2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí) 專題05 全等三角形_第1頁
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專題05全等三角形考點(diǎn)聚焦:核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn),有的放矢重點(diǎn)專攻:知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理,查漏補(bǔ)缺提升專練:真題感知+精選專練,全面突破知識(shí)點(diǎn)1:全等三角形的概念1.全等三角形的相關(guān)概念:(1)全等三角形的概念:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素:

①對(duì)應(yīng)頂點(diǎn):全等三角形中,能夠重合的頂點(diǎn).②對(duì)應(yīng)邊:全等三角形中,能夠重合的邊③對(duì)應(yīng)角:全等三角形中,能夠重合的角.2.全等三角形的表示方法:全等用符號(hào)“≌”表示,讀作“全等于”,記兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.3.常見三角形的全等變換:4.對(duì)應(yīng)元素的確定方法:(1)圖形特征法:①最長(zhǎng)邊對(duì)最長(zhǎng)邊,最短邊對(duì)最短邊.②最大角對(duì)最大角,最小角對(duì)最小角.③相等的邊(角)為對(duì)應(yīng)邊(角).(2)位置關(guān)系法:①公共角(對(duì)頂角)為對(duì)應(yīng)角,公共邊為對(duì)應(yīng)邊.②對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.③對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角為對(duì)應(yīng)角,兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.(3)字母順序法:根據(jù)書寫規(guī)范按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角.知識(shí)點(diǎn)2:全等三角形的判定與性質(zhì)1.全等三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)邊上的中線顯得更,對(duì)應(yīng)邊上的高相等,對(duì)應(yīng)角的平分線相等,對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)氙燈,對(duì)應(yīng)面積相等.2.三角形的穩(wěn)定性(1)如果三角形的三邊長(zhǎng)確定了,這個(gè)三角形的形狀、大小就確定了,這就是三角形的穩(wěn)定性.(2)四邊形及四邊以上的圖形不具有穩(wěn)定性,在生活中也有廣泛的應(yīng)用3.三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用:(1)穩(wěn)定性是三角形特有的,在生產(chǎn)和生活中具有廣泛的應(yīng)用,有很多需要保持穩(wěn)定性的物體都被制成三角形的形狀,如起重機(jī)、鋼架橋等(2)四邊形及四邊以上的圖形不具有穩(wěn)定性,為保證其穩(wěn)定性,常在圖形中構(gòu)造三角形.四邊形的不穩(wěn)定性在生活中也有廣泛的應(yīng)用,如活動(dòng)掛架、伸縮門等.4.全等三角形的判定:

SAS

ASA

SSS

AAS

HL題型歸納【考點(diǎn)01全等三角形的性質(zhì)】1.(24-25八年級(jí)上·河南信陽·期末)如圖,,若,,則的度數(shù)為(

)A.30° B. C. D.2.(24-25八年級(jí)上·云南大理·期中)如圖,已知點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,,,,則的長(zhǎng)為(

)A.7 B.5 C.12 D.63.(24-25八年級(jí)上·北京·期中)如圖,,那么(

)A. B. C. D.4.(23-24八年級(jí)上·山西臨汾·期末)如圖,已知,點(diǎn)在同一條直線上,若,則的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.4 D.5【考點(diǎn)02用SSS證明三角形全等】1.(22-23八年級(jí)上·北京東城·期末)已知,下面是“作一個(gè)角等于已知角,即作”的尺規(guī)作圖痕跡.該尺規(guī)作圖的依據(jù)是(

)A. B. C. D.2.(23-24八年級(jí)上·廣西柳州·期末)下圖是投影屏上出示的搶答題,需要回答括號(hào)里符號(hào)代表的內(nèi)容:則回答正確的是(

)A.☆代表對(duì)應(yīng)邊 B.※代表110° C.@代表ASA D.◎代表∠DCA3.(23-24八年級(jí)上·廣西桂林·期末)如圖,,,與相交于點(diǎn).(1)求證:≌;(2)若,求的度數(shù).4.(24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中)已知:如圖,點(diǎn),在線段上,,,.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).【考點(diǎn)03用SAS證明三角形全等】1.(23-24八年級(jí)上·湖北宜昌·期末)如圖,在中,D是邊上的中點(diǎn),若,,的取值范圍.2.(24-25八年級(jí)上·山東·期末)如圖,,,,,,則的度數(shù)是.3.(24-25八年級(jí)上·河南洛陽·期中)如圖,在四邊形中,為上的一點(diǎn)求證:(1)平分;(2)4.(24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·期中)如圖,在和中,,且點(diǎn),,在同一直線上,點(diǎn),在同側(cè),連接BD,CE交于點(diǎn).(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).【考點(diǎn)04用ASA或AAS證明三角形全等】1.(24-25八年級(jí)上·廣東潮州·期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè),已知,,,,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.2.(24-25八年級(jí)上·廣東韶關(guān)·期中)如圖,在中,.(1)求證:.(2)求證:.3.(24-25八年級(jí)上·河南信陽·期中)小明同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后,對(duì)其作了進(jìn)一步的探究:在一個(gè)支架的橫桿的點(diǎn)處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球,小球可以自由擺動(dòng),如圖,表示小球靜止時(shí)的位置.當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí),小球從擺到位置,此時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn),當(dāng)小球擺到位置時(shí),與恰好垂直(圖中的在同一平面上),過點(diǎn)作于點(diǎn),測(cè)得,.(1)求證:;(2)求的長(zhǎng).4.(24-25八年級(jí)上·河北保定·期中)【問題情境】(1)利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法.如圖1,平分,A為上一點(diǎn),過點(diǎn)A作,垂足為C,延長(zhǎng)交于點(diǎn)B,可直接根據(jù)_____(填字母依據(jù))證明;【類比解答】(2)如圖2,在中,,平分,于點(diǎn)E,延長(zhǎng)交于點(diǎn)F,求的度數(shù);【實(shí)際應(yīng)用】(3)圖3是一塊肥沃的三角形土地,其中邊與灌渠相鄰,李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn),故進(jìn)行如下操作:①用量角器取的平分線;②過點(diǎn)A作于點(diǎn)D.已知,,的面積為30,請(qǐng)直接寫出的面積;【拓展延伸】(4)如圖4,在中,,,平分,,交的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)E,試探究和之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)05全等的性質(zhì)與HL綜合】1.(24-25八年級(jí)上·廣東潮州·期中)如圖,在中,,,,、兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng),,當(dāng)與全等時(shí),的長(zhǎng)度為(

