2024-2025學(xué)年山東省聊城市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省聊城市高三12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共6小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C．1 D．3．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．若是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共2小題）7．下列命題中，真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若.則D．若，則8．函數(shù)的圖象，如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．函數(shù)是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．若在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則三、填空題（本大題共3小題）9．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為10．已知正數(shù)滿足，則的最小值為.11．一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為.四、解答題（本大題共3小題）12．已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.13．已知函數(shù).（其中是自然對(duì)數(shù)的底，）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求整數(shù)的最大值.14．已知無(wú)窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足滿足滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.(1)已知為二階等差數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式：(2)若數(shù)列為二階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列.證明：為三階等比數(shù)列：(3)已知，令的前項(xiàng)和為.證明.

答案1．【正確答案】D【詳解】由可得：，所以，所以.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.3．【正確答案】A【詳解】根據(jù)兩向量垂直，可得，解得或；可推出或,充分性成立，而或推不出，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．【正確答案】C【詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，又，則，解得，則.故選：C.5．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，，，，故，所以，且，故，?故選：D.6．【正確答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，由題意知，在上恒成立，即在上恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，又因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7．【正確答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知其在R上單調(diào)遞增，，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若，則，則，而，根據(jù)不等式的性質(zhì)，，從而，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，滿足，但無(wú)意義，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC8．【正確答案】BCD【詳解】依題意，，由，得，解得，而，解得，，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；是奇函數(shù)，B正確；，，故是的對(duì)稱中心，故關(guān)于對(duì)稱，C正確；，，當(dāng)時(shí)，，依題意，中恰好包含，于是，解得，D正確.故選：BCD9．【正確答案】【詳解】解：由題意可得，公比，根據(jù)，及可得，化簡(jiǎn)可得．則.故答案為.10．【正確答案】【詳解】由，得，所以，因?yàn)?，，所以，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為.11．【正確答案】?2【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，；在點(diǎn)處的切線方程為：，即在點(diǎn)處的切線方程為：即.由已知：可得：，化簡(jiǎn)得：；代入所求式子.故答案為.12．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（2）當(dāng)時(shí)，，由已知，不等式恒成立，因?yàn)椋?，以上不等式可化為：，所以，整理可得：，設(shè)，因?yàn)?，所以，上式可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.13．【正確答案】(1)見(jiàn)解析(2)1【詳解】（1）定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得：，解得：，由得：，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，即：，所以，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，使得，即，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取最小值，令，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，，，所以，因?yàn)?，所以整?shù)的最大值為1.14．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以為公差為，首?xiàng)為4的等差數(shù)列，因此，即，所以（2）因?yàn)闉槎A等差數(shù)列，所以(為常數(shù))，因此，即，所以，故是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，又是一階等比，設(shè)公比為，則，則，由是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，知是關(guān)于的三次多項(xiàng)式.下面證明是三