【八年級下冊數學湘教版】第二章 四邊形（壓軸題專練）

第二章四邊形（壓軸題專練）一、選擇題1．（2023上·山東煙臺·八年級校考期末）如圖，平行四邊形中，對角線，相交于點O，，E，F(xiàn)，G是，，的中點．下列結論：①；②；③平分；④平分；⑤四邊形是菱形．其中正確的個數有（）個．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，交于點F，，，，連接、、，延長交于點G，下列四個命題或結論：①；②若，則；③在②的條件下，則；④在②的條件下，當時，，則的面積是1．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022下·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，P是正方形的邊右側一點，，為銳角，連，的平分線交于Q點，過點B作交延長線于點E，連接，則以下結論：①；②；③；④若點D為中點，，則四邊形的面積為，其中正確的結論有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④4．（2023上·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，沿翻折，得到，連接．當長度最小時，的面積是（

）

A． B． C． D．25．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點，交于點，，四邊形和都是正方形（正方形的四邊相等，四個內角都是直角），下列四個說法：（1）；（2）若連接，則且；（3）的面積為18，且被直線平分；（4）若連接，則四邊形的面積為90．其中正確的說法個數有（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023下·廣東江門·八年級江門市新會東方紅中學校考期中）如圖，正方形中，點P為D上一點，線段的垂直平分線交于點N，點M垂足，交兩邊于點E、F，連接，則下列結論：①；②；③為常數；④，其中正確的結論個數有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023上·廣東深圳·九年級坪山中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在正方形中，點為延長線上任一點，連接．過點作，交的延長線于點，過點作于點．下列結論：（1）；（2）；（3）；（4）若，則．其中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023上·廣東佛山·九年級?？茧A段練習）如圖，點E為正方形內一點，，將繞點B按順時針方向旋轉，得到．延長交于點F，連接．下列結論：①；②四邊形是正方形；③若，則；其中正確的是（

）A．①②③ B．①② C．②③ D．①9．（2023下·廣東佛山·九年級?？计谀┤鐖D，在正方形中，為對角線，為上一點，過點作，與、分別交于點、，為的中點，連接、、、．下列結論：①；②；③；④若，則，其中結論正確的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2023下·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點為正方形的中心，，平分交于點，延長到點，使，連接交的延長線于點，連接交于點，連接則以下四個結論中：①；②；③連接，則；④；正確的結論為（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③11．（2023下·重慶開州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形是矩形，點在邊上，平分且，垂足為點，連接并延長交于點，連接交于點，連接交于點，有下列結論：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正確的結論有（

）個．

A．1 B．2 C．3 D．412．（2023下·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，對角線，，直線過點，連接，的周長等于周長的一半，下列說法正確的是（

）①；②；③；④

A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④13．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形紙片中，點為正方形邊上的一點（不與點，點重合），將正方形紙片折疊，使點落在點處，點落在點處，交于點，折痕為，連接、，交于點下列結論：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正確結論的個數是（

）

A．1 B．2 C．3 D．414．（2023下·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，正方形的對角線，相交于點，點是上一點，交于點，連接，交于點，連接則下列結論：①；②；③若平分，則；④；⑤四邊形的面積是正方形面積的其中正確的結論是（

）

A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤二、填空題15．（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，矩形中，，，為的中點，為上一動點，為中點，連接，則的最小值是_________．16．（2023上·廣東深圳·九年級?？茧A段練習）如圖為邊長為的正方形，點是邊上的動點（點不與點，重合），連續(xù)，過點作交延長線于點，連接，點為的中點，連接和，當時，的長為_____．17．（2023上·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，正方形ABCD中，點P是上一點，連接與，若，則的最小值是________．

18．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，點E為對角線上的動點，以為邊向外作正方形，點H是的中點，連接，則的最小值為_________．

19．（2024上·湖北·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，矩形中，，，為邊上的動點，連接，于，為的中點，連接，以為邊向右作等邊，連接，則的最小值為_____．三、解答題20．（2023·湖南株洲·校聯(lián)考三模）四邊形為正方形，點E為對角線上一點，連接．過點E作，交射線于點F．(1)如圖1，若點F在邊上，求證：；(2)以為鄰邊作矩形，連接．①如圖2，若，求的長度；②當線段與正方形一邊的夾角是時，直接寫出的度數．21．（2024上·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期末）【問題背景】如圖1，已知正方形的邊長為3，點E是邊上的一點，把沿直線對折后，點A落在點F處．【問題探究】（1）如圖2，當時，正方形的對角線與相交于點M，與正方形另一條對角線相交于點O，連接并延長，交線段于點G．①求的值，并說明點M是的中點；②試探究與有怎樣的位置關系，并說明理由．【拓展延伸】（2）如圖3，點H是線段上的一點，且，連接、．在點E從點A運動到點B的過程中，求的最小值．22．（2024上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是正方形，E，F(xiàn)分別在直線，上，且，連接．

