【八年級下冊數學浙教版】第一章 二次根式（壓軸題專練）

第一章二次根式（壓軸題專練）一．選擇題（共7小題）1．（2021春?龍口市期中）把a根號外的因式移入根號內，運算結果是（）A． B． C．﹣ D．﹣2．（2021秋?思明區(qū)校級期末）若的整數部分為x，小數部分為y，則（2x+）y的值是（）A． B．3 C． D．﹣33．（2023秋?湖南期末）（）?＝（）A．n B．2n C． D．4．（2022春?濰坊期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正確的是（）A．＝ B．×＝1 C．＝b D．（）2＝﹣ab5．（2023春?信豐縣期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為cm，寬為4cm）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm6．（2023?浠水縣模擬）在一個正方形的內部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8二．填空題（共4小題）7．（2023春?德城區(qū)校級月考）已知a＝，b＝，則a與b的關系是____________．8．（2023秋?錦江區(qū)校級期中）已知a＝2+，b＝，則a2﹣3ab+b2的值為_________．9．（2022秋?成都期末）已知x，y是實數，且，則＝_______．10．（2018秋?福州期末）如圖，D是等邊三角形ABC中BA延長線上一點，連接CD，E是BC上一點，且DE＝DC，若BD+BE＝6，CE＝2，則這個等邊三角形的邊長是________．三．解答題（共16小題）11．（2023秋?山亭區(qū)期中）計算：（1）； （2）；（3）； （4）．12．（2023秋?龍泉驛區(qū)期中）已知x＝，y＝．（1）求x2+y2+xy的值；（2）若x的小數部分是m，y的小數部分是n，求（m+n）2021﹣的值．13．（2023秋?吳中區(qū)期中）先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數學上有一種根號內又帶根號的數，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質化去一層根號．例如：＝＝＝＝||＝1+．解決問題：化簡下列各式：（1）； （2）．14．（2023秋?惠來縣期中）一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2．設a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為正整數），則有a+b+2n2+2mn，∴a＝m2+2m2，b＝2mn．這樣可以把部分．a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝_____________，b＝__________；（2）找一組正整數a、b、m、n填空：_________+_______＝（_______+_______）2；（3）化簡．15．（2021秋?昆明期末）小明在解方程﹣＝2時采用了下面的方法：由（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有﹣＝2，可得+＝8，將這兩式相加可得，將＝5兩邊平方可解得x＝﹣1，經檢驗x＝﹣1是原方程的解．請你學習小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是_____________________；（2）解方程+＝4x．16．（2022秋?豐城市校級期末）在進行二次根式簡化時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可將其進一步簡化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡：＝＝＝；（四）（1）化簡＝_________________＝______________________（2）請用不同的方法化簡．①參照（三）式得＝______________________②步驟（四）式得＝______________________（3）化簡：+++…+．17．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．試求正整數n．18．（2021春?羅山縣期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．+_______2；6+3_______2；1+_______2；7+7_______2．（2）由（1）中各式猜想a+b與2（a≥0，b≥0）的大小，并說明理由．（3）請利用上述結論解決下面問題：某同學在做一個面積為1800cm2，對角線相互垂直的四邊形風箏時，求用來做對角線的竹條至少要多少厘米？19．（2022秋?渭南期末）觀察下列各式：①，②，③，④，…．利用你觀察到的規(guī)律（1）寫出f（9）＝______________________，f（n）＝______________________；（2）計算的值為___________．20．（2021秋?湘潭縣期末）已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面積，a，b，c分別表示三邊之長，p表示周長之半，即p＝．我國宋代數學家秦九韶提出的“三斜求積術”與這個公式基本一致，所有這個公式也叫“海倫﹣秦九韶公式”．請你利用公式解答下列問題．（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面積；（2）計算（1）中△ABC的BC邊上的高．