)A.6 B.6或12 C.8 D.8或122.(23-24八年級(jí)上·廣東肇慶·期末)如圖,中,為上一點(diǎn),為延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),且,連交邊于.求證:(1);(2).3.(24-25八年級(jí)上·重慶·期中)如圖,與的頂點(diǎn)A,F(xiàn),C,D共線,與交于點(diǎn)G,與相交于點(diǎn)H,,,.(1)求證:;(2)若,求線段的長(zhǎng).4.(24-25八年級(jí)上·廣東東莞·期中)如圖,四邊形中,,E是的中點(diǎn),平分.(1)判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(2)若,,求和的面積之和.【考點(diǎn)06添加條件使三角形全等】1.(24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中)如圖,已知點(diǎn)在一條直線上,,為了使則下列添加的條件不正確的是(

)A. B. C. D.2.(24-25八年級(jí)上·河南洛陽·期中)如圖,與相交于點(diǎn)O,,有以下四個(gè)條件;①;②;③;④.從這四個(gè)條件中任選一個(gè),能使的選法種數(shù)共有(

)A.2種 B.3種 C.4種 D.1種3.(24-25八年級(jí)上·河南信陽·期末)如圖,平分,請(qǐng)你添加一個(gè)條件:,使.4.(24-25八年級(jí)上·山東菏澤·期中)如圖,做一個(gè)“U”字形框架,其中足夠長(zhǎng),,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度之比為,當(dāng)M、N兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止,此時(shí)在射線上取點(diǎn)C,使與全等,求此時(shí)線段的長(zhǎng)是多少?【考點(diǎn)07靈活選用判定方法證明全等】1.(24-25八年級(jí)上·山東菏澤·期中)根據(jù)下列已知條件,不能唯一畫出的是(

)A. B.C. D.2.(24-25八年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·期中)已知的三邊及三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)如圖所示,現(xiàn)要作一個(gè)與全等的三角形,下面是四位同學(xué)作出的圖形.其中符合條件的有(

)A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)3.(24-25八年級(jí)上·河北滄州·期中)如圖,把長(zhǎng)短確定的兩根木棍的一端固定在處,和第三根木棍擺出,再將木棍繞轉(zhuǎn)動(dòng),得到,這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明(

)A.有兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等B.有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形一定不全等C.有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等D.有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等48.(24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中)如圖,在與中,,有下列三個(gè)條件:①,②,③.請(qǐng)你在上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)為條件,另一個(gè)能作為這兩個(gè)條件推出來的結(jié)論,并證明你的結(jié)論(只要求寫出一種正確的選法).(1)你選的條件為______、______,結(jié)論為______;(2)證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)08結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】1.(23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期末)根據(jù)下列已知條件,能畫出唯一的的是(

)A., B.,C.,, D.,,2.(23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期中)如圖,已知;,線段,求作.作法;(1)作線段;(2)在的同旁作,,與的另一邊交于點(diǎn).則是所作三角形,這樣作圖的依據(jù)是(

)A. B. C. D.3.(24-25八年級(jí)上·河南洛陽·期中)程老師制作了如圖1所示的學(xué)具,用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題.操作學(xué)具時(shí),點(diǎn)Q在軌道槽上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動(dòng),也能在軌道槽上運(yùn)動(dòng),圖2是操作學(xué)具時(shí),所對(duì)應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖.有以下結(jié)論:①當(dāng),時(shí),可得到形狀唯一確定的;②當(dāng),時(shí),可得到形狀唯一確定的;③當(dāng),時(shí),可得到形狀唯一確定的.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A.①② B.②③ C.①③ D.①②③4.(22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中)【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)65頁的部分內(nèi)容.做一做如圖13.2.7,已知兩條線段和一個(gè)角,以長(zhǎng)的線段為已知角的鄰邊,短的線段為已知角的對(duì)邊,畫一個(gè)三角形.把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較,所畫的角形都全等嗎?此時(shí),符合條件的三角形有多少種?【探究問題】如圖,,請(qǐng)你用圓規(guī)在的另一邊找到點(diǎn),使,這樣的點(diǎn)有______個(gè),說明符合條件的三角形有______種;我們可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)(即“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等)兩個(gè)三角形________全等.【拓展思考】如圖,已知,若且,,那么一定是______三角形(從“銳角三角形”或“直角三角形”或“鈍角三角形”三個(gè)答案選擇).【考點(diǎn)09全等三角形的綜合問題】1.(23-24八年級(jí)上·福建龍巖·期末)如圖,點(diǎn)分別在x軸,y軸的正半軸上.點(diǎn)在線段上,過A作分別交x軸,y軸于點(diǎn)B,C,點(diǎn)P為線段上任意一點(diǎn)(P不與A,E重合),連接,過E作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.有以下結(jié)論①,②,③,④,其中正確的結(jié)論是(

