狹義相對(duì)論動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

狹義相對(duì)論動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)我們知道，牛頓力學(xué)定律的形式在伽利略變換下是保持不變的.在牛頓力學(xué)中，質(zhì)量是被認(rèn)為不變的物理量，則根據(jù)牛頓第二定律，給一個(gè)質(zhì)量不大的粒子施加一個(gè)較大的作用力時(shí)，在不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)粒子就可以超過光速.事實(shí)上這是不可能的，是與狹義相對(duì)論的基本原理相違背的.狹義相對(duì)論的基本原理可以總結(jié)為：在所有慣性系中，物理定律都應(yīng)該是洛倫茲協(xié)變的.也就是說，所有物理定律在洛倫茲變換下都應(yīng)保持相同的形式，為保證洛倫茲協(xié)變性，必須對(duì)牛頓力學(xué)定律做一些修正.下面就通過分析動(dòng)量守恒定律滿足洛倫茲協(xié)變性所需要的條件，即質(zhì)量-速度關(guān)系，來得到牛頓力學(xué)的修正——狹義相對(duì)論力學(xué).動(dòng)量守恒定律的洛倫茲變換質(zhì)量-速度關(guān)系一、動(dòng)量守恒定律是力學(xué)中最重要的定律之一，其內(nèi)容為：當(dāng)系統(tǒng)所受到的合外力為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒.下面是一種特例.如圖14-9所示，以地面為參考系S，在光滑平面上有兩個(gè)完全相同的小球A和B，小球A以速度v與靜止在平面上的小球B發(fā)生碰撞后，粘在一起并以速度u運(yùn)動(dòng).若按照經(jīng)典力學(xué)“質(zhì)量是不變的”，設(shè)兩小球質(zhì)量為mA=mB=m，令M=mA+mB，則此過程動(dòng)量守恒，即mv=Mu(14-13)圖14-9小球在S系和S′系中的碰撞設(shè)在相對(duì)地面速度為v的參考系S′中，小球A和B的速度分別為v′A和v′B，碰撞后的速度為u′.顯然式(14-13)在洛倫茲速度變換下不能保證在參考系S′中的動(dòng)量守恒關(guān)系，即mv′A+mv′B=Mu′(14-14)因此，為保證動(dòng)量守恒定律的洛倫茲協(xié)變性，必須放棄“質(zhì)量是每個(gè)物體固有的恒量”這一概念.質(zhì)量是一個(gè)相對(duì)量，在不同的參考系中測(cè)量質(zhì)量所得數(shù)值是不同的.或者說，在同一個(gè)確定的參考系中測(cè)量，物體的質(zhì)量將因其運(yùn)動(dòng)速度不同而有不同的數(shù)值.一個(gè)物體相對(duì)于一個(gè)確定參考系的質(zhì)量，只能與該運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)于此參考系的速度的大小有關(guān)而與速度的方向無關(guān).也就是說，某個(gè)參考系中物體的質(zhì)量m是該物體在此參考系中速率v的函數(shù)m(v).因此，在參考系S和參考系S′中的動(dòng)量守恒關(guān)系式應(yīng)寫為m(v)v=M(u)u(14-15)mv′Av′A+mv′Bv′B=Mu′u′(14-16)由洛倫茲速度變換式（14-8），可得如圖14-9所示，考慮到參考系S和參考系S′中碰撞過程的對(duì)稱性，則u′=-u，代入上式可得(14-17)另外，還需要得到碰撞前后的質(zhì)量關(guān)系.為此取一個(gè)相對(duì)地面速度大小為v0，方向沿y軸的參考系S，如圖14-10所示，則在S″系中，小球A和B的速度分量為(v″Ax,v″Ay)和(v″Bx,v″By)，碰撞后的速度分量為(u″x,u″y).在S系中，小球A和B的速度分量為(v,0)和(0,0)，碰撞后的速度分量為(u,0).利用洛倫茲速度變換公式圖14-10小球在S″系中的碰撞可得在S″系中，A球的速度為則速率為則速率為v″B=v0

