2025年滬科版七年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第07講 整式乘法

第07講整式乘法模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測能進行簡單的整式乘法運算(其中多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘)；知識點1單項式與單項式相乘的法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.注意：(1)積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，應(yīng)先確定積的符號，再計算積的絕對值.(2)相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算.(3)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里.(4)單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式.(5)對于三個以上的單項式相乘法則同樣適用.知識點2單項式與多項式相乘的法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即。注意：(1)單項式與多項式相乘，結(jié)采是一個多項式其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項.(2)計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.(3)對于混合運算，應(yīng)注意運算順序，有同類項時，必須合并，從而得到最簡結(jié)果.知識點3多項式與多項式相乘的法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即注意：(1)運用多項式乘法法則時，要按一定的順序進行，防止“漏項”。(2)多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積。(3)多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，運算過程中要注意確定積中各項的符號。知識點4單項式除以單項式法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。注意：(1)運算中單項式的系數(shù)包括它前面的符號。(2)不要遺漏只在被除式里含有的字母。(3)單項式除以單項式的站果仍是單項式。知識點5多項式除以單項式法則多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。注意：(1)多項式除以單項式可以簡化為單項式除以單項式、在計算時，多項式里的各項要包括它前面的符號。(2)多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應(yīng)該有幾項、不要漏項。(3)多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用共進行檢驗。考點01：計算單項式乘以單項式例題1．（24-25七年級上·上海·期中）計算：．【變式1-1】計算：．【變式1-2】計算：【變式1-3】計算：．考點02：利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值例題2．若，則的值為．【變式2-1】已知單項式與的積為，那么（）A．11 B．5 C．1 D．【變式2-2】已知，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．2 C．1 D．3【變式2-3】先化簡，后求值：，其中，．考點03：單項式乘以多項式例題3.（24-25七年級上·遼寧錦州·期中）先化簡，再求值：，其中【變式3-1】把代數(shù)式變形為所運用的根據(jù)是（

）A．乘法交換律 B．乘法結(jié)合律 C．分配律 D．乘法交換律和分配律【變式3-2】化簡：【變式3-3】計算：考點04：單項式乘多項式的應(yīng)用例題4.小紅的爸爸將一塊長為分米、寬分米的長方形鐵皮的四個角都剪去一個邊長為分米的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的盒子．(1)用含，的整式表示盒子的外表面積；(2)若，，現(xiàn)往盒子的外表面上噴漆，每平方分米噴漆價格為15元，求噴漆共需要多少元？【變式4-1】（23-24八年級上·內(nèi)蒙古興安盟·期末）神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，激發(fā)了中小學(xué)生對航天事業(yè)的熱愛．李華在手工課上制作了一個火箭模型（圖1），圖2是其中一重要零件及各邊的長度，則圖2中零件的面積為（

）A． B． C． D．【變式4-2】如圖，已知正方形的邊長為a，長方形的邊長為，邊長為b．則以D為圓心，為半徑的弧與所圍成的陰影部分的面積是．（用含有a、b和的代數(shù)式表示）【變式4-3】（23-24七年級下·河北秦皇島·期末）某居民小組在進行美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，規(guī)劃將一長為米、寬為米的長方形場地打造成居民健身場所，如圖所示，具體規(guī)劃為：在這個場地一角分割出一塊長為米，寬為米的長方形場地建籃球場，其余的地方安裝各種健身器材，其中用作籃球場的地面鋪設(shè)塑膠地面，用于安裝健身器材的區(qū)域建水泥地面．(1)用含、的式子表示籃球場地的面積和安裝健身器材區(qū)域的地面面積；(2)當(dāng)米，米時，分別求出籃球場地的面積和安裝健身器材區(qū)域的地面面積；(3)在（2）的條件下，如果鋪設(shè)塑膠地面每平方米需100元，鋪設(shè)水泥地面每平方米需50元，求建設(shè)該居民健身場所所需的地面總費用（元）．考點05：多項式乘以多項式例題5.已知，則；．【變式5-1】（23-24七年級上·河北石家莊·期末）若和是的因式，則p為（