(1)當E，F(xiàn)分別在邊，上時，如圖1．請?zhí)骄烤€段，，之間的數量關系，并寫出證明過程；(2)當E，F(xiàn)分別在，的延長線上時，如圖2．試探究線段，，之間的數量關系，并證明．23．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）在矩形中，，以點為旋轉中心，按逆時針方向旋轉矩形，旋轉角為，得到矩形，點B、點C、點的對應點分別為點、點、點．(1)如圖①，當點落在邊上時，線段的長度為______．(2)如圖②，連接，當點落在線段上時，與相交于點，連接，①求證：②線段的長度為______．(3)如圖③，設點P為邊的中點，連結，在矩形旋轉的過程中，面積的最大值為______．24．（2023上·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）【方法前置】作圖形旋轉是解決幾何問題的重要方法，如圖①，正方形中，、分別在邊、上，且，連接，求證：．可將繞點逆時針旋轉到的位置（容易得出點在的延長線上），進一步證明與全等．親愛的同學們，你想好了嗎？試著看下面的問題情境吧．【問題情景】如圖②，正方形是綠地公園的一塊空地，其邊長為60米．公園設計部門為了給兒童提供更舒適更安全的活動場地，準備將空地中的四邊形（在上，在上）部分作為兒童活動區(qū)，并用圍欄圍擋起來，只留三個出人口，即點、點、點，而且根據實際需要，要使得，并將兒童活動區(qū)（即四邊形）劃分為和兩種不同的游戲場地，兒童活動區(qū)之外的部分種植花草．（1）【模型感知】請參考【方法前置】的思路在圖②中證明．（2）【模型應用】如圖②，若，請你計算兒童活動區(qū)的面積；（3）【模型拓展】如圖③，連接，若，與線段分別交于點、點，，請直接寫出、和之間的數量關系．25．（2023上·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）數學實驗：對矩形紙片進行折紙操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如圖，①將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點落在上的點處，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段．提出問題：（1）觀察所得到的，和，猜想這三個角之間有什么關系？證明你的猜想．變式拓展：如圖2，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點落在上的點處，并使折痕經過點，得到折痕、線段．提出問題：（2）已知，求的長．（3）若點是線段上一動點，當周長最小時，________．26．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┰诰匦沃?，．(1)將矩形紙片沿折疊，使點A落在點F處（如圖①），設與相交于點G，求證：；(2)將矩形沿直線折疊，使點B的對應點落在邊上（如圖②），點A的對應點為，連接交于點．當時，求、的長；(3)點M在線段上，點N在線段上，（如圖③）若按折疊后，點落在矩形的邊上點，請求的最大值和最小值．27．（2024上·重慶豐都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形邊長為，，是對角線，把一個含（的三角尺與這個菱形疊合；如果使三角尺（的頂點與點重合，兩邊分別與、重合．將三角尺繞點按逆時針方向旋轉（旋轉角小于）．旋轉過程中三角尺的兩邊與菱形的兩邊、相交于點、．

(1)、有何數量關系，并證明你的結論．(2)連接，求面積的最大值．(3)連接，在旋轉過程中三角尺的兩邊分別與相交于點、，是否存在以、、為邊的直角三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．28．（2023上·山東青島·九年級期末）定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”性質：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖，在中，是邊上的中線，那么和是“友好三角形”，并且．應用：如圖，在矩形中，，，點E在上，點F在上，，與交于點O．（1）求證：和是“友好三角形”；（2）連接，若和是“友好三角形”，求四邊形的面積．探究：在中，，，點D在線段上，連接，和是“友好三角形”，將沿所在直線翻折，得到，若與重合部分的面積等于面積的，請直接寫出的面積．29．（2023上·四川成都·九年級?？茧A段練習）取一張矩形紙片，E為邊上一動點，將沿直線折疊得．