)A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③2.(23-24八年級(jí)上·北京豐臺(tái)·期中)已知:如圖,在長(zhǎng)方形(長(zhǎng)方形四個(gè)內(nèi)角均為直角,并且兩組對(duì)邊分別相等)中,,.延長(zhǎng)到點(diǎn),使,連接,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)?shù)闹禐槊霑r(shí),和全等.2.(23-24八年級(jí)上·浙江衢州·期末)如圖,在中,,點(diǎn)在邊上,,分別是射線上的兩點(diǎn),且,,,.則的值是;若,的面積為,則的面積是.3.(23-24八年級(jí)上·廣東深圳·期末)如圖,點(diǎn)D,E分別在和上,,點(diǎn)F是上一點(diǎn),F(xiàn)E的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)若,求的度數(shù);(2)若點(diǎn)E是的中點(diǎn),與全等嗎?請(qǐng)說明理由.過關(guān)檢測(cè)一、單選題1.(23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期中)如圖,,且,E,F(xiàn)是上兩點(diǎn),,.若,,,則AD的長(zhǎng)為()A.9 B.8 C.11 D.102.(23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期中)下列命題的逆命題是真命題的是()A.對(duì)頂角相等 B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊都相等C.全等三角形的周長(zhǎng)相等 D.全等三角形的對(duì)應(yīng)角都相等3.(23-24八年級(jí)上·安徽淮南·期中)根據(jù)下列條件,能畫出唯一的是(

)A.,, B.,,C.,, D.,,4.(23-24八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中)如圖,已知,點(diǎn)F,B,E,C在同一條直線上,若,則的長(zhǎng)度為(

)A.6 B.8 C.10 D.125.(22-23八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中)如圖,,則長(zhǎng)度為(

)A. B. C. D.6.(24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中)如圖,在中,高與角平分線交于點(diǎn),作的平分線分別交,于點(diǎn),連接交于,若.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A. B.C. D.7.(24-25八年級(jí)上·四川瀘州·期中)如圖,的面積為,與的平分線垂直,垂足為,連接,則的面積為(

)A. B. C. D.8.(24-25八年級(jí)上·四川廣元·期中)如圖,已知,點(diǎn)、分別在、上且,連接,,交于點(diǎn),連接,過點(diǎn)分別作,垂足分別為,下列結(jié)論:①;②;③平分;④若點(diǎn)是的中點(diǎn),則;⑤如果,則是的中點(diǎn);其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)二、填空題9.(24-25八年級(jí)上·安徽阜陽·期中)如圖,在四邊形中,,,,過點(diǎn)作,垂足為.若,,則的長(zhǎng)是.10.(23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期中)如圖,在中,,,M、N、K分別是,,AB上的點(diǎn),且,.則的度數(shù)為.11.(23-24八年級(jí)上·安徽淮南·期中)如圖,在中,,,,為邊上的高,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),在直線上以每秒的速度移動(dòng),過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn).(1)若,則的度數(shù)為(用含的代數(shù)式表示);(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),.12.(23-24八年級(jí)上·安徽淮南·期中)已知,,,其中,點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著路徑運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q以每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,沿著路徑運(yùn)動(dòng),一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)隨即停止運(yùn)動(dòng),它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①若,則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程的2倍;②當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)時(shí),;③若,,時(shí),與垂直;④若與全等,則或.以上說法正確的有三、解答題13.(24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期中)如圖,、、三點(diǎn)在同一條直線上,,,.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).14.(23-24八年級(jí)上·安徽六安·期末)如圖,已知點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在一條直線上,,,.(1)求證:;(2)若,,求的長(zhǎng).15.(23-24八年級(jí)上·安徽阜陽·期末)如圖,、分別是的邊、上的高,且,.求證:(1);(2).16.(23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末)如圖,在與中,,,,分別是和的高,且.(1)求證:;(2)你認(rèn)為“有兩邊和第三邊上的高分別相等的兩個(gè)三角形全等”這句話對(duì)嗎?(嘗試畫圖說明)17.(23-24八年級(jí)上·云南昭通·期末)如圖,與中,,,,連接.(1)如圖1,若,,求的度數(shù);(2)如圖2,若平分,求證:.18.(23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中)已知,如圖,為等邊三角形,,相交于點(diǎn)P,于Q.(1)求證:;(2)求的度數(shù);(3)若,求的長(zhǎng).19.(23-24八年級(jí)上·四川成都·期末)如圖1,點(diǎn),,且a,b滿足.(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)如圖2,點(diǎn)在線段上,且滿足,點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上,連接CD交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M,且,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)平移直線,交x軸正半軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,P為直線上且位于第三象限內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G,若,且,點(diǎn)N是上方一點(diǎn),且,直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).20.(23-24八年級(jí)上·福建福州·期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),,其中,點(diǎn)在第四象限內(nèi),交軸于點(diǎn).且,,連接,并作軸于點(diǎn).(1)求證:;(2)求點(diǎn)的坐標(biāo);(用含的式子表示)(3)如圖1,過點(diǎn)作直線軸,過點(diǎn)作于點(diǎn),求證:直線,直線,直線相交于一點(diǎn).