）A． B． C．8 D．2【變式5-2】已知，則的值是（

）A． B． C． D．【變式5-3】計算：．考點06：已知多項式乘積不含某項求字母的值例題6.一個關(guān)于x的二次三項式，將它與一個關(guān)于的二項式相乘，得到一個關(guān)于的整式，其中不出現(xiàn)一次項，且三次項系數(shù)為1，求、的值．【變式6-1】已知的計算結(jié)果中不含項，則的值為．【變式6-2】（24-25七年級上·重慶·期中）要使多項式中不含項和項，則．【變式6-3】（24-25七年級上·甘肅金昌·期中）若代數(shù)式不含x的一次項，求的值．考點07：多項式乘多項式的化簡求值例題7．（23-24七年級下·江蘇常州·期末）先化簡，再求值：，其中．【變式7-1】已知，，那么的值為．【變式7-2】．（2024·廣東深圳·三模）已知，則的值為．【變式7-3】．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知，，則的值為．考點08：多項式乘法中的規(guī)律問題例題8.觀察下列式子：(1)根據(jù)以上式子，請直接寫出；(2)根據(jù)以上式子，請直接寫出的結(jié)果為正整數(shù)）；(3)計算：．【變式8-1】通過計算尋找規(guī)律：(1)計算：___________．___________．___________．(2)猜想：___________．(3)根據(jù)猜想結(jié)論，寫出下列結(jié)果：___________．___________．【變式8-2】觀察以下等式：(1)按以上等式的規(guī)律，填空：①______．②______．(2)利用多項式的乘法法則，說明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化簡；【變式8-3】（23-24七年級下·廣東清遠·期中）觀察以下等式：……(1)按以上等式的規(guī)律，填空：①________．②________．(2)利用多項式的乘法法則，說明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化簡：．一、單選題1．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）下列運算中正確的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年級下·安徽六安·期末）若則代數(shù)式的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（23-24七年級下·安徽亳州·期末）設(shè)，，則A與B的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定4．（23-24八年級下·安徽滁州·期末）若運算結(jié)果中不含關(guān)于x的一次項，則k的值是（

）A．4 B． C．2 D．二、填空題5．（23-24七年級下·安徽合肥·期末）若，則．6．（22-23七年級下·安徽安慶·期末）要使的展開式中不含項，則m的值為．三、解答題7．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）計算：(1)；(2)．8．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）計算：(1)；(2)．9．（22-23七年級下·安徽六安·期末）觀察下列各式：；；；；(1)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得：________．(2)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得：________．(3)若，求的值．10．（23-24七年級下·安徽亳州·期末）觀察下列多項式的乘法計算．①；②；③；④．(1)計算：_______，________．(2)若，求的值．

第07講整式乘法模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測能進行簡單的整式乘法運算(其中多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘)；知識點1單項式與單項式相乘的法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.注意：(1)積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，應(yīng)先確定積的符號，再計算積的絕對值.(2)相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算.(3)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里.(4)單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式.(5)對于三個以上的單項式相乘法則同樣適用.知識點2單項式與多項式相乘的法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即。注意：(1)單項式與多項式相乘，結(jié)采是一個多項式其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項.(2)計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.(3)對于混合運算，應(yīng)注意運算順序，有同類項時，必須合并，從而得到最簡結(jié)果.知識點3多項式與多項式相乘的法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即注意：(1)運用多項式乘法法則時，要按一定的順序進行，防止“漏項”。(2)多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積。(3)多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，運算過程中要注意確定積中各項的符號。知識點4單項式除以單項式法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。注意：(1)運算中單項式的系數(shù)包括它前面的符號。(2)不要遺漏只在被除式里含有的字母。(3)單項式除以單項式的站果仍是單項式。知識點5多項式除以單項式法則多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。注意：(1)多項式除以單項式可以簡化為單項式除以單項式、在計算時，多項式里的各項要包括它前面的符號。(2)多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應(yīng)該有幾項、不要漏項。(3)多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用共進行檢驗?？键c01：計算單項式乘以單項式例題1．（24-25七年級上·上?！て谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊窘馕觥拷猓海咀兪?-1】計算：．【答案】【解析】解：，故答案為：．【變式1-2】計算：【答案】【解析】解：原式．【變式1-3】計算：．【答案】【解析】解：原式．考點02：利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值例題2．若，則的值為．【答案】【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式2-1】已知單項式與的積為，那么（）A．11 B．5 C．1 D．【答案】C【解析】，，，，．故選：C．【變式2-2】已知，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．2 C．1 D．3【答案】B【解析】解：∵，∴，∴，故選：B．【變式2-3】先化簡，后求值：，其中，．【答案】，【解析】解：當(dāng)，時，原式．考點03：單項式乘以多項式例題3.（24-25七年級上·遼寧錦州·期中）先化簡，再求值：，其中【答案】，【解析】解：，當(dāng)時，原式．【變式3-1】把代數(shù)式變形為所運用的根據(jù)是（