(1)如圖1，連接，，，當時，試判斷的形狀；(2)如圖2，連接，當，的最大值與最小值的和為20時，求線段的值；(3)如圖3，當點落在邊上，分別延長，交于點，將繞點逆時針旋轉得，分別連接，，取中點連接CH，試探究線段與CH的數量關系．

第二章四邊形（壓軸題專練）答案全解全析一、選擇題1．（2023上·山東煙臺·八年級校考期末）如圖，平行四邊形中，對角線，相交于點O，，E，F(xiàn)，G是，，的中點．下列結論：①；②；③平分；④平分；⑤四邊形是菱形．其中正確的個數有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設和的交點為點P，根據三角形中位線定理可得，且，然后根據平行四邊形的性質可得，可證得，故②正確；再證明△AGP△EFP，可得垂直平分，從而得到，故①正確；再根據等腰三角形的性質，可得平分，故④正確；可證得四邊形為平行四邊形，而無法得到四邊形為菱形，故③錯誤；即可求解．【詳解】解：設和的交點為點P，如圖，∵E、F分別是，的中點，∴，且，∵四邊形為平行四邊形，∴，且，∴，∴，∵點G為的中點，∴，在和中，，∴，故②正確；∴，∴，∵，，∴，點O為平行四邊形對角線交點，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，，∵E為中點，∴，∴，∴垂直平分，∴，故①正確；∴平分，故④正確；∵，，∴四邊形為平行四邊形，而無法得到四邊形為菱形，故③錯誤；故選：C．2．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，交于點F，，，，連接、、，延長交于點G，下列四個命題或結論：①；②若，則；③在②的條件下，則；④在②的條件下，當時，，則的面積是1．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據SAS證明可判斷①；根據全等三角形的性質和互余可判斷②；以點C為圓心，以為半徑畫弧，交的延長線于點H，連接，，證明四邊形是平行四邊形可判斷③；④作交的延長線于點M，作于點N，作于點K，連接，則．先證明，再結合三線合一證明，然后證明，利用勾股定理求出的值，證明求出的值，進而求出的面積可判斷④．【詳解】解：①∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，故①正確；②∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故②正確；③如圖，以點C為圓心，以為半徑畫弧，交的延長線于點H，連接，，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，故③正確；④作交的延長線于點M，作于點N，作于點K，連接，則．∵，∴，，∵，∴，∵，∴．由等腰三角形三線合一知，，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，故④正確．故選D．3．（2022下·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，P是正方形的邊右側一點，，為銳角，連，的平分線交于Q點，過點B作交延長線于點E，連接，則以下結論：①；②；③；④若點D為中點，，則四邊形的面積為，其中正確的結論有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】解：①根據題意可得，則，，設，，，根據，即可判斷①；過點C作于點H，先根據，得出，進而推出，再證明，得出，即可判斷②；③連接，證明，得出，，則，根據，，得出，則，最后通過，得出，即可判斷③；過點E作于點N，易得，進而得出，根據梯形面積公式，求出四邊形的面積即可判斷④．【詳解】解：①∵四邊形為正方形，，∴，∴，，設，在中，，在中，，∴，故①正確，符合題意；②過點C作于點H，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，故②正確，符合題意；③連接，∵，∴，∴，∴，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故③正確，符合題意；④過點E作于點N，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴點N為中點，則，∵，∴，∵點為中點，∴，∴，∴四邊形的面積，故④不正確，不符合題意，綜上：正確的有①②③，故選：A．4．（2023上·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，沿翻折，得到，連接．當長度最小時，的面積是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】連接，如圖，根據折疊的性質得到，，當點、、三點共線時，最小，此時的最小值，根據勾股定理得到，得到長度的最小值，設，則，根據勾股定理得到根據三角形的面積公式得到的面積是．【詳解】解：連接，如圖，

