，∴，解得．故答案為：．題型09區(qū)間內(nèi)無(wú)“心”型求w【解題攻略】無(wú)“心”型求w，可以采用正難則反的策略把無(wú)交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有交點(diǎn)的問(wèn)題，利用補(bǔ)集思想得到最終的結(jié)果，對(duì)于其他否定性問(wèn)題經(jīng)常這樣思考.【典例1-1】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍為_________.【答案】【分析】先把化為，求出其零點(diǎn)的一般形式后利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)構(gòu)建關(guān)于的不等式組，通過(guò)討論的范圍可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，故，令，則，故函數(shù)的零點(diǎn)為.因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，故存在整數(shù)，使得，故，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，故，故，又，故，故或.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故.故答案為.【典例1-2】（天津市南開中學(xué)2022屆高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【分析】化簡(jiǎn)變形，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的零點(diǎn)，根據(jù)條件得出區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，再根據(jù)可得為或的子集，從而得出的范圍．【詳解】．令，可得，．令，解得，∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，∴區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)．又，∴，又，∴或．∴或，解得或．∴的取值范圍是，故答案為．【變式1-1】函數(shù)，且，，若的圖像在內(nèi)與軸無(wú)交點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】∵的圖像在內(nèi)與軸無(wú)交點(diǎn)∴∵∴∵由對(duì)稱中心可知∴∵假設(shè)在區(qū)間內(nèi)存在交點(diǎn)，可知∴當(dāng)時(shí)，∴以上并集在全集中做補(bǔ)集，得故答案為【變式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由三角函數(shù)圖象平移規(guī)則求得函數(shù)，再利用正弦曲線的零點(diǎn)即可求得的取值范圍【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)由函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則，則由，可得假設(shè)函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，則由，可得又，則則由函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，且，可得故選：A【變式1-3】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)圖象變換求出的解析式，利用周期縮小的范圍，再?gòu)姆疵媲蠼饪傻媒Y(jié)果.【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，周期，因?yàn)楹瘮?shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，所以，得，得，得，假設(shè)函數(shù)在上有零點(diǎn)，令，得，，得，，則，得，，又，所以或，又函數(shù)在上有零點(diǎn)，且，所以或.故選：A題型10區(qū)間內(nèi)最值點(diǎn)型求w【解題攻略】極值點(diǎn)最大值最小值的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為區(qū)間對(duì)稱軸的個(gè)數(shù)，利用對(duì)稱軸公式求解?！镜淅?-1】.已知函數(shù)（，），，，在內(nèi)有相鄰兩個(gè)最值點(diǎn)，且最小值點(diǎn)距離軸近，則的最小正整數(shù)值為（

）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】C【分析】由結(jié)合已知條件可得，由可求出，再由，可知，結(jié)合，可求出，從而可選出正確答案.【詳解】解析：因?yàn)椋Y(jié)合已知，知（），又因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋?，，解得，．又因?yàn)椋傻?，所以?dāng)時(shí)，的最小正整數(shù)值為9．故選:C.【典例1-2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)及直線對(duì)稱，且在不存在最值，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)稱得到，根據(jù)沒(méi)有最值得到，得到，，再根據(jù)對(duì)稱中心得到，得到答案.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)及直線對(duì)稱.則.在不存在最值，則，故時(shí)滿足條件，，.，則.當(dāng)時(shí)滿足條件，故.故選：.【變式1-1】（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題13-16題）已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，則_______．【答案】4或10##10或4【分析】根據(jù)可求出f(x)的一條對(duì)稱軸，根據(jù)該對(duì)稱軸可求出ω的表達(dá)式和可能取值，結(jié)合y＝sinx的圖像，根據(jù)在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值判斷ω的取值范圍，從而判斷ω的取值.【詳解】∵f(x)滿足，∴是f(x)的一條對(duì)稱軸，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.當(dāng)時(shí)，，y＝sinx圖像如圖：要使在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，則：或，此時(shí)ω＝4或10滿足條件；區(qū)間的長(zhǎng)度為：，當(dāng)時(shí)，f(x)最小正周期，則f(x)在既有最大值也有最小值，故不滿足條件.綜上，ω＝4或10.故答案為：4或10.