碰撞速度為在S″系中利用y方向的動(dòng)量守恒可得M(v″A)v″Ay+m(v″B)v″By=M(u″)u″y即當(dāng)v0=0時(shí)，可得關(guān)系式mv+m0=Mu(14-18)此式也可以稱為質(zhì)量守恒定律.將式(14-18)代入式(14-15)中，可得將式（14-17）代入上式推導(dǎo)，可得于是得到了質(zhì)量-速度關(guān)系，此式即為狹義相對(duì)論力學(xué)對(duì)質(zhì)量的修正.其中，m(0)=m0稱為物體的靜質(zhì)量，即物體在相對(duì)靜止的參考系中測(cè)得的質(zhì)量.m(v)為以速度v運(yùn)動(dòng)的物體的質(zhì)量，記為m，稱為動(dòng)質(zhì)量.可以看出，物體速度越大，質(zhì)量就越大；速度趨于光速時(shí)，對(duì)于靜質(zhì)量不為零的物體，質(zhì)量將趨于無限大，這表明相對(duì)論給出了任何物體的速度都不可能達(dá)到光速.在低速近似下，動(dòng)質(zhì)量和靜質(zhì)量將會(huì)相等，即為牛頓力學(xué)中的質(zhì)量.質(zhì)量-速度關(guān)系是動(dòng)量守恒定律滿足洛倫茲協(xié)變性的條件，對(duì)質(zhì)量進(jìn)行修正后，牛頓力學(xué)自然推廣為狹義相對(duì)論力學(xué).按照定義，速度為v的物體，其相對(duì)論動(dòng)量為相對(duì)論中的質(zhì)量-能量關(guān)系二、

將經(jīng)典力學(xué)中的動(dòng)能定理推廣到狹義相對(duì)論力學(xué)，便可得到相對(duì)論動(dòng)能表達(dá)式，進(jìn)而得到相對(duì)論中的質(zhì)量-能量關(guān)系.相對(duì)論動(dòng)能1.設(shè)有一靜止質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)在外力F的作用下從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有式(14-22)即為相對(duì)論中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的表達(dá)式.在低速近似（v《c）下，它可以由泰勒公式展開并保留一階小量，可得上式就是經(jīng)典力學(xué)中的動(dòng)能表達(dá)式.質(zhì)量-能量關(guān)系2.將質(zhì)量-速度關(guān)系式，即式(14-19)代入相對(duì)論動(dòng)能表達(dá)式(14-22)中，可得Ek=mc2-m0c2可改寫為mc2=Ek+m0c2(14-23)愛因斯坦將m0c2稱為物體所具有的靜止能量，將mc2稱為物體的總能量.可以看出，物體的總能量由兩部分組成：第一部分是靜能m0c2，它代表物體運(yùn)動(dòng)速度為零時(shí)的能量，它是物體的總內(nèi)能，包括物體內(nèi)分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能、分子間相互作用勢(shì)能、原子內(nèi)使原子核和電子結(jié)合的電磁能，以及原子核內(nèi)質(zhì)子、中子間的結(jié)合能等.因?yàn)閏2的值非常大，所以即使靜質(zhì)量m0很小的物體，在靜止時(shí)，其內(nèi)部也蘊(yùn)藏著很大的能量；第二部分是物體的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，它是與參考系的選取相關(guān)的，同一物體在不同參考系中將會(huì)有不同的動(dòng)能.若用E表示物體的總能量，則(14-24)這就是狹義相對(duì)論的質(zhì)量-能量關(guān)系式.將質(zhì)量守恒定律式(14-18)的兩邊同乘以c2，可得mvc2+m0c2=Muc2(14-25)式(14-25)表示在碰撞前兩小球的總能量等于碰撞后物體的總能量，即能量守恒，很顯然此式是滿足洛倫茲協(xié)變性的.由此可以看出質(zhì)量和能量的等效性，“質(zhì)量就是內(nèi)斂的能量，能量就是外顯的質(zhì)量”.粒子物理和核物理的無數(shù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)都證明了質(zhì)量-能量關(guān)系的正確性.質(zhì)量-能量關(guān)系是狹義相對(duì)論最重要的結(jié)論之一.它是原子彈、氫彈及各種原子能應(yīng)用的理論依據(jù).當(dāng)核子（質(zhì)子和中子）結(jié)合為原子核時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得核的質(zhì)量略小于核子質(zhì)量之和，這一差額稱為原子核的質(zhì)量