專題05全等三角形考點(diǎn)聚焦:核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn),有的放矢重點(diǎn)專攻:知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理,查漏補(bǔ)缺提升專練:真題感知+精選專練,全面突破知識(shí)點(diǎn)1:全等三角形的概念1.全等三角形的相關(guān)概念:(1)全等三角形的概念:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素:

①對(duì)應(yīng)頂點(diǎn):全等三角形中,能夠重合的頂點(diǎn).②對(duì)應(yīng)邊:全等三角形中,能夠重合的邊③對(duì)應(yīng)角:全等三角形中,能夠重合的角.2.全等三角形的表示方法:全等用符號(hào)“≌”表示,讀作“全等于”,記兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.3.常見三角形的全等變換:4.對(duì)應(yīng)元素的確定方法:(1)圖形特征法:①最長(zhǎng)邊對(duì)最長(zhǎng)邊,最短邊對(duì)最短邊.②最大角對(duì)最大角,最小角對(duì)最小角.③相等的邊(角)為對(duì)應(yīng)邊(角).(2)位置關(guān)系法:①公共角(對(duì)頂角)為對(duì)應(yīng)角,公共邊為對(duì)應(yīng)邊.②對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.③對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角為對(duì)應(yīng)角,兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.(3)字母順序法:根據(jù)書寫規(guī)范按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角.知識(shí)點(diǎn)2:全等三角形的判定與性質(zhì)1.全等三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)邊上的中線顯得更,對(duì)應(yīng)邊上的高相等,對(duì)應(yīng)角的平分線相等,對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)氙燈,對(duì)應(yīng)面積相等.2.三角形的穩(wěn)定性(1)如果三角形的三邊長(zhǎng)確定了,這個(gè)三角形的形狀、大小就確定了,這就是三角形的穩(wěn)定性.(2)四邊形及四邊以上的圖形不具有穩(wěn)定性,在生活中也有廣泛的應(yīng)用3.三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用:(1)穩(wěn)定性是三角形特有的,在生產(chǎn)和生活中具有廣泛的應(yīng)用,有很多需要保持穩(wěn)定性的物體都被制成三角形的形狀,如起重機(jī)、鋼架橋等(2)四邊形及四邊以上的圖形不具有穩(wěn)定性,為保證其穩(wěn)定性,常在圖形中構(gòu)造三角形.四邊形的不穩(wěn)定性在生活中也有廣泛的應(yīng)用,如活動(dòng)掛架、伸縮門等.4.全等三角形的判定:

SAS

ASA

SSS

AAS

HL題型歸納【考點(diǎn)01全等三角形的性質(zhì)】1.(24-25八年級(jí)上·河南信陽·期末)如圖,,若,,則的度數(shù)為(

)A.30° B. C. D.【答案】A【解析】解:,,,,.故選:A2.(24-25八年級(jí)上·云南大理·期中)如圖,已知點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,,,,則的長(zhǎng)為(

)A.7 B.5 C.12 D.6【答案】A【解析】解:∵點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,,∴,,∴,故選:A.3.(24-25八年級(jí)上·北京·期中)如圖,,那么(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】解:∵,∴,∵,∴;故選B.4.(23-24八年級(jí)上·山西臨汾·期末)如圖,已知,點(diǎn)在同一條直線上,若,則的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】解:∵,∴,∴,∴,故選:B.【考點(diǎn)02用SSS證明三角形全等】1.(22-23八年級(jí)上·北京東城·期末)已知,下面是“作一個(gè)角等于已知角,即作”的尺規(guī)作圖痕跡.該尺規(guī)作圖的依據(jù)是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】解:由題意可知,“作一個(gè)角等于已知角,即作”的尺規(guī)作圖的依據(jù)是.故選:B.2.(23-24八年級(jí)上·廣西柳州·期末)下圖是投影屏上出示的搶答題,需要回答括號(hào)里符號(hào)代表的內(nèi)容:則回答正確的是(