【變式1-2】（2022屆湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【變式1-3】（【全國(guó)百?gòu)?qiáng)校】河北衡水金卷2022屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，兩個(gè)等式：對(duì)任意的實(shí)數(shù)均恒成立，且上單調(diào)，則的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱可得：，即，結(jié)合選項(xiàng)檢驗(yàn)與即可.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)等式：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均恒成立，所以的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，所以，因?yàn)椋?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，所以，由選項(xiàng)知，只需要驗(yàn)證.1.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x均恒成立，所以，因?yàn)?，所以，所以，可以?yàn)證在上不單調(diào)，2.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x均恒成立，所以，因?yàn)椤に浴に?，可以?yàn)證在上單調(diào)，所以w=1.故選A.題型11多可能性分析型求w【解題攻略】解決函數(shù)綜合性問(wèn)題的注意點(diǎn)（1）結(jié)合條件確定參數(shù)的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．（2）解題時(shí)要將看作一個(gè)整體，利用整體代換的方法，并結(jié)合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解．（3）解題時(shí)要注意函數(shù)圖象的運(yùn)用，使解題過(guò)程直觀形象化．【典例1-1】.函數(shù)，已知為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，直線為圖象的一條對(duì)稱軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心可以得到或，由在上單調(diào)遞減可以得到，算出的大致范圍，驗(yàn)證即可.【詳解】由題意知：或∴或∴或∵在上單調(diào)遞減，∴∴①當(dāng)時(shí)，取知此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合取時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，也舍去②當(dāng)時(shí)，取知此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，舍去當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，也舍去綜上：或2，.故選：A.【典例1-2】（北京市西城區(qū)北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)，若三個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則正數(shù)的最小值為__________.【答案】4【分析】由條件利用正弦函數(shù)的圖象特征，進(jìn)行分類討論，求得每種情況下正數(shù)的最小值，再進(jìn)行比較從而得出結(jié)論．【詳解】①若只有兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則有，，，則，即，求得無(wú)解．②若只有點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則有，，，故有，即，求得的最小值為4．③若只有點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則有，，，故有，即，求得的最小正值為10，綜上可得，的最小正值為4，故答案為：4．【變式1-1】（北京市東城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，則的所有可能值為__________．【答案】2或10【分析】令，解得或，根據(jù)存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，得到或，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，曲線與直線相交，令，即，解得或，由題意存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，令，可得，解得.或，令，可得，解得.故答案為：或.【變式1-2】（上海市晉元高級(jí)中學(xué)2022屆高三數(shù)學(xué)試題）已知，若存在使得集合中恰有3個(gè)元素，則的取值不可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用賦值法逐項(xiàng)寫出一個(gè)周期中的元素，再結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式判斷是否存在符合題意即可.【詳解】解：對(duì)A，當(dāng)，，函數(shù)的周期為在一個(gè)周期內(nèi)，對(duì)賦值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令時(shí)，。。所以存在使得時(shí)的值等于時(shí)的值，時(shí)的值等于時(shí)的值，時(shí)的值等于時(shí)的值.但是當(dāng)?shù)扔?、、、時(shí)，不存在使得這個(gè)值中的任何兩個(gè)相等所以當(dāng)時(shí)，集合中至少有四個(gè)元素，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)，，函數(shù)的周期為在一個(gè)周期內(nèi)，對(duì)賦值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，。所以當(dāng)時(shí)，符合題意，故B正確；對(duì)C，當(dāng)，，函數(shù)的周期為在一個(gè)周期內(nèi)，對(duì)賦值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，則，，所以當(dāng)時(shí)，符合題意，故C正確；對(duì)D，當(dāng)，，函數(shù)的周期為在一個(gè)周期內(nèi)，對(duì)賦值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，，，所以當(dāng)時(shí)，符合題意，故D正確.故選：A.【變式1-3】（2021?淮北二模）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調(diào)，則滿足條件的個(gè)數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由于函數(shù)滿足，，故，解得，所以，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，故，故，，即，解得，由于，所以取0，1，2，3，4，5，6，7，8．