沿翻折至，，，，，當點、、三點共線時，最小，此時的最小值，四邊形是矩形，，，，，長度的最小值，設，則，，，，，解得，，的面積是，故選：．5．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點，交于點，，四邊形和都是正方形（正方形的四邊相等，四個內角都是直角），下列四個說法：（1）；（2）若連接，則且；（3）的面積為18，且被直線平分；（4）若連接，則四邊形的面積為90．其中正確的說法個數有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由正方形的性質可得，再由，，即可判斷（1）；證明即可得到，再根據角之間的關系可得，即可判斷（2）；作交于，交于，證明，，，得到三角形之間的面積關系，即可判斷（3）；作交于，交于，則，證明，，得到三角形之間的面積關系，再由，進行計算即可得到答案．【詳解】解：四邊形和都是正方形，，，，，，，故（1）正確，符合題意；在和中，，，，，如圖，令和交于點，和交于點，，，，，，，，故（2）正確，符合題意；作交于，交于，四邊形是正方形，，，，，，，，，，在和中，，，，，同理可得：，，，，，，，，，，，故（3）正確，符合題意；作交于，交于，則，四邊形為梯形，同理證得：，，，，，，，，，故（4）正確，符合題意；綜上所述，正確的有（1）（2）（3）（4），共4個，故選：D．6．（2023下·廣東江門·八年級江門市新會東方紅中學?？计谥校┤鐖D，正方形中，點P為D上一點，線段的垂直平分線交于點N，點M垂足，交兩邊于點E、F，連接，則下列結論：①；②；③為常數；④，其中正確的結論個數有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】證明四邊形是平行四邊形，可得，再由垂直平分，可證，從而證明，即可判斷①；過點N作，延長交于點G，連接，，根據矩形的判定與性質可得，，利用勾股定理可得，再根據線段垂直平分線的性質可得，從而證明，可得，再根據等腰三角形的判定與性質可得，即可判斷②；延長到點T，使，證明，從而可證是等腰直角三角形，可得，即可判斷③；設與交于點O，由，，即可判斷④．解：①作，交于Q．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，故①正確；

②過點N作，延長交于點G，連接，，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵垂直平分，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，故②正確；③延長到點T，使，∵，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴，故③正確；設與交于點O，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故④正確．故選：D．7．（2023上·廣東深圳·九年級坪山中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在正方形中，點為延長線上任一點，連接．過點作，交的延長線于點，過點作于點．下列結論：（1）；（2）；（3）；（4）若，則．其中正確的個數為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】在上取一點，使，連接，證明，可得，，有，進而可得四邊形是平行四邊形，，可判斷（1）正確；連接，證明四邊形是平行四邊形，得，，可得，可判斷（3）錯誤；連接交于，可證明得，從而判斷（2）錯誤；設，，則，可得，，若，則，即可得，可以判斷（4）正確，從而得到答案．【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，在和中，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，故（1）正確；連接，

由（1）知：，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，即，，，故（3）錯誤；連接交于，四邊形是正方形，，，，，，，，即，故（2）錯誤；設，，則，，，，，，若，則，，即，故（4）正確，綜上所述，正確的有（1）、（4），共2個，故選：B．8．（2023上·廣東佛山·九年級?？茧A段練習）如圖，點E為正方形內一點，，將繞點B按順時針方向旋轉，得到．延長交于點F，連接．下列結論：①；②四邊形是正方形；③若，則；其中正確的是（

）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①【答案】A【分析】設交于K，由及將繞點B按順時針方向旋轉，得到，可得，即可得，從而判斷①正確；由旋轉的性質可得，，，由正方形的判定可證四邊形是正方形，可判斷②正確；過點D作于H，由等腰三角形的性質可得，，由“”可得，可得，由旋轉的性質可得，從而可得，判斷③正確．【詳解】解：設交于K，如圖：

∵四邊形是正方形，∴，∴，∵將繞點B按順時針方向旋轉，得到，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；∵將繞點B按順時針方向旋轉，∴，，，又∵，∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，故②正確；如圖，過點D作于H，

∵，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵將繞點B按順時針方向旋轉，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，故③正確；∴正確的有：①②③，故選：A．9．（2023下·廣東佛山·九年級校考期末）如圖，在正方形中，為對角線，為上一點，過點作，與、分別交于點、，為的中點，連接、、、．下列結論：①；②；③；④若，則，其中結論正確的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據正方形的性質得出和的關系，再根據和的關系即可判斷①，先證明，再證明，從而得出，然后根據四邊形的內角和可判斷②，根據全等三角形的判定定理，即可判斷③；若，則，過點作于點，設，則，，，求出，即可判斷④．【詳解】解：是正方形的對角線，，，∵，∴，四邊形是矩形，，，，故①正確，，，，又是的中點，，，，，在和中，，，，又，，，，故②正確，∵，，在和中，，∴，故③正確；∵，，為等腰直角三角形，，，，過點作于點，如圖所示：設，則，，，，，則，，，故④正確；故選：D．