)A.☆代表對(duì)應(yīng)邊 B.※代表110° C.@代表ASA D.◎代表∠DCA【答案】B【解析】解:∵在和中,∴,∴(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等),∵,∴,∴;故選:B.3.(23-24八年級(jí)上·廣西桂林·期末)如圖,,,與相交于點(diǎn).(1)求證:≌;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明:在中,,∴;(2)解:由(1)可得,∴,∵是的一個(gè)外角,∴,∴的度數(shù)為.4.(24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中)已知:如圖,點(diǎn),在線段上,,,.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明:∵,.在和中.(2)解:,,.【考點(diǎn)03用SAS證明三角形全等】1.(23-24八年級(jí)上·湖北宜昌·期末)如圖,在中,D是邊上的中點(diǎn),若,,的取值范圍.【答案】【解析】解:延長(zhǎng)到,使,連接,如圖所示:∵是邊上的中線,∴,在和中,∴,∴,∵,∴,∵,∴在中,,∴,∴,∴,故答案為:.2.(24-25八年級(jí)上·山東·期末)如圖,,,,,,則的度數(shù)是.【答案】【解析】解:∵在和中,∴,∴,∵,,∴,∵,∴,∴.故答案為:.3.(24-25八年級(jí)上·河南洛陽·期中)如圖,在四邊形中,為上的一點(diǎn)求證:(1)平分;(2)【解析】(1)證明:在和中,,,,平分;(2)在和中,,,.4.(24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·期中)如圖,在和中,,且點(diǎn),,在同一直線上,點(diǎn),在同側(cè),連接BD,CE交于點(diǎn).(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明:,∴,即,在和中,,;(2),,∴.是的外角,∴.,∴,∵是的外角,∴.【考點(diǎn)04用ASA或AAS證明三角形全等】1.(24-25八年級(jí)上·廣東潮州·期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè),已知,,,,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.【答案】【解析】解:如圖所示,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),

∵,軸,∴,又,,∴,∵,,∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為:.2.(24-25八年級(jí)上·廣東韶關(guān)·期中)如圖,在中,.(1)求證:.(2)求證:.【解析】(1)證明:∵,∴,∴,∵,∴;(2)證明:∵,∴,∴.3.(24-25八年級(jí)上·河南信陽·期中)小明同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后,對(duì)其作了進(jìn)一步的探究:在一個(gè)支架的橫桿的點(diǎn)處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球,小球可以自由擺動(dòng),如圖,表示小球靜止時(shí)的位置.當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí),小球從擺到位置,此時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn),當(dāng)小球擺到位置時(shí),與恰好垂直(圖中的在同一平面上),過點(diǎn)作于點(diǎn),測(cè)得,.(1)求證:;(2)求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)證明:∵,∴,又∵,,∴,∴,∴;(2)解:由()得:,,在和中,,∴,∴,∵,∴.4.(24-25八年級(jí)上·河北保定·期中)【問題情境】(1)利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法.如圖1,平分,A為上一點(diǎn),過點(diǎn)A作,垂足為C,延長(zhǎng)交于點(diǎn)B,可直接根據(jù)_____(填字母依據(jù))證明;【類比解答】(2)如圖2,在中,,平分,于點(diǎn)E,延長(zhǎng)交于點(diǎn)F,求的度數(shù);【實(shí)際應(yīng)用】(3)圖3是一塊肥沃的三角形土地,其中邊與灌渠相鄰,李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn),故進(jìn)行如下操作:①用量角器取的平分線;②過點(diǎn)A作于點(diǎn)D.已知,,的面積為30,請(qǐng)直接寫出的面積;【拓展延伸】(4)如圖4,在中,,,平分,,交的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)E,試探究和之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【答案】(1);(2);(3)的面積為10;(4)和之間的數(shù)量關(guān)系為;證明見解析【解析】解:(1)∵平分,∴∵∴又∵∴;(2)同(1)可得,∴∵∴∴∴∴;(3)如圖所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn)E同(1)可得,∴,∵∴∴∴∵的面積為30∴∴∵∴的面積;(4),理由如下:如圖:延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于F,∵平分,∴,在和中,,∴,∴,即,∵,∴,∴,在和中,,∴,∴,∴.【考點(diǎn)05全等的性質(zhì)與HL綜合】1.(24-25八年級(jí)上·廣東潮州·期中)如圖,在中,,,,、兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng),,當(dāng)與全等時(shí),的長(zhǎng)度為(

)A.6 B.6或12 C.8 D.8或12【答案】B【解析】解:∵,,∴,①當(dāng)時(shí),在和中,,∴;②當(dāng)時(shí),在和中,,∴.綜上所述,當(dāng)與全等時(shí),的長(zhǎng)度為6或12.故選:B.2.(23-24八年級(jí)上·廣東肇慶·期末)如圖,中,為上一點(diǎn),為延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),且,連交邊于.求證:(1);(2).【解析】(1)證明:∵,,∴在與中,,;(2)證明:由(1)知,,∵,,,在與中,,,,,.3.(24-25八年級(jí)上·重慶·期中)如圖,與的頂點(diǎn)A,F(xiàn),C,D共線,與交于點(diǎn)G,與相交于點(diǎn)H,,,.(1)求證:;(2)若,求線段的長(zhǎng).【答案】(1)見解析;(2)1.5.【解析】(1)證明:即在和中(2)解:,又在和中,.4.(24-25八年級(jí)上·廣東東莞·期中)如圖,四邊形中,,E是的中點(diǎn),平分.(1)判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(2)若,,求和的面積之和.【答案】(1),證明見解析(2)20【解析】(1)解:,證明如下:證明:如圖,過點(diǎn)作于點(diǎn),∵,∴,∵DE平分,,,∴,又∵是的中點(diǎn),∴,∴,在與中,,∴,∴,在與中,,∴,∴,又∵,∴;(2)解:∵,,∴,∵,∴,∴和的面積之和梯形的面積的面積,,.【考點(diǎn)06添加條件使三角形全等】1.(24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中)如圖,已知點(diǎn)在一條直線上,,為了使則下列添加的條件不正確的是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】解:∵,∴,且,A、添加,∴,即,可以運(yùn)用邊角邊證明,不符合題意;B、添加,不能運(yùn)用邊邊角證明三角形全等,符合題意;C、添加,可以運(yùn)用角邊角證明,不符合題意;D、添加,∴,可以運(yùn)用角角邊證明,不符合題意;故選:B.2.(24-25八年級(jí)上·河南洛陽·期中)如圖,與相交于點(diǎn)O,,有以下四個(gè)條件;①;②;③;④.從這四個(gè)條件中任選一個(gè),能使的選法種數(shù)共有(

