高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】空間向量與立體幾何小結(jié)(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA015學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期一課題空間向量與立體幾何小結(jié)（1）教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學(xué)人員姓名單位授課教師于洪偉北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：梳理空間向量與立體幾何的知識(shí)和方法教學(xué)重點(diǎn)：梳理運(yùn)用空間向量研究立體幾何的過程教學(xué)難點(diǎn)：梳理運(yùn)用空間向量研究立體幾何的過程教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)梳理研究空間向量的過程梳理運(yùn)用空間向量研究立體幾何的思路問題1空間向量與平面向量有哪些共性和差異？共性：向量是具有大小和方向的量，既適用于平面，也適用于空間；差異：研究向量的維度不同，一個(gè)在平面上，一個(gè)在空間中.我們研究了空間向量的概念及其運(yùn)算，這里包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘等線性運(yùn)算，還有數(shù)量積運(yùn)算。追問1：我們?nèi)绾我肟臻g向量的運(yùn)算法則？類比平面向量，引入空間向量的運(yùn)算法則.追問2：如何將空間向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算？類比平面向量運(yùn)算坐標(biāo)化的過程.追問3：如何理解空間向量可以由三個(gè)不共面的向量唯一表示？1.一個(gè)非零向量可以唯一表示與其共線的任意一個(gè)向量，這由向量的數(shù)乘運(yùn)算給出解釋；2.兩個(gè)不共線向量可以唯一表示其所確定平面上內(nèi)的任意一個(gè)向量，這由向量的線性運(yùn)算給出解釋，也可以由平行四邊形法則給出幾何解釋。3.三個(gè)不共面向量可以唯一表示空間中任意一個(gè)向量，我們可以通過圖示理解，空間中不共面的向量a，b，c，對(duì)空間中任意非零向量p，討論一般情形。若p與a，b，c，均不共線，向量c與p所確定的平面α和a與b所確定的平面β交線唯一確定，記這條直線方向向量上的單位向量為e，則向量p由c和e唯一表示，記為p=mc+ne，而向量ne在平面β上，可由a，b唯一表示，記為ne=xa+yb，所以p=xa+yb+mc，這樣我們就得到了向量p由不共線的向量a，b，c的唯一表示。若p與其中兩個(gè)向量共面，就是平面向量的結(jié)論，第三個(gè)向量的系數(shù)為0.若p與某一個(gè)向量共線，則另外兩個(gè)向量的系數(shù)為0.所以對(duì)于任意一個(gè)向量p，系數(shù)x，y，m都是唯一確定的?？臻g向量就有三個(gè)不共面的向量唯一表示了。當(dāng)換成另一組三個(gè)不共面的向量時(shí)，系數(shù)x，y，m會(huì)改變，但表示仍然是唯一的。也就是說，任意一個(gè)空間向量對(duì)于給定的一組三個(gè)不共面向量，都可以找到唯一的一組系數(shù)表示。問題2有哪些運(yùn)用空間向量研究立體幾何的方法？一些簡(jiǎn)單的問題，可以由空間向量的幾何意義直接來研究立體幾何中的一些問題，相對(duì)復(fù)雜一些的問題，我們可以將代表空間圖形的向量用空間向量基底表示，通過基向量的運(yùn)算得到空間向量之間的運(yùn)算結(jié)果，這就是我們所說的向量法。由于向量有其坐標(biāo)表示，我們可也以用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來得到空間向量的運(yùn)算結(jié)果，這就是我們所說的坐標(biāo)法。問題3如何用空間向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面？問題4運(yùn)用空間向量研究立體幾何中的哪些問題？立體幾何中，我們研究的對(duì)象主要是點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系，其中我們重點(diǎn)研究了點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系和度量問題，位置關(guān)系包括平行和垂直，度量問題主要研究了角度和距離。平行關(guān)系包括直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行；垂直關(guān)系包括直線與直線垂直，直線與平面垂直，平面與平面垂直；追問1：如何利用直線的方向向量和平面的法向量刻畫空間中直線、平面的平行和垂直關(guān)系？