21．（2021秋?長安區(qū)校級期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為8米，寬AB為米，現要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為+1米，寬為﹣1米．（1）長方形ABCD的周長是多少？（結果化為最簡二次根式）（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/m2的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？（結果化為最簡二次根式）22．（2022春?岳麓區(qū)校級期中）已知a，b均為正整數．我們把滿足的點P（x，y）稱為幸福點．（1）下列四個點中為幸福點的是______________；P1（5，5）；P2（6，6）；P3（7，7）；P4（8，8）（2）若點P（20，t）是一個幸福點，求t的值；（3）已知點P（+1，﹣1）是一個幸福點，則存在正整數a，b滿足，試問是否存在實數k的值使得點P和點Q（a+k，b﹣k）到x軸的距離相等，且到y(tǒng)軸的距離也相等？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．23．（2022秋?平鄉(xiāng)縣期末）如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖．為了提高傳送過程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°，已知原傳送帶AB長為4米．（1）求新傳送帶AC的長度；（2）如果需要在貨物著地點C的左側留出2米的通道，試判斷距離B點5米的貨物MNQP是否需要挪走，并說明理由．（參考數據：≈1.4，≈1.7．）24．（2023秋?東鄉(xiāng)區(qū)期中）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明進行了以下探索：設：（其中a、b、m、n均為整數），則有．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得a＝_____________，b＝__________；（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n，填空：_________+__________________＝（_______+_______）2；（3）若，且a、b、m、n均為正整數，求a的值．25．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期中）為了方便市民出行，建委決定對某街道一條斜坡進行改造，計劃將原斜坡坡角為45°的BC改造為坡角為30°的AC，已知BC＝10米，點A，B，C，D，E，F在同一平面內．（1）求AB的距離；（結果保留根號）（2）一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高EF為3米，EF⊥AC，若CF＝16米，求此時貨車頂端E到水平線CD的距離DE．（精確到0.1米，參考數據：

第一章二次根式（壓軸題專練）答案全解全析一．選擇題（共7小題）1．（2021春?龍口市期中）把a根號外的因式移入根號內，運算結果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】根據二次根式的性質，可得答案．【解答】解：a根號外的因式移到根號內，化簡的結果是﹣，故選：D．2．（2021秋?思明區(qū)校級期末）若的整數部分為x，小數部分為y，則（2x+）y的值是（）A． B．3 C． D．﹣3【分析】首先根據的整數部分，確定的整數部分x的值，則y即可確定，然后代入所求解析式計算即可求解．【解答】解：∵9＜13＜16∴3＜＜4，∴的整數部分x＝2，則小數部分是：6﹣﹣2＝4﹣，∴y＝4﹣，則（2x+）y＝（4+）（4﹣）＝16﹣13＝3．故選：B．3．（2023秋?湖南期末）（）?＝（）A．n B．2n C． D．【分析】先將題目中的式子變形，然后化簡即可．【解答】解：由題意可得，（）?＝（）×（++…+）＝（）×（+++…+）＝（+）×＝＝n，故選：A．4．（2022春?濰坊期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正確的是（）A．＝ B．×＝1 C．＝b D．（）2＝﹣ab【分析】利用二次根式的性質和實數的運算性質解答，對每個選項作出判斷即可．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，無意義，∴A的結論不正確；∵＝＝1，∴B的結論正確；∵＝＝＝﹣b，∴C的結論不正確；∵＝ab，∴D的結論不正確，故選：B．5．（2023春?信豐縣期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為cm，寬為4cm）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm【分析】根據題意列出關系式，去括號合并即可得到結果．【解答】解：設小長方形卡片的長為x，寬為y，根據題意得：x+2y＝，則圖②中兩塊陰影部分周長和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故選：B．6．（2023?