10．（2023下·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點為正方形的中心，，平分交于點，延長到點，使，連接交的延長線于點，連接交于點，連接則以下四個結論中：①；②；③連接，則；④；正確的結論為（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③【答案】C【分析】①過點作于點，求出，證明，然后可得，再根據等腰三角形三線合一與中位線定理可得出結論；②由三角形中位線定理知，，，然后可得結論；③先證，由點是的中點，得，，從而得，進而即可判斷③錯誤；④根據四邊形是正方形，是的平分線可求出，進而得到，再由是中點，可得，求出即可得出結論．【詳解】解：①過點作于點，則，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，,∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴（），∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴是的中位線，∴，故①正確；②∵點為正方形的中心，，，∴，∵是的中位線，,∴,,∴,∴，∴，故②正確；③如圖，

∵，∴，∵點是的中點，∴，∵，,∴，∵，∴，故③錯誤；④∵四邊形是正方形，是的平分線，∴，∵，∴，∵是中點，∴，∴，∴，故④正確；故選：C．11．（2023下·重慶開州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形是矩形，點在邊上，平分且，垂足為點，連接并延長交于點，連接交于點，連接交于點，有下列結論：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正確的結論有（

）個．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由矩形的性質可得，，得出，由等腰三角形的性質得出，故①正確；由得，由線段垂直平分線的性質可得②正確；由，，得不可能是等邊三角形，得，故③錯誤；由等腰三角形的性質可判斷④；由全等三角形的性質及長方形的性質可得為等腰直角三角形，求出，再根據平行線的性質可得，可判定⑤正確．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，故①正確；，，，，在的垂直平分線上，在和中，，，，點在的垂直平分線上，垂直且平分，故②正確；平分，，，，又，不可能是等邊三角形，，錯誤；故③錯誤；，，，，，，故④錯誤；，，為等腰直角三角形，，，，又，，，，，，，故⑤正確．故選：C．12．（2023下·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，對角線，，直線過點，連接，的周長等于周長的一半，下列說法正確的是（

）①；②；③；④

A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④【答案】A【分析】①取的中點G，連接，可證得是等邊三角形，推出，利用勾股定理可得，根據平行四邊形性質可得，可判斷①正確；②由題意得，即，根據平行四邊形性質可得，利用等腰三角形性質可得，可判斷②正確；③過點E作，交的延長線于H，設，則，利用直角三角形性質和勾股定理可得：，，由勾股定理可得，求得，可得，再由勾股定理可得，得出，可判斷③錯誤；④由于，可判斷④錯誤．【詳解】解：①如圖，取的中點G，連接，則，

∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，故①正確；②∵的周長等于周長的一半，周長的一半，的周長，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，即，故②正確；③如圖，過點E作，交的延長線于H，則，設，則，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，解得：，∴，，而，∴，∵，，，∴，故③錯誤；∵，∴，故④錯誤；綜上所述，說法正確的是①②．故選：A．13．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形紙片中，點為正方形邊上的一點（不與點，點重合），將正方形紙片折疊，使點落在點處，點落在點處，交于點，折痕為，連接、，交于點下列結論：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正確結論的個數是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據翻折不變性可知∶，即可判斷①正確；過點作于．設交于，證明，可以判斷②正確；根據翻折的性質證明，可以判斷③正確；根據與不全等，可得，進而可以判斷④錯誤；過點作于點，證明，可得，，再證明，得，進而可以判斷⑤正確．【詳解】解∶根據翻折不變性可知∶，∴是等腰三角形，故①正確；如圖，過點作于，交于，設交于．

∵，∴四邊形是矩形，∴，由折疊可知∶，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，∴，由折疊可知∶，∴，∵，∴，∴平分，故③正確；∵，∴，∵與不全等，∴，故④錯誤；如圖，過點作于點，．

∵平分，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故⑤正確．綜上所述∶結論正確的有∶①②③⑤，共4個．故選∶D．14．（2023下·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，正方形的對角線，相交于點，點是上一點，交于點，連接，交于點，連接則下列結論：①；②；③若平分，則；④；⑤四邊形的面積是正方形面積的其中正確的結論是（