)A.2種 B.3種 C.4種 D.1種【答案】B【解析】解:由題意得,又,若選擇①,在與中,,;若選擇②,由不能判定和全等;若選擇③,在與中,,;若選擇④,在與中;綜上,①③④符合題意,故選:B.3.(24-25八年級(jí)上·河南信陽·期末)如圖,平分,請(qǐng)你添加一個(gè)條件:,使.【答案】(答案不唯一)【解析】解:平分,,∵為公共邊,∴添加,利用可以證明;添加,利用可以證明;添加,利用可以證明;故答案為:(答案不唯一).4.(24-25八年級(jí)上·山東菏澤·期中)如圖,做一個(gè)“U”字形框架,其中足夠長(zhǎng),,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度之比為,當(dāng)M、N兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止,此時(shí)在射線上取點(diǎn)C,使與全等,求此時(shí)線段的長(zhǎng)是多少?【答案】或【解析】解:∵點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度之比為,∴可設(shè),則,,∵,∴使與全等,可分兩種情況:情況一:當(dāng),時(shí),∵,,∴,解得:,∴;情況二:當(dāng),時(shí),∵,,∴,解得:,∴,綜上所述,或.【考點(diǎn)07靈活選用判定方法證明全等】1.(24-25八年級(jí)上·山東菏澤·期中)根據(jù)下列已知條件,不能唯一畫出的是(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】解:A.,已知兩邊一角,但是已知角不是已知邊的夾角,無法唯一確定一個(gè)三角形,符合題意;B.,符合全等三角形的判定定理,能畫出唯一三角形,不符合題意;C.,符合全等三角形的判定定理,能畫出唯一三角形,不符合題意;

D.,符合全等三角形的判定定理,能畫出唯一三角形,不符合題意;故選:A.2.(24-25八年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·期中)已知的三邊及三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)如圖所示,現(xiàn)要作一個(gè)與全等的三角形,下面是四位同學(xué)作出的圖形.其中符合條件的有(

)A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】B【解析】解:(1)根據(jù)可以判定兩個(gè)三角形全等,故此圖形符合題意;(2)根據(jù)“兩邊及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的條件”不能判定三角形全等,故此圖形不符合題意;(3)根據(jù)可以判定兩個(gè)三角形全等,故此圖形符合題意;(4)根據(jù)可以判定兩個(gè)三角形全等,故此圖形符合題意,∴符合條件的有個(gè).故選:B.3.(24-25八年級(jí)上·河北滄州·期中)如圖,把長(zhǎng)短確定的兩根木棍的一端固定在處,和第三根木棍擺出,再將木棍繞轉(zhuǎn)動(dòng),得到,這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明(

)A.有兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等B.有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形一定不全等C.有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等D.有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等【答案】D【解析】解:由題意可知:,,,滿足有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等,但是與不全等,所以這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等,故選:D.48.(24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中)如圖,在與中,,有下列三個(gè)條件:①,②,③.請(qǐng)你在上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)為條件,另一個(gè)能作為這兩個(gè)條件推出來的結(jié)論,并證明你的結(jié)論(只要求寫出一種正確的選法).(1)你選的條件為______、______,結(jié)論為______;(2)證明你的結(jié)論.【答案】(1)①;③;②(或①;②;③)(2)詳見解析【解析】(1)解:解法一:選的條件是:①,③,結(jié)論是②;解法二:選的條件是:①,②,結(jié)論是③;(2)解:解法一證明:,,在和中,,,.解法二證明:,,,在和中,,,.【考點(diǎn)08結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】1.(23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期末)根據(jù)下列已知條件,能畫出唯一的的是(