浠水縣模擬）在一個正方形的內部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【分析】根據面積可求得大正方形和陰影部分的邊長，從而求得空白部分的長；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過長方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長即可求出面積．【解答】解：∵觀察可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為2﹣6，∴一個空白長方形面積＝，∵大正方形面積為12，重疊部分面積為3，∴大正方形邊長＝，重疊部分邊長＝，∴空白部分的長＝，設空白部分寬為x，可得：，解得：x＝，∴小正方形的邊長＝空白部分的寬+陰影部分邊長＝，∴小正方形面積＝＝10，故選：B．二．填空題（共4小題）7．（2023春?德城區(qū)校級月考）已知a＝，b＝，則a與b的關系是互為相反數．【分析】先化簡a，而a+b＝0，從而可知a、b關系．【解答】解：∵a＝＝2﹣，∴b+a＝0，故a與b互為相反數，故答案是互為相反數．8．（2023秋?錦江區(qū)校級期中）已知a＝2+，b＝，則a2﹣3ab+b2的值為11．【分析】先把a，b的值代入代數式，按照完全平方公式，分母有理化計算即可．【解答】解：當a＝2+，b＝時，a2﹣3ab+b2，＝﹣+，＝，＝，＝11．9．（2022秋?成都期末）已知x，y是實數，且，則＝1．【分析】根據二次根式有意義的條件求出x的值，進而求出y的取值范圍，據此化簡絕對值和二次根式即可得到答案【解答】解：由題意知，，，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x＝1，∴，∴y﹣1＜0，∴．故答案為：1．10．（2018秋?福州期末）如圖，D是等邊三角形ABC中BA延長線上一點，連接CD，E是BC上一點，且DE＝DC，若BD+BE＝6，CE＝2，則這個等邊三角形的邊長是．【分析】過點D作DF⊥BC，垂足為F．先用等腰三角形的“三線合一”及含30°角的直角三角形求出CF、EF、BF，再根據BE+EF＝BF列出含BE的方程并求出BE，最后求出等邊三角形的邊長．【解答】解：法一：過點D作DF⊥BC，垂足為F.∵△ABC是等邊三角形，DE＝DC，∴∠B＝60°，CF＝EF＝CE＝．∴∠BDF＝90°﹣∠B＝30°．∴BF＝BD＝（6﹣BE）＝3﹣BE．∵BE+EF＝BF，∴BE+＝3﹣BE．∴BE＝．∴BC＝BE+CE＝+2＝．故答案為：．法二：過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N．∵△ABC是等邊三角形，DE＝DC，∴BM＝BC，CN＝CE＝∵AM⊥BC，DN⊥BC，∴AM∥DN∴設BA的長為x，則BM＝x，BN＝x﹣，BE＝x﹣2∵BD+BE＝6，∴BD＝6﹣BE＝8﹣x∴＝解得x＝．故答案為：． 三．解答題（共16小題）11．（2023秋?山亭區(qū)期中）計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先計算零指數冪和負整數指數冪，再根據實數的混合計算法則求解即可；（2）（3）（4）根據二次根式的混合計算法則求解即可．【解答】解：（1）＝＝﹣2；（2）＝＝；（3）＝＝＝；（4）＝＝3+2﹣4＝1．12．（2023秋?龍泉驛區(qū)期中）已知x＝，y＝．（1）求x2+y2+xy的值；（2）若x的小數部分是m，y的小數部分是n，求（m+n）2021﹣的值．【分析】（1）先利用分母有理化化簡x和y，從而求出x+y和xy的值，然后再利用完全平方公式進行計算，即可解答；（2）利用（1）的結論可得：m＝2﹣，n＝﹣1，然后代入式子中進行計算，即可解答．【解答】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+，∴x+y＝2﹣+2+＝4，xy＝（2﹣）（2+）＝4﹣3＝1，∴x2+y2+xy＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝16﹣1＝15；（2）∵1＜＜2，∴﹣2＜﹣＜﹣1，∴0＜2﹣＜1，∴2﹣的小數部分是2﹣，∴m＝2﹣，∵1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴2+的小數部分＝2+﹣3＝﹣1，∴n＝﹣1，∴（m+n）2021﹣＝（2﹣+﹣1）2021﹣（n﹣m）＝12021﹣[﹣1﹣（2﹣）]＝1﹣（﹣1﹣2+）＝1﹣+1+2﹣＝4﹣2．13．（2023秋?吳中區(qū)期中）先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數學上有一種根號內又帶根號的數，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質化去一層根號．例如：＝＝＝＝||＝1+．解決問題：化簡下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）將被開方數配成完全平方和的形式并開方即可；（2）將被開方數配成完全平方差的形式并開方即可．【解答】解：（1）＝＝＝＝1+；（2）＝＝＝＝﹣2．14．（2023秋?惠來縣期中）一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2．設a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為正整數），則有a+b+2n2+2mn，∴a＝m2+2m2，b＝2mn．這樣可以把部分．a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）找一組正整數a、b、m、n填空：21+4＝（1+2）2；（3）化簡．