）A．乘法交換律 B．乘法結(jié)合律 C．分配律 D．乘法交換律和分配律【答案】C【解析】解：把代數(shù)式變形為所運用的根據(jù)是分配律，故選：C．【變式3-2】化簡：【答案】【解析】解：．【變式3-3】計算：【答案】【解析】解：考點04：單項式乘多項式的應(yīng)用例題4.小紅的爸爸將一塊長為分米、寬分米的長方形鐵皮的四個角都剪去一個邊長為分米的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的盒子．(1)用含，的整式表示盒子的外表面積；(2)若，，現(xiàn)往盒子的外表面上噴漆，每平方分米噴漆價格為15元，求噴漆共需要多少元？【答案】(1)（平方分米）(2)360元【解析】（1）解：根據(jù)題意得：（平方分米）∴盒子的外表面積為平方分米；（2）解：當(dāng)，時，（平方分米）則噴漆的費用為（元）．答：噴漆共需要360元．【變式4-1】（23-24八年級上·內(nèi)蒙古興安盟·期末）神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，激發(fā)了中小學(xué)生對航天事業(yè)的熱愛．李華在手工課上制作了一個火箭模型（圖1），圖2是其中一重要零件及各邊的長度，則圖2中零件的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，即圖2中零件的面積為．故選：A【變式4-2】如圖，已知正方形的邊長為a，長方形的邊長為，邊長為b．則以D為圓心，為半徑的弧與所圍成的陰影部分的面積是．（用含有a、b和的代數(shù)式表示）【答案】【解析】解：由題意得，，故答案為：．【變式4-3】（23-24七年級下·河北秦皇島·期末）某居民小組在進行美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，規(guī)劃將一長為米、寬為米的長方形場地打造成居民健身場所，如圖所示，具體規(guī)劃為：在這個場地一角分割出一塊長為米，寬為米的長方形場地建籃球場，其余的地方安裝各種健身器材，其中用作籃球場的地面鋪設(shè)塑膠地面，用于安裝健身器材的區(qū)域建水泥地面．(1)用含、的式子表示籃球場地的面積和安裝健身器材區(qū)域的地面面積；(2)當(dāng)米，米時，分別求出籃球場地的面積和安裝健身器材區(qū)域的地面面積；(3)在（2）的條件下，如果鋪設(shè)塑膠地面每平方米需100元，鋪設(shè)水泥地面每平方米需50元，求建設(shè)該居民健身場所所需的地面總費用（元）．【答案】(1)，；(2)420平方米，930平方米；(3)88500元【解析】（1）解：（平方米）（平方米）（2）當(dāng)米，米時（平方米）（平方米）（3）（元）考點05：多項式乘以多項式例題5.已知，則；．【答案】【解析】解：，，，故答案為：，【變式5-1】（23-24七年級上·河北石家莊·期末）若和是的因式，則p為（

）A． B． C．8 D．2【答案】D【解析】解：即故選：D【變式5-2】已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【變式5-3】計算：．【答案】【解析】解：，故答案為：．考點06：已知多項式乘積不含某項求字母的值例題6.一個關(guān)于x的二次三項式，將它與一個關(guān)于的二項式相乘，得到一個關(guān)于的整式，其中不出現(xiàn)一次項，且三次項系數(shù)為1，求、的值．【答案】【解析】解：∵不出現(xiàn)一次項，且三次項系數(shù)為1，∴，解得：【變式6-1】已知的計算結(jié)果中不含項，則的值為．【答案】【解析】解：∵已知的計算結(jié)果中不含的項，∴∴故答案為：．【變式6-2】（24-25七年級上·重慶·期中）要使多項式中不含項和項，則．【答案】1【解析】解：，∵不含項和項，∴，解得，，∴，故答案為：1．【變式6-3】（24-25七年級上·甘肅金昌·期中）若代數(shù)式不含x的一次項，求的值．【答案】9【解析】解：因為代數(shù)式不含x的一次項，所以，解得：，∴．考點07：多項式乘多項式的化簡求值例題7．（23-24七年級下·江蘇常州·期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，1【解析】解：原式．當(dāng)時，原式．【變式7-1】已知，，那么的值為．【答案】9【解析】解：，，，原式，故答案為：9．【變式7-2】．（2024·廣東深圳·三模）已知，則的值為．【答案】2025【解析】解：，，，故答案為：2025．【變式7-3】．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知，，則的值為．【答案】【解析】解：∵，，∴，故答案為：．考點08：多項式乘法中的規(guī)律問題例題8.觀察下列式子：(1)根據(jù)以上式子，請直接寫出；(2)根據(jù)以上式子，請直接寫出的結(jié)果為正整數(shù)）；(3)計算：．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：由題意得，．故答案為：．（2）解：觀察題干中各等式，得到如下規(guī)律：被除式和除式都是二項式，除式都是，商的次數(shù)比被除式的次數(shù)小1，項數(shù)與被除式的次數(shù)相等，按x進行降冪排列，各項系數(shù)為1，．故答案為：．（3）解：由題意得，．【變式8-1】通過計算尋找規(guī)律：(1)計算：___________．___________．___________．(2)猜想：___________．(3)根據(jù)猜想結(jié)論，寫出下列結(jié)果：___________．___________．【答案】(1)，，(2)(3)，【解析】（1）解：；；；（2）解：由；；；……；（3）解：；．【變式8-2】觀察以下等式：(1)按以上等式的規(guī)律，填空：①______．②______．(2)利用多項式的乘法法則，說明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化簡；【答案】(1)；(2)(3)【解析】（1）解：根據(jù)材料提示，①．②．故答案為：；；（2）解：；（3）解：．【變式8-3】（23-24七年級下·廣東清遠·期中）觀察以下等式：……(1)按以上等式的規(guī)律，填空：①________．②________．(2)利用多項式的乘法法則，說明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化簡：．【答案】(1)；(2)見解析(3)【解析】（1）解：①②，故答案為：；；（2）解：；（3）解：．一、單選題1．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）下列運算中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、，故本選項不符合題意；B