)A., B.,C.,, D.,,【答案】D【解析】解:A、C選項(xiàng)中的條件沒有邊的長(zhǎng)度,因此不能畫出唯一的,故A、C不符合題意;B選項(xiàng)只是知道兩邊的長(zhǎng)度,不能畫出唯一的;D.已知兩角和這兩角的夾邊,能夠畫出唯一的,故D符合題意.故選:D.2.(23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期中)如圖,已知;,線段,求作.作法;(1)作線段;(2)在的同旁作,,與的另一邊交于點(diǎn).則是所作三角形,這樣作圖的依據(jù)是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】解:由作圖可知,這個(gè)作圖的依據(jù)是:兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等,即.故選C.3.(24-25八年級(jí)上·河南洛陽·期中)程老師制作了如圖1所示的學(xué)具,用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題.操作學(xué)具時(shí),點(diǎn)Q在軌道槽上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動(dòng),也能在軌道槽上運(yùn)動(dòng),圖2是操作學(xué)具時(shí),所對(duì)應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖.有以下結(jié)論:①當(dāng),時(shí),可得到形狀唯一確定的;②當(dāng),時(shí),可得到形狀唯一確定的;③當(dāng),時(shí),可得到形狀唯一確定的.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【答案】B【解析】解:①當(dāng),時(shí),以為圓心,6為半徑畫弧,與射線有兩個(gè)交點(diǎn),則的形狀不能唯一確定,故①錯(cuò)誤;②當(dāng),時(shí),以為圓心,10為半徑畫弧,與射線有一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)位置唯一確定,則可得到形狀唯一確定的,故②正確;③當(dāng),時(shí),以為圓心,12為半徑畫弧,與射線有一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)位置唯一確定,則可得到形狀唯一確定的,故③正確;故選:B.4.(22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中)【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)65頁的部分內(nèi)容.做一做如圖13.2.7,已知兩條線段和一個(gè)角,以長(zhǎng)的線段為已知角的鄰邊,短的線段為已知角的對(duì)邊,畫一個(gè)三角形.把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較,所畫的角形都全等嗎?此時(shí),符合條件的三角形有多少種?【探究問題】如圖,,請(qǐng)你用圓規(guī)在的另一邊找到點(diǎn),使,這樣的點(diǎn)有______個(gè),說明符合條件的三角形有______種;我們可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)(即“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等)兩個(gè)三角形________全等.【拓展思考】如圖,已知,若且,,那么一定是______三角形(從“銳角三角形”或“直角三角形”或“鈍角三角形”三個(gè)答案選擇).【答案】2;2;不一定;鈍角【解析】這樣的點(diǎn)C有2個(gè),說明符合條件的三角形有2種:我們可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)(即“邊邊角"對(duì)應(yīng)相等)兩個(gè)三角形不一定全等【拓展思考】∵是鈍角三角形,∴一定是鈍角三角形【考點(diǎn)09全等三角形的綜合問題】1.(23-24八年級(jí)上·福建龍巖·期末)如圖,點(diǎn)分別在x軸,y軸的正半軸上.點(diǎn)在線段上,過A作分別交x軸,y軸于點(diǎn)B,C,點(diǎn)P為線段上任意一點(diǎn)(P不與A,E重合),連接,過E作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.有以下結(jié)論①,②,③,④,其中正確的結(jié)論是(

)A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③【答案】C【解析】解:如圖,作軸于,于,,∵,∴,∵,∴四邊形是矩形,∵,∴四邊形是正方形,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,,故①正確;同理可證,∴,∴,故③正確;∵,,,∴,∵,,∴,∴,故④正確;當(dāng)為定值時(shí),點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn),故,故②錯(cuò)誤;綜上所述,C.2.(23-24八年級(jí)上·北京豐臺(tái)·期中)已知:如圖,在長(zhǎng)方形(長(zhǎng)方形四個(gè)內(nèi)角均為直角,并且兩組對(duì)邊分別相等)中,,.延長(zhǎng)到點(diǎn),使,連接,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)?shù)闹禐槊霑r(shí),和全等.【答案】1或7【解析】解:根據(jù)題意,可知,,,分兩種情況討論,①當(dāng)時(shí),如下圖,

∵,,,∴,由題意得,解得(秒);②當(dāng)時(shí),如下圖,

∵,,,∴,由題意得,解得(秒).綜上所述,當(dāng)?shù)闹禐?或7秒時(shí),和全等.故答案為:1或7.2.(23-24八年級(jí)上·浙江衢州·期末)如圖,在中,,點(diǎn)在邊上,,分別是射線上的兩點(diǎn),且,,,.則的值是;若,的面積為,則的面積是.【答案】【解析】解:且由外角定理可得,又,∴∠CAF=∠BCE,在和中,.,,,,,的面積為,,,,∴的面積是故答案為:,.3.(23-24八年級(jí)上·廣東深圳·期末)如圖,點(diǎn)D,E分別在和上,,點(diǎn)F是上一點(diǎn),F(xiàn)E的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)若,求的度數(shù);(2)若點(diǎn)E是的中點(diǎn),與全等嗎?請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)不全等,理由見解析【解析】(1)解:∵,∴,又∵,∴;(2)解:不全等,理由如下:∵點(diǎn)E是的中點(diǎn),∴,∵,只確定了這兩個(gè)條件,無法證明全等.過關(guān)檢測(cè)一、單選題1.(23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期中)如圖,,且,E,F(xiàn)是上兩點(diǎn),,.若,,,則AD的長(zhǎng)為()A.9 B.8 C.11 D.10【答案】A【解析】解:,,,,,,,,,,.故選A.2.(23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期中)下列命題的逆命題是真命題的是()A.對(duì)頂角相等 B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊都相等C.全等三角形的周長(zhǎng)相等 D.全等三角形的對(duì)應(yīng)角都相等【答案】B【解析】解:由題意知,A的逆命題為:相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角,錯(cuò)誤,不是真命題,故不符合要求;B的逆命題為:對(duì)應(yīng)邊都相等的三角形是全等三角形,正確,是真命題,故符合要求;C的逆命題為:周長(zhǎng)都相等的三角形是全等三角形,錯(cuò)誤,不是真命題,故不符合要求;D的逆命題為:對(duì)應(yīng)角都相等的三角形是全等三角形,錯(cuò)誤,不是真命題,故不符合要求;故選:B.3.(23-24八年級(jí)上·安徽淮南·期中)根據(jù)下列條件,能畫出唯一的是(