）

A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【答案】B【分析】先證明，可得，再證明，可判斷①；可得，，則，可判斷②；設正方形的邊長為，則，記到的距離為，證明，，從而可判斷③；顯然隨位置的變化而變化，的長度是變化的，而是不變的，可判斷故④不符合題意；證明，可得，從而可判斷⑤.【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵正方形，∴，∴，故①符合題意；∴，∴，∴，即，故②符合題意；設正方形的邊長為，則，記到的距離為，∵平分，∴，∴，∴；故③符合題意；顯然隨位置的變化而變化，∴的長度是變化的，而是不變的，∴，故④不符合題意；同理可得：，∴，∵，∴.故⑤符合題意；故符合題意的有①②③⑤；故選B二、填空題15．（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，矩形中，，，為的中點，為上一動點，為中點，連接，則的最小值是_________．【答案】【分析】由中位線定理可得點的運動軌跡是線段，再由垂線段最短可得當時，取得最小值，連接、，作于，作于，則的最小值為的長，是的中位線，由勾股定理求出、、的長，由三角形中位線定理得出的長，設，則，由勾股定理得，解得，即可得出結果．【詳解】解：當點與點重合時，點在處，，當點與點重合時，點在處，，且，當點在上除點、的位置處時，有，由中位線定理可知：且，點的運動軌跡是線段，如圖所示，當時，取得最小值，四邊形是矩形，，，，，為的中點，，連接、，作于，作于，則的最小值為的長，是的中位線，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，設，則，由勾股定理得：，即，解得：，，．故答案為：．16．（2023上·廣東深圳·九年級?？茧A段練習）如圖為邊長為的正方形，點是邊上的動點（點不與點，重合），連續(xù)，過點作交延長線于點，連接，點為的中點，連接和，當時，的長為_____．【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，連接，，過作于，根據正方形的性質得到，根據直角三角形的性質得到，根據全等三角形的性質得到，同理，求得，推出，，三點共線，求得，根據直角三角形的性質即可得到結論，正確地作出輔助線是解題的關鍵.【詳解】連接，，過作于，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵點為的中點，∴，在與中，，∴，∴，同理，∴，∴，，三點共線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．17．（2023上·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，正方形ABCD中，點P是上一點，連接與，若，則的最小值是________．

【答案】【分析】連接，在上取一點，使，連接，，過點作于點E，根據正方形的性質及全等三角形的判定和性質得出，的最小值是的長，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，在上取一點，使，連接，，過點作于點E，

∵四邊形是正方形，∴，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值是的長，在中，，，∴，∵，∴，在中，，∴的最小值是，故答案為：．18．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，點E為對角線上的動點，以為邊向外作正方形，點H是的中點，連接，則的最小值為_________．

【答案】１【分析】由，推出，連接，容易證明，推出，當E點位于C點時，G點位于的延長線處，進而推出G點在這條線段上運動，再由點到直線的距離垂線段最短知，過H向作垂線，得到的最小值．【詳解】解：連接，如下圖所示：

，，，在△ADE和中，，，，當E點位于C點時，G點位于處，當E點位于A點時，G點位于C處，故E點在上運動時，G點在上運動，故由點到直線的距離垂線段最短可知：過H點作時，此時最小，又H是的中點，又，，故答案為：1．19．（2024上·湖北·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，矩形中，，，為邊上的動點，連接，于，為的中點，連接，以為邊向右作等邊，連接，則的最小值為_____．【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質，三角形全等的判定與性質，等邊三角形的性質等知識，取的中點，的中點，連接，，，，通過證明，得，在中，利用三邊關系即可求解，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵.【詳解】如圖，取的中點，的中點，連接，，，，則，，，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，連接，由勾股定理得：，∴，∴的最小值為，故答案為：．三、解答題20．（2023·湖南株洲·校聯(lián)考三模）四邊形為正方形，點E為對角線上一點，連接．過點E作，交射線于點F．(1)如圖1，若點F在邊上，求證：；(2)以為鄰邊作矩形，連接．①如圖2，若，求的長度；②當線段與正方形一邊的夾角是時，直接寫出的度數．【答案】(1)見解析(2)①；②或【分析】（1）連接，由正方形的對稱性得，再根據四邊形的內角和定理可證明，進而證得，得，便可得；（2）①證明得，求出的長度便可；②分兩種情況：或，分別根據四邊形的內角和，三角形的內角和求得結果便可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵四邊形是正方形，，（2）解：①∵四邊形為矩形，，∴四邊形為正方形，∴，∵四邊形為正方形，∵②當時，如圖，∵當時，如圖，∵，綜上，或．21．（2024上·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期末）【問題背景】如圖1，已知正方形的邊長為3，點E是邊上的一點，把沿直線對折后，點A落在點F處．【問題探究】（1）如圖2，當時，正方形的對角線與相交于點M，與正方形另一條對角線相交于點O，連接并延長，交線段于點G．①求的值，并說明點M是的中點；②試探究與有怎樣的位置關系，并說明理由．【拓展延伸】（2）如圖3，點H是線段上的一點，且，連接、．在點E從點A運動到點B的過程中，求的最小值．【答案】（1）①見解析；②．理由見解析；（2）的最小值為．【分析】(1)①根據正方形的性質，得到等角，證明即可得證．②根據折疊的性質，正方形的性質，結合三角形中位線定理，證明即可．(2)在上截取，連接、，利用三角形不等式，結合勾股定理計算即可．【詳解】（1）①在正方形中，，，，，，．，，即點是的中點．②．理由：如圖2，連接交于點，由折疊可知垂直平分，即點是的中點，點是的中點，是的中位線，，即．（2）如圖3，在上截取，連接、，，，，，當、、三點共線時，取得最小值，．的最小值為．22．（2024上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是正方形，E，F(xiàn)分別在直線，上，且，連接．