故的取值為9個(gè)；故選：．題型12三角應(yīng)用：三角雙換元【解題攻略】形如，等，均可以用三角換元來(lái)解決.在利用三角換元時(shí)，一定要注意角度限制，因?yàn)閷?duì)于三角函數(shù)的值域都是[-1，1]，但其角度有多種形式，于是我們?cè)谠O(shè)置角度時(shí)要抓住2點(diǎn)：設(shè)置的角度要使三角函數(shù)的范圍為[-1，1]，（2）根號(hào)要能直接開出來(lái).就如本題來(lái)講，令，此時(shí)，于是.【典例1-1】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.【答案】【分析】解法一：利用條件，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進(jìn)而可確定的范圍．解法二：由得，設(shè)，則，再結(jié)合余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解法一：，，可得．，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設(shè)，即，則令，，，，顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：【典例1-2】（2020·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列滿足，且，求的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，根據(jù)求出的范圍，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，再利用同角公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，又∵，∴，即，∴，∴，∴，又∵，所以，所以，∴．故選：B【變式1-1】（寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，求的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，那么，結(jié)合三角函數(shù)的有界限，即可得到答案.【詳解】由題意知，且，設(shè)，，那么，其中，因?yàn)榈娜≈捣秶?，所以，即的取值范圍?故選：B【變式1-2】（江西省撫州市金溪一中等七校2021-2022學(xué)年高三考試數(shù)學(xué)試題（B卷））已知滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，令，所以，所以，因?yàn)?，所以所?/p>

所以，故選D.【變式1-3】（浙江省嘉興市2022屆高三試數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是_______．【答案】【解析】設(shè)因此因?yàn)?，所以，即取值范圍是點(diǎn)睛：利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍，先通過(guò)變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．題型13三角應(yīng)用：無(wú)理根號(hào)型【解題攻略】無(wú)理根號(hào)型求范圍，可以通過(guò)換元求得：1.單根號(hào)，一般是齊次關(guān)系。2.雙根號(hào)，不僅僅是齊次關(guān)系，并且平方后能消去x。3.式子可能具有“輪換特征”4.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約?！镜淅?-1】.求函數(shù)的值域.【分析】遇到根號(hào)問(wèn)題，通常我們都需要利用換元法就值域，但由于根號(hào)內(nèi)有平方，則需要利用含平方的換元形式，于是我們利用三角換元．解析：令，則原式=其中.，【典例1-2】求函數(shù)的值域.【答案】【分析】可化為，令，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】可化為，令，則，，，∴,故函數(shù)的值域?yàn)?【變式1-1】若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由可得原不等式等價(jià)于，兩邊平方，利用均值不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以不等式可化為，設(shè)，，則，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，所以，故答案為：【變式1-2】（新疆莎車縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）函數(shù)y=x?4?【答案】?2【分析】函數(shù)的定義域?yàn)?2,2，設(shè)x=2cosθ將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于【詳解】由4?x2≥0可得?2≤x≤2，即函數(shù)的定義域?yàn)?2,2。所以設(shè)x=2則y=2cos因?yàn)棣取?,π，所以θ+π4∈所以函數(shù)y=x?4?x2的值域?yàn)?2【變式1-3】（2020屆安徽省六安市第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬卷（七）數(shù)學(xué)（理）試題）已知，則的最大值為_________.【答案】8【分析】設(shè)，不妨設(shè)，再利用三角換元，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，即可得答案.【詳解】設(shè)，不妨設(shè)，則，故，所以，可設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)即的最大值為8.故答案為：.題型14三角應(yīng)用：圓代換型【解題攻略】圓代換型，利用圓的參數(shù)方程，注意盡量代換規(guī)范：余弦對(duì)應(yīng)x，正弦對(duì)應(yīng)y的參數(shù)方程是：【典例1-1】（上海市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）知點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)P是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)Q，線段AP的中點(diǎn)為，則|MQ|的最大值是______【答案】1+【分析】設(shè)P(cosθ,sinθ)，則Q(?sinθ,【詳解】解：由題可知，設(shè)P(cosθ,sin因?yàn)锳(2,0)，所以線段AP的中點(diǎn)得坐標(biāo)為(2+cos所以|MQ|==9+4cosθ+8sinθ所以當(dāng)sin(θ+φ)=1時(shí)，|MQ|取最大值為1+52【典例1-2】設(shè)圓O:x2+y2=1上兩點(diǎn)Ax【答案】15【解析】【分析】首先由數(shù)量積公式可得∠AOB=120°，再根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義得?