【分析】（1）將（m+n）2用完全平方公式展開，與原等式左邊比較，即可得答案；（2）設a+b＝，則＝m2+2mn+5n2，比較完全平方式右邊的值與a+b，可將a和b用m和n表示出來，再給m和n取特殊值，即可得答案；（3）利用題中描述的方法，將要化簡的雙重根號，先化為一重根號，再利用分母有理化化簡，再合并同類二次根式和同類項即可．【解答】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn，故答案為：m2+3n2，2mn．（2）設a+b＝．則＝m2+2mn+5n2．∴a＝m2+5n2，b＝2mn，若令m＝1，n＝2，則a＝21，b＝4．故答案為：21，4，1，2．（3）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝++﹣＝+．15．（2021秋?昆明期末）小明在解方程﹣＝2時采用了下面的方法：由（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有﹣＝2，可得+＝8，將這兩式相加可得，將＝5兩邊平方可解得x＝﹣1，經檢驗x＝﹣1是原方程的解．請你學習小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是x＝±；（2）解方程+＝4x．【分析】（1）首先把根式有理化，然后分別求出根式和它的有理化因式的值是多少；再根據求出的根式和它的有理化因式的值，求出方程的解是多少即可；（2）首先把根式+有理化，然后分別求出根式+和它的有理化因式的值是多少；再根據求出的根式+和它的有理化因式的值，求出方程+＝4x的解是多少即可．【解答】解：（1）（）（﹣）＝﹣＝（x2+42）﹣（x2+10）＝32∵，∴﹣＝32÷16＝2，∴∵＝92＝81，∴x＝±，經檢驗x＝±都是原方程的解，∴方程的解是：x＝±；故答案為：x＝±．（2）（+）（﹣）＝＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x∵+＝4x，∴﹣＝8x÷4x＝2，∴，∵，∴4x2+6x﹣5＝4x2+4x+1，∴2x＝6，解得x＝3，經檢驗x＝3是原方程的解，∴方程+＝4x的解是：x＝3．16．（2022秋?豐城市校級期末）在進行二次根式簡化時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可將其進一步簡化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡：＝＝＝；（四）（1）化簡＝＝（2）請用不同的方法化簡．①參照（三）式得＝﹣②步驟（四）式得＝﹣（3）化簡：+++…+．【分析】（1）根據題中所給出的例子把分母化為完全平方式的形式即可；（2）①根據步驟（三）把分母乘以﹣即可；②根據步驟（四）把分子化為（﹣）（+）的形式即可；（3）把各式的分母有理化，找出規(guī)律即可得出結論．【解答】解：（1）＝＝，＝＝．故答案為：，；（2）①原式＝＝﹣．故答案為：﹣；②原式＝＝＝﹣．故答案為：﹣；（3）原式＝+++…+＝＝．17．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．試求正整數n．【分析】首先化簡x與y，可得：x＝（）2＝2n+1﹣2，y＝2n+1+2，所以x+y＝4n+2，xy＝1；將所得結果看作整體代入方程，化簡即可求得．【解答】解：化簡x與y得：x＝＝2n+1﹣2，y＝＝2n+1+2，∴x+y＝4n+2，xy＝＝[（+）（﹣）]2＝1，∴將xy＝1代入方程，化簡得：x2+y2＝98，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2×1＝100，∴x+y＝10．∴4n+2＝10，解得n＝2．18．（2021春?羅山縣期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．+＞2；6+3＞2；1+＞2；7+7＝2．（2）由（1）中各式猜想a+b與2（a≥0，b≥0）的大小，并說明理由．（3）請利用上述結論解決下面問題：某同學在做一個面積為1800cm2，對角線相互垂直的四邊形風箏時，求用來做對角線的竹條至少要多少厘米？【分析】（1）根據完全平方公式的非負性進行變形可得結論；（2）直接利用完全平方公式的非負數的性質解答即可；（3）根據對角線互相垂直的四邊形面積＝相互垂直的對角線乘積的一半，并綜合利用（2）的結論得出答案即可．【解答】解：（1）∵＞0，∴+＞0，∴+＞2，同理得：6+3＞2；1+＞2；7+7＝2．故答案為：＞，＞，＞，＝；（2）猜想：a+b≥2（a≥0，b≥0），理由是：∵a≥0，b≥0，∴a+b﹣2＝（）2≥0，∴a+b≥2；（3）設AC＝a，BD＝b，由題意得：＝1800，∴ab＝3600，∵a+b≥2，∴a+b≥2，∴a+b≥120，∴用來做對角線的竹條至少要120厘米．19．（2022秋?渭南期末）觀察下列各式：①，②，③，④，…．利用你觀察到的規(guī)律（1）寫出f（9）＝，f（n）＝；（2）計算的值為2021．【分析】（1）由已知式子，可得出；（2）利用，表示出f（1）、f（2），……，f（2021），結合平方差公式計算即可．【解答】解：（1）由已知式子可得：，當n＝9時，．故答案為：，；（2）原式＝＝＝＝＝2021．故答案為：2021．20．（2021秋?湘潭縣期末）已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面積，a，b，c分別表示三邊之長，p表示周長之半，即p＝．我國宋代數學家秦九韶提出的“三斜求積術”與這個公式基本一致，所有這個公式也叫“海倫﹣秦九韶公式”．請你利用公式解答下列問題．（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面積；（2）計算（1）中△ABC的BC邊上的高．