




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
全微分全微分在第二章我們已經(jīng)學習了一元函數(shù)y=f(x)微分的概念,現(xiàn)在用類似的思想和方法,通過多元函數(shù)的全增量,把一元函數(shù)微分的概念推廣到多元函數(shù).在研究多元函數(shù)的偏導數(shù)時,只是某一個自變量變化,而其他的自變量視為常量,但在實際問題中,往往是幾個自變量同時在變動,下面我們就來研究多元函數(shù)各個自變量同時變化時函數(shù)的變化情形.以二元函數(shù)為例,為此,我們引入二元函數(shù)全微分的概念.一、全微分的概念
一般來說,計算函數(shù)的全增量是比較麻煩和復雜的,能否找到一個計算簡單且準確度較高的近似表達式呢?請看二元函數(shù)的全微分概念.一、全微分的概念定義9設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域有定義,如果函數(shù)在(x0,y0)處的全增量Δz可以表示成
Δz=AΔx+BΔy+α,(8-12)
其中A,B與Δx,Δy無關(guān)僅與x0,y0有關(guān),α是ρ=(Δx)2+(Δy)2的高階無窮小,即
則稱AΔx+BΔy為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處的全微分,記為dz,即
dz=AΔx+BΔy,(8-13)
這時也稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微.一、全微分的概念如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)都可微,則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)是可微的.在第二章的學習中,我們知道了一元函數(shù)連續(xù)、可導與可微三者之間的關(guān)系,那么,對于二元函數(shù)連續(xù)、可導與可微三者之間的關(guān)系又如何呢?在第二節(jié)我們知道了函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處偏導數(shù)存在,不能保證函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù),若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微能否保證函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù)且偏導數(shù)存在呢?一、全微分的概念定理6如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微,則函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).證由函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微,可得即函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).一、全微分的概念定理6也告訴我們,如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處不連續(xù),則函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處一定不可微.連續(xù)是可微的必要條件.上面討論了可微與連續(xù)的關(guān)系,下面來分析二元函數(shù)可微與偏導數(shù)存在的關(guān)系.如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微,如何求A,B呢?一、全微分的概念定理7一、全微分的概念上面兩式的右端我們分別稱其為二元函數(shù)z=f(x,y)對x和對y的偏微分.(8-15)(8-14)一、全微分的概念定理8(可微的充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處的偏導數(shù)
連續(xù),則函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微.證明略.常見的二元函數(shù)一般都滿足定理3的條件,從而它們都是可微函數(shù).二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到三元及其以上的函數(shù).例如,設(shè)三元函數(shù)u=f(x,y,z),如果三個偏導數(shù)
都連續(xù),則它可微且其全微分為(8-16)一、全微分的概念【例31】二、全微分形式的不變性設(shè)函數(shù)z=f(u,v)具有連續(xù)的一階偏導數(shù),則有全微分如果u,v又是x,y的函數(shù)u=φ(x,y),v=ψ(x,y),且兩個函數(shù)也具有連續(xù)的一階偏導數(shù),則復合函數(shù)
z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]的全微分為二、全微分形式的不變性又因為由此可見,無論u,v是自變量還是中間變量,全微分形式都是一樣的.這個性質(zhì)就是全微分形式的不變性.利用全微分形式的不變性可以降低復合函數(shù)求導的難度,在第十章學習微分方程知識時還要用到.二、全微分形式的不變性【例32】三、全微分在近似計算中的應用與一元函數(shù)類似,當ρ→0時,二元函數(shù)z=f(x,y)的全增量與全微分之差是ρ的高階無窮小.由二元函數(shù)z=f(x,y)的全微分定義和全微分存在的充分條件可知,當二元函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的兩個偏導數(shù)f′x(x,y),f′y(x,y)連續(xù),并且|Δx|和|Δy|都較小時,就有如下的近似計算公式Δz≈dz=f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy.(8-17)如果所考慮的是點(x0,y0),則有Δz≈f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy,(8-18)
這是求全增量的近似表達式.三、全微分在近似計算中的應用式(8-18)也可以寫成
f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy.(8-19)令x=x0+Δx,y=y0+Δy,得函數(shù)值的近似公式
f(x,y)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)(x-x0)+f′y(x0,y0)(y-y0).(8-20)利用式(8-18)和式(8-20)可以對二元函數(shù)做近似計算和誤差估計.三、全微分在近似計算中的應用【例33】
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年中外合資股權(quán)轉(zhuǎn)讓合同范本(合同樣本)
- 2025的房屋買賣合同范本模板
- 2024年圖書管理員考試內(nèi)涵與外延試題及答案
- 2024年投資咨詢工程師真題試題與實際答案
- 消費者行為學的相關(guān)問題試題及答案
- 人力資源管理師考試復習指南試題及答案
- 商務禮儀師未來的機遇試題及答案
- 培養(yǎng)良好的備考習慣:2024年育嬰師考試試題及答案
- 2025年企業(yè)住房公積金貸款合同新版本
- 2024年倉儲管理的市場調(diào)研試題及答案
- 信息科技課評分標準
- 《界面設(shè)計》考試復習題庫及答案(匯總版)
- 十字相乘法分解因式課件
- 語文小初銜接課堂策略研究報告
- 護理品管圈QCC之提高手術(shù)物品清點規(guī)范執(zhí)行率課件
- 電路檢查記錄表
- 設(shè)計交底記錄表
- 220kV花街輸變電工程環(huán)評報告
- 北師大版高中數(shù)學必修第一冊《頻率與概率》說課稿
- 火力發(fā)電工程建設(shè)預算編制與計算標準
- (完整版)離婚協(xié)議書標準版下載
評論
0/150
提交評論