=x1?2y15+x2?2y25【詳解】由OA?OB=?設(shè)?=x1?2y15+取直線x?2y=0為軸重新建立直角坐標(biāo)系后，則?表示兩點(diǎn)，分別到軸的距離之和.在新的直角坐標(biāo)系下，設(shè)Acosθ,sinθ，由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上或上方，即?120°≤θ≤60°.所以?=sinθ+sin0°≤θ≤60得θ+60°∈當(dāng)?120°≤θ<θ?30°∈綜上得32≤?≤3，從而得【變式1-1】已知是單位圓（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）上任一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交單位圓于點(diǎn)，則的最大值為________.【答案】【分析】設(shè)，則，代入要求的式子由三角函數(shù)的知識(shí)可得解．【詳解】設(shè)，則，，的最大值為，故答案為：【變式1-2】設(shè)圓上兩點(diǎn)，滿足：，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】首先由數(shù)量積公式可得，再根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義得表示兩點(diǎn)，分別到直線的距離之和，再以直線為軸重新建立直角坐標(biāo)系后，利用三角函數(shù)表示，根據(jù)角的范圍求值域.【詳解】由，得.設(shè)表示兩點(diǎn)，分別到直線的距離之和.取直線為軸重新建立直角坐標(biāo)系后，則表示兩點(diǎn)，分別到軸的距離之和.在新的直角坐標(biāo)系下，設(shè)，。則有.由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上或上方，即.所以，時(shí)，，得，則，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)綜上得，從而得.故答案為：【變式1-3】（2020·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎c(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】[80,120]【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn),,由點(diǎn)在圓上可設(shè),求得,,進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題,橢圓的焦點(diǎn)為,,設(shè)點(diǎn),則,,所以,,因?yàn)?所以,故答案為:題型15三角應(yīng)用：向量型換元【解題攻略】向量中的三角換元原理之一，就是源于,實(shí)質(zhì)是圓。所以模定值，可以用圓的參數(shù)方程代換?！镜淅?-1】（廣東佛山·高三統(tǒng)考）菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則，的最小值為.【答案】0/-0.25【分析】建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，第一個(gè)空利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算，第二個(gè)空設(shè)出，表達(dá)出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值，再結(jié)合求出最小值.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，故，，，，設(shè)，則，，則，，，；因?yàn)?，所以，，故?dāng)時(shí)，取得最小值為，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，最小，最小值為故答案為：0，【典例1-2】（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，則向量的最小值為.【答案】【分析】，不失一般性，設(shè)，由知的終點(diǎn)在兩個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)化簡(jiǎn)放縮后得到得解.【詳解】，不妨設(shè)，所以在圓上運(yùn)動(dòng)，所以在圓上運(yùn)動(dòng)再令，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【變式1-1】（2024上·重慶·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面向量，，滿足，，則的最大值為.【答案】4【分析】不妨設(shè)，，，則求的最大值，即求的最大值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解的問(wèn)題，得到的軌跡為一個(gè)圓，最后利用投影向量的意義求出的最大值即可求解.【詳解】設(shè)，，向量，的夾角為，則，，設(shè)，由得：，即，化簡(jiǎn)得：，上述方程一定有解，，即在一個(gè)圓上，而，所以轉(zhuǎn)化為求的最大值，當(dāng)在上投影長(zhǎng)度最大時(shí)，，令，，則，當(dāng)時(shí)，.的最大值為.【變式1-2】（全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為.【答案】5【分析】令，坐標(biāo)表示出、，應(yīng)用坐標(biāo)公式求出對(duì)應(yīng)表達(dá)式中向量的模，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】令，，，，，令，設(shè)，則，，令，易知：在上，即遞增，所以在取得最大值，.故答案為：5.【變式1-3】（上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，確定點(diǎn)A，B的軌跡，從而設(shè)，求出的表達(dá)式結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，令,

設(shè)則由可得，即點(diǎn)A軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，點(diǎn)B軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，則設(shè)，則，（為輔助角），令，則，則，又，而，故，故的取值范圍是，故答案為：高考練場(chǎng)1.（湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得的圖象與圖象重合，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換可得到變化后的函數(shù)解析式，結(jié)合所得的圖象與圖象重合，求得參數(shù)，，即得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，由于得到的函數(shù)的圖象與圖象重合，故，，所以，又，所以，故選：C．2.（湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最