【分析】（1）由三角形的邊角命名修改找出a、b、c的值，代入海倫公式即可得出結論；（2）由三角形的面積S＝底×高÷2，代入數據，即可得出結論．【解答】解：（1）∵AB＝5，BC＝6，CA＝7，∴a＝6，b＝7，c＝5，p＝＝9，∴△ABC的面積S＝＝6．（2）設BC邊上的高為h，則×6×h＝6，解得h＝2．21．（2021秋?長安區(qū)校級期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為8米，寬AB為米，現要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為+1米，寬為﹣1米．（1）長方形ABCD的周長是多少？（結果化為最簡二次根式）（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/m2的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？（結果化為最簡二次根式）【分析】（1）根據長方形ABCD的周長列出算式，再利用二次根式的混合運算順序和運算法則計算可得；（2）先計算出空白部分面積，再計算即可，【解答】解：（1）長方形ABCD的周長＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：長方形ABCD的周長是16+14（米），（2）通道的面積＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），購買地磚需要花費＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：購買地磚需要花費（336﹣72）元；22．（2022春?岳麓區(qū)校級期中）已知a，b均為正整數．我們把滿足的點P（x，y）稱為幸福點．（1）下列四個點中為幸福點的是P1（5，5）；P1（5，5）；P2（6，6）；P3（7，7）；P4（8，8）（2）若點P（20，t）是一個幸福點，求t的值；（3）已知點P（+1，﹣1）是一個幸福點，則存在正整數a，b滿足，試問是否存在實數k的值使得點P和點Q（a+k，b﹣k）到x軸的距離相等，且到y(tǒng)軸的距離也相等？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據a，b均為正整數，對a，b分類討論，分別求出幸福點即可；（2）將P點坐標分別代入求出t的值即可；（3）先表示出點P（2a+3b，3a+2b），再根據點P和點Q到x軸的距離相等，到y(tǒng)軸的距離也相等列出關系式求解即可．【解答】解：（1）∵a，b均為正整數，滿足的點P（x，y）稱為幸福點，∴當a＝1，b＝1時，x＝5，y＝5，故P1（5，5）是幸福點，當a＝1，b＝2時，x＝8，y＝7，故（8，7）是幸福點，當a＝2，b＝1時，x＝7，y＝8，故（7，8）是幸福點，..．∴P1（5，5），P2（6，6），P3（7，7），P4（8，8）中只有P1（5，5）是幸福點，故答案為：P1（5，5）；（2）∵點P（20，t）是一個幸福點，∴2a+3b＝20，3a+2b＝t，∵a，b均為正整數，∴a＝1，b＝6或a＝b＝4或a＝7，b＝2，當a＝1，b＝6時，t＝15，當a＝b＝4時，t＝20，當a＝7，b＝2時，t＝25，∴t的值為15或20或25；（3）∵點P（+1，﹣1）是一個幸福點，則存在正整數a，b滿足，∴消去m得，b＝a+2，∵P（2a+3b，3a+2b），Q（a+k，b﹣k），∴P（5a+6，5a+4），Q（a+k，a+1﹣k），∵點P和點Q到x軸的距離相等，∴有4種情況，①，解得，a＝﹣1（舍），k＝；②，解得，a＝1，k＝10.5，∴b＝3，符合題意；③，解得，a＝﹣3（舍），k＝；④，解得，a＝﹣1（舍），k＝﹣；∴當a＝1，b＝3，k＝10.5時，點P和點Q到x軸的距離相等，且到y(tǒng)軸的距離也相等．23．（2022秋?平鄉(xiāng)縣期末）如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖．為了提高傳送過程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°，已知原傳送帶AB長為4米．（1）求新傳送帶AC的長度；（2）如果需要在貨物著地點C的左側留出2米的通道，試判斷距離B點5米的貨物MNQP是否需要挪走，并說明理由．（參考數據：≈1.4，≈1.7．）【分析】（1）在構建的直角三角形中，首先求出兩個直角三角形的公共直角邊，進而在Rt△ACD中，求出AC的長．（2）通過解直角三角形，可求出BD、CD的長，進而可求出BC、PC的長．然后判斷PC的值是否大于2米即可．【解答】解：（1）如圖，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∴2AD2＝AB2＝（4）2，解得：AD＝4（米）．在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8（米）．即新傳送帶AC的長度約為8米；（2）貨物MNQP不需要挪走．理由：在Rt△ABD中，BD＝AD＝4（米）．在Rt△ACD中，CD＝＝4（m）．∴CB＝CD﹣BD＝4﹣4≈2.8（m）．∵PC＝PB﹣CB≈5﹣2.8＝2.2＞2，∴貨物MNQP不需要挪走．24．（2023秋?東鄉(xiāng)區(qū)期中）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明進行了以下探索：設：（其中a、b、m、n均為整數），則有．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的結論，