24.2.2第3課時(shí)　切線長(zhǎng)定理和三角形的內(nèi)切圓教案2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

24.2.2第3課時(shí)切線長(zhǎng)定理和三角形的內(nèi)切圓1.會(huì)作三角形的內(nèi)切圓，理解三角形內(nèi)心的含義和性質(zhì).2.掌握切線長(zhǎng)的定義及切線長(zhǎng)定理.（重點(diǎn)）3.能用切線長(zhǎng)定理和三角形內(nèi)心的性質(zhì)來(lái)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.（難點(diǎn)）一、新課導(dǎo)入1.切線的判定定理是什么？經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2.切線的性質(zhì)定理是什么？圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.二、新知探究（一）切線長(zhǎng)定理【思考】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過(guò)圓上一點(diǎn)作已知圓的切線，如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？過(guò)圓外的一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念：①切線是直線，不能度量；②切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.【思考】如圖，PA，PB是☉O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.在半透明的紙上畫(huà)出這個(gè)圖形，沿著直線PO將圖形對(duì)折，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.幾何語(yǔ)言表示：∵PA，PB分別切☉O于點(diǎn)A，B，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.【思考】如圖PA，PB是☉O的兩條切線，A，B為切點(diǎn).求證：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.證明：連接OA和OB.∵PA是☉O的切線，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.又OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.【歸納總結(jié)】我們學(xué)過(guò)的切線，常有以下性質(zhì)：1.切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；2.切線和圓心的距離等于圓的半徑；3.切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；4.經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；5.經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心；6.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.三、新知應(yīng)用例1PA，PB是☉O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，直線OP交☉O于點(diǎn)D，E，交AB于點(diǎn)C.（1）寫(xiě)出圖中所有的垂直關(guān)系.解：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（2）寫(xiě)出圖中與∠OAC相等的角.解：∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC.（3）寫(xiě)出圖中所有的全等三角形.解：△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形.解：△ABP，△AOB.（二）三角形的內(nèi)切圓【思考】如圖，是一塊三角形的鐵皮，如何在它上面裁下一塊圓形的用料，并且使裁下的圓與三角形的三條邊相切？【交流討論】如何求作一個(gè)圓，使它與已知三角形的三邊都相切？（1）如果半徑為r的☉I與三角形的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.（2）在三角形的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).【自主學(xué)習(xí)】已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.作法：（1）作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為O；（2）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D；（3）以O(shè)為圓心，OD為半徑作☉O.☉O就是所求的圓.【歸納總結(jié)】1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.如圖：☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.名稱(chēng)確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)1.OA＝OB＝OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部?jī)?nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等2.內(nèi)心在三角形內(nèi)部例2△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的長(zhǎng).解：設(shè)AF＝x，則AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得（13－x）＋（9－x）＝14.解得x＝4.∴AF＝4，BD＝5，CE＝9.四、課堂小結(jié)切線長(zhǎng)定理定理三角形的內(nèi)切圓定義五、課堂訓(xùn)練1.如圖，PA，PB是☉O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，如果AP＝4，∠APB＝40°，則∠APO＝20°，PB＝4.2.如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，且∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，則∠BOC＝110°.3.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長(zhǎng)為C，求△ABC的面積S.解：如圖，記△ABC的內(nèi)心為O，連接OA，