2025高考數學一輪復習-第6章-第4節(jié) 數列中的構造問題【課件】

第六章數列第4節(jié)數列中的構造問題1.掌握求數列通項公式的方法：公式法、累加法、累乘法.2.會利用構造法轉化為特殊的數列（等差、等比數列或可利用累加、累乘求解的數列）求解通項公式.考點一形如an＋1＝pan＋f(n)型角度1

an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)例1

已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，求數列{an}的通項公式.解設an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，又an＋1＝3an＋4，根據對應項系數相等，解得t＝2，故an＋1＋2＝3(an＋2).所以{bn}是3為首項，3為公比的等比數列，所以bn＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2.感悟提升訓練1(1)已知數列{an}滿足an＋1＝2an＋n，a1＝2，則an＝_____________.2n＋1－n－1解析令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，與原等式比較得，x＝y(tǒng)＝1，所以數列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4為首項，2為公比的等比數列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.(2)(2024·河南名校聯考)若數列{an}滿足a1＝2，an＋1－2an＝3n－1，則數列{an}的通項公式an＝____________.2n－1＋3n－1考點二相鄰項的差為特殊數列(形如an＋1＝pan＋qan－1)型例4

已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，則數列{an}的通項公式an＝__________.解析法一因為an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，又因為b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是首項為3，公比為3的等比數列.所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，法二因為方程x2＝2x＋3的兩根為－1，3，可設an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，感悟提升可以化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個根，若1是方程的根，則直接構造數列{an－an－1}，若1不是方程的根，則需要構造兩個數列，采取消元的方法求數列{an}.訓練2

若x＝1是函數f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的極值點，數列{an}滿足a1＝1，a2＝3，則數列{an}的通項公式an＝________.3n－1解析f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴數列{an＋1－an}是首項為2，公比為3的等比數列，∴an＋1－an＝2×3n－1，則an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1感悟提升課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋1，則a4的值為(

)A.15 B.23 C.32 D.42B解析因為an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3為首項，2為公比的等比數列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，所以a4＝23.C3.已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，則a4等于(

)A.64 B.56 C.32 D.24C4.已知數列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則a9＋a10＝(

)A.47

B.48 C.49

D.410C解析由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，所以數列{an＋an＋1}是等比數列，公比為4，首項為4，所以a9＋a10＝49.Dlog3an＋1＝2log3an，則數列{log3an}是以log3a1＝1為首項，2為公比的等比數列，則log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝32n－1.6.設數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－2n＋1，則S10＝(

)A.211－23 B.210－19 C.3×210－23 D.3×29－19C解析當n＝1時，S1＝a1＝2a1－2＋1，解得a1＝1.當n≥2時，Sn－1＝2an－1－2n＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)，即an＝2an－1＋2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，a1＋2＝3，所以數列{an＋2}是首項為3，公比為2的等比數列，則an＋2＝3×2n－1，從而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.CCD10.(2024·四川名校聯考)已知數列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，則an＝________.2n－1解析由題知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，因為a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首項為2，公比為2的等比數列，所以an＋1－an＝2n，12.已知Sn是數列{an}的前n項和，an＋1－3an＋2an－1＝1，a1＝1，a2＝4，則數列{an}的通項公式an＝______________.2n＋1－n－2解析因為an＋1－3an＋2an－1＝1，所以an＋1－an＝2(an－an－1)＋1，因為a1＝1，a2＝4，所以a2－a1＋1＝4，故數列{an＋1－an＋1}是首項為4，公比為2的等比數列，所以an＋1－an＋1＝4·2n－1＝2n＋1，即an＋1－an＝2n＋1－1，所以當n≥2時，a2－a1＝22－1，a3－a2＝23－1，a4－a3＝24－1，…，an－an－1＝2n－1，因為a1＝1，所以an＝2n＋1－n－2，n≥2；又a1＝1符合上式，所以an＝2n＋1－n－2.ACD解析∵a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，顯然(a2＋2)2≠(a1＋2)(a3＋2)，∴{an＋2}不可能是等比數列，故D正確.14.(2024·武漢質檢)將一些數排成如圖所示的倒三角形，其中第一行各數依次為1，2，3，…，2025，從第二行起，每一個數都等于它“肩上”的兩個數之和，最后一行只有一個數M，則M等于(

)BA.2025×22022 B.2026×22023C.2025×22023 D.2026×22024解析記第n行的第一個數為an，則a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，∴an＝(n＋1)×2n－2，又每行比上一行的數字少1個，∴最后一行為第2025行，∴M＝a2025＝2026×22023.2025解析由題設，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1