(1)當E，F(xiàn)分別在邊，上時，如圖1．請?zhí)骄烤€段，，之間的數量關系，并寫出證明過程；(2)當E，F(xiàn)分別在，的延長線上時，如圖2．試探究線段，，之間的數量關系，并證明．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了線段和差問題及正方形的性質；關鍵是正確作出輔助線，構造全等三角形，并熟練運用全等三角形的判定方法．（1）如圖1，將繞點C逆時針旋轉后，得到，根據正方形的性質，去證明，從而得出，，之間的數量關系；（2）如圖2，把繞點C逆時針旋轉后，得到，根據正方形的性質，去證明，從而得出，，之間的數量關系．【詳解】（1）解：如圖1，將繞點C逆時針旋轉后，得到，

由旋轉可得，，，點E，B，G在同一直線上，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴,∴，∵，∴．（2）如圖2，把繞點C逆時針旋轉后，得到，

由旋轉可得，，，點A，G，B在同一直線上，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．23．（2023上·吉林長春·九年級?？茧A段練習）在矩形中，，以點為旋轉中心，按逆時針方向旋轉矩形，旋轉角為，得到矩形，點B、點C、點的對應點分別為點、點、點．(1)如圖①，當點落在邊上時，線段的長度為______．(2)如圖②，連接，當點落在線段上時，與相交于點，連接，①求證：②線段的長度為______．(3)如圖③，設點P為邊的中點，連結，在矩形旋轉的過程中，面積的最大值為______．【答案】(1)(2)①見解析，②(3)【分析】（1）如圖①中，在中，利用勾股定理即可解決問題；（2）①證明：如圖②中，根據即可證明；②如圖②中，由，推出，推出，設，在中，根據，構建方程即可解決問題；（3）存在．連接，作于M．當與共線，且時，面積最大，利用，求出，再根據計算即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖①中，∵四邊形是矩形，，∵矩形是由矩形旋轉得到，，在中，，，故答案為：．（2）①證明：如圖②中，∵當點E落在線段上，，在和中，，；②如圖②中，，，，設，在中，，，，，故答案為：．（3）解：如圖③中，連接，作于M．當與共線，且時，面積最大，由題意：，，，，，則，的面積的最大值為，故答案為：．24．（2023上·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）【方法前置】作圖形旋轉是解決幾何問題的重要方法，如圖①，正方形中，、分別在邊、上，且，連接，求證：．可將繞點逆時針旋轉到的位置（容易得出點在的延長線上），進一步證明與全等．親愛的同學們，你想好了嗎？試著看下面的問題情境吧．【問題情景】如圖②，正方形是綠地公園的一塊空地，其邊長為60米．公園設計部門為了給兒童提供更舒適更安全的活動場地，準備將空地中的四邊形（在上，在上）部分作為兒童活動區(qū)，并用圍欄圍擋起來，只留三個出人口，即點、點、點，而且根據實際需要，要使得，并將兒童活動區(qū)（即四邊形）劃分為和兩種不同的游戲場地，兒童活動區(qū)之外的部分種植花草．（1）【模型感知】請參考【方法前置】的思路在圖②中證明．（2）【模型應用】如圖②，若，請你計算兒童活動區(qū)的面積；（3）【模型拓展】如圖③，連接，若，與線段分別交于點、點，，請直接寫出、和之間的數量關系．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）本題根據方法前置將△ADE繞點逆時針旋轉90°到△CDM的位置，得到，，再利用正方形的性質和全等三角形的性質，證明，得到，再結合線段的和差，即可解題．（2）本題根據正方形的性質得到，，由推出，設則，，在中，利用勾股定理，求出，最后利用，即可解題．（3）本題根據（1）中可得方法將△ADE繞點逆時針旋轉90°到的位置，連接，同理可證得，，得到線段，，最后利用勾股定理即可解題．【詳解】（1）解：根據方法前置將△ADE繞點逆時針旋轉90°到△CDM的位置，如圖所示：由旋轉的性質可知，，，，，，，，，，，．