極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則1.定理18(數(shù)列極限夾逼準(zhǔn)則)如果數(shù)列{xn}，{yn}及{zn}滿足下列條件：(1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3,…)；

一、極限存在準(zhǔn)則證因yn→a，zn→a，故對(duì)于ε>0，正整數(shù)N1與N2，當(dāng)n>N1時(shí)恒有yn－a<ε，當(dāng)n>N2時(shí)，恒有zn－a<ε.取N=max{N1,N2}，則當(dāng)n>N時(shí)，有yn－a<ε，zn－a<ε,

即a－ε<yn<a+ε，a－ε<zn<a+ε,

從而，當(dāng)n>N時(shí)，恒有a－ε<yn≤xn≤zn<a+ε,

即xn－a<ε，所以limn→∞

xn=a.

一、極限存在準(zhǔn)則利用定理18求極限，關(guān)鍵是構(gòu)造出極限相同且易求的兩個(gè)數(shù)列yn與zn.注一、極限存在準(zhǔn)則【例29】一、極限存在準(zhǔn)則上述關(guān)于數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)極限的情形.一、極限存在準(zhǔn)則定理19(函數(shù)極限夾逼準(zhǔn)則)如果(1)當(dāng)0<x－x0<δ(或x>M)時(shí),有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)；一、極限存在準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則2.定義13若數(shù)列{xn}滿足條件x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…，則稱(chēng)數(shù)列{xn}是單調(diào)增加的；若數(shù)列{xn}滿足條件x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…，則稱(chēng)數(shù)列{xn}是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列.一、極限存在準(zhǔn)則定理20(單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

設(shè)數(shù)列{xn}單調(diào)增加，且xn≤M.從圖2-9可以看出，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)增加又不能大于M，故該數(shù)列某項(xiàng)以后的所有項(xiàng)必然集中在某數(shù)a(a≤M)的附近，即對(duì)ε>0，必然存在正整數(shù)N與數(shù)a，使當(dāng)n>N時(shí)，恒有xn－a<ε，從而數(shù)列{xn}的極限存在.

圖2-9一、極限存在準(zhǔn)則在第一節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列必定有界.但也指出有界的數(shù)列不一定收斂.而定理20表明，若一數(shù)列不僅有界，而且單調(diào)，則該數(shù)列一定收斂.值得注意的是，定理20中給出的單調(diào)有界的條件是數(shù)列收斂的充分條件，而不是必要條件.一、極限存在準(zhǔn)則【例30】一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個(gè)重要極限數(shù)學(xué)中常常會(huì)對(duì)一些重要且有典型意義的問(wèn)題進(jìn)行研究并加以總結(jié)，以期通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的解決帶動(dòng)一類(lèi)相關(guān)問(wèn)題的解決，下面介紹的重要極限就體現(xiàn)了這樣的一種思路，利用它們并通過(guò)函數(shù)的恒等變形與極限的運(yùn)算法則就可以使得兩類(lèi)常用極限的計(jì)算問(wèn)題得到解決.

二、兩個(gè)重要極限1.證在圖2-10所示的單位圓中,設(shè)∠AOB=x,先假設(shè)0<x<,點(diǎn)A處的切線與OB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，又BC⊥OA，故

sinx=CB,x=AB,

tanx=AD.圖2-10二、兩個(gè)重要極限易見(jiàn)，三角形AOB的面積<扇形AOB的面積<三角形AOD的面積，所以二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限【例31】二、兩個(gè)重要極限【例32】【例33】二、兩個(gè)重要極限2.證先考慮x取正整數(shù)n而趨于+∞的情形.二、兩個(gè)重要極限同樣的，二、兩個(gè)重要極限比較xn與xn+1的展開(kāi)式的各項(xiàng)可知，除前兩項(xiàng)相等外，從第三項(xiàng)起，xn+1的各項(xiàng)都大于xn的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，而且xn+1還多了最后一個(gè)正項(xiàng)，因而xn+1>xn,即{xn}為單調(diào)增加數(shù)列.因?yàn)槎?、兩個(gè)重要極限故xn有上界.根據(jù)定理20，limn→∞

xn存在，常用字母e表示該極限值，即下面考慮x取任意正實(shí)數(shù)而趨于+∞的情形.二、兩個(gè)重要極限對(duì)于任何正實(shí)數(shù)x，總可找到正整數(shù)n，使得n≤x<n+1，當(dāng)x→+∞時(shí)，有n→∞，因?yàn)槎蓚€(gè)重要極限所以，由定理18得二、兩個(gè)重要極限利用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，若令y=1x，則第二個(gè)重要極限變?yōu)樽⒍?、兩個(gè)重要極限【例34】【例35】三、柯西極限存在準(zhǔn)則定理21(柯西極限存在準(zhǔn)則)數(shù)列{xn}收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m>N，n>N時(shí)，恒有xm－xn<ε.

證必要性.設(shè)limn→∞

xn=a，則對(duì)于ε>0，由數(shù)列極限的