我們記直線的方向向量為u1，u2，u，平面的法向量為n1，n2，n，直線與直線平行可以表示為直線方向向量平行，也就是數(shù)乘運(yùn)算u1直線與平面平行可以表示為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也就是數(shù)量積運(yùn)算u?n=0平面與平面平行可以表示為平面的法向量平行，也就是數(shù)乘運(yùn)算n1直線與直線垂直可以表示為直線的方向向量垂直，也就是數(shù)量積運(yùn)算u1直線與平面垂直可以表示為直線的方向向量與平面的法向量平行，也就是數(shù)乘運(yùn)算u=λ平面與平面垂直可以表示為平面的法向量垂直，也就是數(shù)量積運(yùn)算n1同樣，這些直線的方向向量和平面的法向量之間的運(yùn)算反過來也可以確定直線、平面的平行、垂直關(guān)系，這樣我們就用空間向量的平行和垂直刻畫了立體幾何中的直線、平面的垂直、平行等位置關(guān)系。追問2：如何用直線的方向向量或平面的法向量求直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角？因?yàn)榭臻g向量之間的夾角可以用數(shù)量積來計(jì)算，通過得到的夾角的余弦求得，所以我們盡可能通過求向量夾角的余弦值獲得直線、平面的夾角。直線與直線的夾角可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量的夾角，但由于直線與直線所成的角與向量夾角的范圍不同，取值在0度到90度，其余弦值不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以直線與直線所成角的余弦值就等于其方向向量夾角余弦值的絕對(duì)值；直線與平面所成的角可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角，注意到這兩個(gè)角相差90度或者互余，而且直線與平面所成角的范圍是0度到90度，所以我們用直線的方向向量與平面法向量求出夾角的余弦值的絕對(duì)值，正好等于直線與平面所成角的正弦值；平面與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面法向量的夾角，二者相等或者互補(bǔ)，所以平面與平面夾角的余弦值等于對(duì)應(yīng)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值；這樣，我們用空間向量夾角的余弦值，分別給出了直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角的求法。追問3：如何用直線的方向向量或平面的法向量求點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、平行直線、直線到平面、平行平面間的距離？我們先來看看點(diǎn)到直線的距離和平行直線間距離，會(huì)發(fā)現(xiàn)求平行線間距離本質(zhì)就是求其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的距離，這樣就可以把平行直線間距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離來求。而點(diǎn)到直線的距離可以用投影向量的方法構(gòu)造直角三角形來求解。類似地，與平面平行的直線到平面的距離、平行平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來求解，而點(diǎn)到平面的距離可以用這點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量在平面法向量上的投影向量來計(jì)算。這樣，我們通過投影向量解決了立體幾何中的距離問題?？偨Y(jié)一下，我們研究了空間向量的平行、垂直、夾角和投影，對(duì)應(yīng)解決了立體幾何的位置關(guān)系和度量中的夾角和距離問題。追問4：總結(jié)一下，我們?nèi)绾芜\(yùn)用空間向量研究立體幾何問題？立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們研究了平行，垂直位置關(guān)系和角度、距離等度量問題，在空間向量的學(xué)習(xí)中，我們研究了空間向量的平行、垂直、夾角和投影，我們運(yùn)用空間向量的垂直和平行刻畫了立體幾何中的垂直、平行的位置關(guān)系。通過計(jì)算空間向量的夾角解決立體幾何中的角度問題，運(yùn)用空間向量的投影以及數(shù)量積等運(yùn)算解決立體幾何中的距離問題。這樣，我們就完成了運(yùn)用空間向量研究立體幾何的問題。最后，我們做一下總結(jié)，提煉一下運(yùn)用空間向量研究立體幾何的策略。首先，我們將立體幾何問題向量化，用空間向量來表示立體幾何中的點(diǎn)、直線、平面。然后選取合適的基底，對(duì)空間向量做線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，得到關(guān)于空間向量的運(yùn)算結(jié)果，最后將空間向量的運(yùn)算結(jié)果幾何化，解釋立