（2）解：正方形是綠地公園的一塊空地，其邊長為60米．，∠B=90°，，，設，則，，在中，有，解得，，，又（），兒童活動區(qū)的面積為（3）解：、和之間的數量關系為，理由如下：將△ADE繞點逆時針旋轉90°到的位置，連接，如圖所示：由（1）同理可證得，，，，，四邊形是正方形，為其對角線，，，，，．25．（2023上·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）數學實驗：對矩形紙片進行折紙操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如圖，①將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點落在上的點處，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段．提出問題：（1）觀察所得到的，和，猜想這三個角之間有什么關系？證明你的猜想．變式拓展：如圖2，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點落在上的點處，并使折痕經過點，得到折痕、線段．提出問題：（2）已知，求的長．（3）若點是線段上一動點，當周長最小時，________．【答案】（1）．（2）．（3）．【分析】（1）根據翻折的性質、等邊三角形的判定和性質證明即可；（2）由折疊可知：，，再證明四邊形是矩形，可得，，根據勾股定理列出等式即可求出．（3）由垂直平分，可得，即，當、、三點共線時，最小，此時周長最小，再證明，得出，即可求得答案．【詳解】解：（1）猜想：，理由如下：如圖，連接，四邊形是矩形，，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，垂直平分，，再一次折疊紙片，使點落在上的點處，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段，，，，是等邊三角形，，，，．（2）如圖2，由折疊可知：，，，四邊形是矩形，，，，，，，由折疊可知：，，在中，根據勾股定理得：，，．（3）如圖3，連接，由（2）知：垂直平分，，，當、、三點共線時，最小，此時周長最小，在和中，，，，，故答案為：．26．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┰诰匦沃校?1)將矩形紙片沿折疊，使點A落在點F處（如圖①），設與相交于點G，求證：；(2)將矩形沿直線折疊，使點B的對應點落在邊上（如圖②），點A的對應點為，連接交于點．當時，求、的長；(3)點M在線段上，點N在線段上，（如圖③）若按折疊后，點落在矩形的邊上點，請求的最大值和最小值．【答案】(1)證明見解答(2)的長是，OF的長是(3)的最大值為6，最小值為【分析】（1）由矩形的性質得，則，由折疊得，所以，則；（2）連接、，由，得，則，因為垂直平分，所以，由勾股定理得，求得，則，由，求得，而，則；（3）當點與點重合時，的值最小，由垂直平分，得，則，所以；當點與點重合時，的值最大，此時，所以的最大值為6，最小值為．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，由折疊得，（2）解：如圖②，連接、，∵，由折疊得點與點關于直線對稱，垂直平分解得，解得，∴的長是，的長是．（3）解：如圖③，當點與點重合時，的值最小，∵點與點關于直線對稱，∴垂直平分，；如圖④，當點與點重合時，的值最大，且∴的最大值為6，最小值為．27．（2024上·重慶豐都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形邊長為，，是對角線，把一個含（的三角尺與這個菱形疊合；如果使三角尺（的頂點與點重合，兩邊分別與、重合．將三角尺繞點按逆時針方向旋轉（旋轉角小于）．旋轉過程中三角尺的兩邊與菱形的兩邊、相交于點、．

(1)、有何數量關系，并證明你的結論．(2)連接，求面積的最大值．(3)連接，在旋轉過程中三角尺的兩邊分別與相交于點、，是否存在以、、為邊的直角