)A.,, B.,,C.,, D.,,【答案】A【解析】解:A、,,,符合“”,所以根據(jù)條件能畫出唯一,故此選項(xiàng)符合題意;B、,,,根據(jù)兩邊及一邊對(duì)角不能判定兩三角形全等,即作出的三角形不唯一,故此選項(xiàng)不符合題意;C、,,,根據(jù)三角相等不能能判定兩三角形全等,即作出的三角形不唯一,故此選項(xiàng)不符合題意;D、,,,∵,∴不滿足三角形三邊的關(guān)系,即三邊不能構(gòu)成三角形,故此選項(xiàng)不符合題意;故選:A.4.(23-24八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中)如圖,已知,點(diǎn)F,B,E,C在同一條直線上,若,則的長(zhǎng)度為(

)A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】解:,,,,,,,故選:B.5.(22-23八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中)如圖,,則長(zhǎng)度為(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】在和中,,∴,∴,∴,∴,故選:.6.(24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中)如圖,在中,高與角平分線交于點(diǎn),作的平分線分別交,于點(diǎn),連接交于,若.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】解:如圖所示,延長(zhǎng)BM交于點(diǎn),∵,∴,∴,∵平分,CF平分,∴,∴,∴,故A選項(xiàng)正確,不符合題意;∵,,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴,∵,,∴,∵,∴,在和中,,∴,故B選項(xiàng)正確,不符合題意;∵,∴,在和中,,∴,∴,∴,根據(jù)已知條件無法判定,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;∵,∴,∴,又∵,∴,故D選項(xiàng)正確,不符合題意;故選:C.7.(24-25八年級(jí)上·四川瀘州·期中)如圖,的面積為,與的平分線垂直,垂足為,連接,則的面積為(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】解:如下圖,延長(zhǎng),交于點(diǎn),∵,∴,∵平分,∴,在和中,,∴,∴,,∴,∵的面積為,∴.故選:A.8.(24-25八年級(jí)上·四川廣元·期中)如圖,已知,點(diǎn)、分別在、上且,連接,,交于點(diǎn),連接,過點(diǎn)分別作,垂足分別為,下列結(jié)論:①;②;③平分;④若點(diǎn)是的中點(diǎn),則;⑤如果,則是的中點(diǎn);其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】D【解析】,,故①正確;,在和中平分故③正確;,在四邊形中又故②正確;延長(zhǎng)至N,使,連接,∵E是的中點(diǎn),∴在和中,由①可知:在中,故④正確;若則在中,和的高相等,∴為的中點(diǎn),故⑤正確;綜上正確的有:①②③④⑤,故選:D.二、填空題9.(24-25八年級(jí)上·安徽阜陽·期中)如圖,在四邊形中,,,,過點(diǎn)作,垂足為.若,,則的長(zhǎng)是.【答案】【解析】解∶,,,,,,,,;故答案為:.10.(23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期中)如圖,在中,,,M、N、K分別是,,AB上的點(diǎn),且,.則的度數(shù)為.【答案】【解析】解:在和中∵∴∴∵∴∴∴故答案為:.11.(23-24八年級(jí)上·安徽淮南·期中)如圖,在中,,,,為邊上的高,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),在直線上以每秒的速度移動(dòng),過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn).(1)若,則的度數(shù)為(用含的代數(shù)式表示);(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),.【答案】;5或2.【解析】解:(1)∵,∴,∵為邊上的高,∴,∴,∴,∵,∴,∵過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn),∴,∴;故答案為:(2)①如圖,當(dāng)點(diǎn)E在射線上移動(dòng)時(shí),

∵過點(diǎn)E作的垂線交直線于點(diǎn)F,∴,在和中,,∴,∴,∴,∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),在直線上以的速度移動(dòng),∴E移動(dòng)了:;②當(dāng)點(diǎn)在射線上移動(dòng)時(shí),作點(diǎn)作交直線于點(diǎn),,

∴,∵,∴,在和中,,∴,∴,∴,∵點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā),在直線上以的速度移動(dòng),∴移動(dòng)了:(s);綜上所述,當(dāng)點(diǎn)E在射線CB上移動(dòng)或時(shí),;故答案為:5或2.12.(23-24八年級(jí)上·安徽淮南·期中)已知,,,其中,點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著路徑運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q以每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,沿著路徑運(yùn)動(dòng),一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)隨即停止運(yùn)動(dòng),它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①若,則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程的2倍;②當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)時(shí),;③若,,時(shí),與垂直;④若與全等,則或.以上說法正確的有【答案】①②④【解析】解:①∵點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

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