全微分教學課件

全微分全微分在第二章我們已經(jīng)學習了一元函數(shù)y=f(x)微分的概念，現(xiàn)在用類似的思想和方法，通過多元函數(shù)的全增量，把一元函數(shù)微分的概念推廣到多元函數(shù).在研究多元函數(shù)的偏導數(shù)時，只是某一個自變量變化，而其他的自變量視為常量，但在實際問題中，往往是幾個自變量同時在變動，下面我們就來研究多元函數(shù)各個自變量同時變化時函數(shù)的變化情形.以二元函數(shù)為例，為此，我們引入二元函數(shù)全微分的概念.一、全微分的概念

一般來說，計算函數(shù)的全增量是比較麻煩和復雜的，能否找到一個計算簡單且準確度較高的近似表達式呢？請看二元函數(shù)的全微分概念.一、全微分的概念定義9設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域有定義，如果函數(shù)在(x0,y0)處的全增量Δz可以表示成

Δz=AΔx+BΔy+α，(8-12)

其中A,B與Δx,Δy無關(guān)僅與x0,y0有關(guān)，α是ρ=(Δx)2+(Δy)2的高階無窮小，即

則稱AΔx+BΔy為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處的全微分，記為dz，即

dz=AΔx+BΔy，(8-13)

這時也稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微.一、全微分的概念如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)都可微，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)是可微的.在第二章的學習中，我們知道了一元函數(shù)連續(xù)、可導與可微三者之間的關(guān)系，那么，對于二元函數(shù)連續(xù)、可導與可微三者之間的關(guān)系又如何呢？在第二節(jié)我們知道了函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處偏導數(shù)存在，不能保證函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù)，若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微能否保證函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù)且偏導數(shù)存在呢？一、全微分的概念定理6如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微，則函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).證由函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微，可得即函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).一、全微分的概念定理6也告訴我們，如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處不連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處一定不可微.連續(xù)是可微的必要條件.上面討論了可微與連續(xù)的關(guān)系，下面來分析二元函數(shù)可微與偏導數(shù)存在的關(guān)系.如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微，如何求A，B呢？一、全微分的概念定理7一、全微分的概念上面兩式的右端我們分別稱其為二元函數(shù)z=f(x,y)對x和對y的偏微分.(8-15)(8-14)一、全微分的概念定理8(可微的充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處的偏導數(shù)

連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微.證明略.常見的二元函數(shù)一般都滿足定理3的條件，從而它們都是可微函數(shù).二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到三元及其以上的函數(shù).例如，設(shè)三元函數(shù)u=f(x,y,z)，如果三個偏導數(shù)

都連續(xù)，則它可微且其全微分為(8-16)一、全微分的概念【例31】二、全微分形式的不變性設(shè)函數(shù)z=f(u,v)具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有全微分如果u,v又是x,y的函數(shù)u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，且兩個函數(shù)也具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則復合函數(shù)

z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］的全微分為二、全微分形式的不變性又因為由此可見，無論u,v是自變量還是中間變量，全微分形式都是一樣的.這個性質(zhì)就是全微分形式的不變性.利用全微分形式的不變性可以降低復合函數(shù)求導的難度，在第十章學習微分方程知識時還要用到.二、全微分形式的不變性【例32】三、全微分在近似計算中的應用與一元函數(shù)類似，當ρ→0時，二元函數(shù)z=f(x,y)的全增量與全微分之差是ρ的高階無窮小.由二元函數(shù)z=f(x,y)的全微分定義和全微分存在的充分條件可知，當二元函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的兩個偏導數(shù)f′x(x,y),f′y(x,y)連續(xù)，并且|Δx|和|Δy|都較小時，就有如下的近似計算公式Δz≈dz=f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy.(8-17)如果所考慮的是點(x0,y0)，則有Δz≈f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy，(8-18)

這是求全增量的近似表達式.三、全微分在近似計算中的應用式(8-18)也可以寫成

f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy.(8-19)令x=x0+Δx,y=y0+Δy，得函數(shù)值的近似公式

f(x,y)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)(x－x0)+f′y(x0,y0)(y－y0).(8-20)利用式(8-18)和式(8-20)可以對二元函數(shù)做近似計算和誤差估計.三、全微分在近似計算中的應用【例33】