第二章電路的暫態(tài)分析

第2章電路的暫態(tài)分析第2章目錄2.1暫態(tài)分析的基本概念2.3RC電路的暫態(tài)分析2.2儲能元件和換路定律2.4RL電路的暫態(tài)分析2.5一階電路暫態(tài)分析的三要素法2.1暫態(tài)分析的基本概念穩(wěn)定狀態(tài)（穩(wěn)態(tài)）電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)一定時，電路中電壓、電流不變，電路的這種工作狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)。換路引起電路工作狀態(tài)變化的各種因素。如：電路接通、斷開或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化等。暫態(tài)電路從一個穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個穩(wěn)定狀態(tài)有一個過渡過程，這個過渡過程所處的狀態(tài)稱為過渡狀態(tài)，簡稱暫態(tài)。第2章2

1

產(chǎn)生過渡過程的電路及原因?無過渡過程I

電阻電路t=0UR+_IK電阻是耗能元件，其上電流隨電壓比例變化，不存在過渡過程。Ut

電容為儲能元件，它儲存的能量為電場能量，其大小為：R-C電路

因?yàn)槟芰康拇鎯歪尫判枰粋€過程，所以有電容的電路存在過渡過程。UKR+_CuCR-L電路

電感為儲能元件，它儲存的能量為磁場能量，其大小為：

因?yàn)槟芰康拇鎯歪尫判枰粋€過程，所以有電感的電路存在過渡過程。KRU+_t=0iLtiuCqqC=qu（伏）V庫侖（C）法拉（F）若電路的某一部分只具有儲存電場能量的性質(zhì)時，稱它為理想電容元件。若C為大于零的常數(shù),則稱為線性電容。第2章2

2電容器的電容與極板的尺寸及其間介質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)。C=

SdS—極板面積(m2)d—板間距離(m)

—介電常數(shù)(F/m)符號C(一)電容2.2儲能元件和換路定律iC=qu=Cdtdup=ui=CudtduWc=12Cu2uCi=dtdq瞬時功率電壓電流關(guān)系P>0，C把電能轉(zhuǎn)換為電場能，吸收功率。P<0，C把電場能轉(zhuǎn)換為電能，放出功率。儲存的電場能在直流穩(wěn)態(tài)時，I=0電容隔直流。C為儲能元件第2章2

2∫–

1C

idt=

u=

t∫–

1C

idt+0∫01C

idtt=u0

+01C

idtt∫+–(一)電容電容串聯(lián)C2C

C1=+等效電容第2章2

2(一)電容uC1+–C2u1u2+––+電壓分配關(guān)系電容并聯(lián)uC1+–C2等效電容u1=C1C2+uC2u2=C1C2+uC1=C

1C11+C11e

d

dt|e|=若感應(yīng)電動勢的參考方向與磁通的參考方向符合右螺旋定則，則d

dte=當(dāng)通過線圈的磁通發(fā)生變化時，線圈中要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，其大小等于磁通的變化率，即：單位：e—伏(V)

t—秒(S)

—韋伯(Wb)當(dāng)

的正值增加，即d

dt>0，e為負(fù)值，即其實(shí)際方向與參考方向相反。當(dāng)

的正值減小，即d

dt<0，e為正值，即其實(shí)際方向與參考方向相同。第2章2

2(二)電感i

=N=L

iL=i

（安）A韋伯（Wb）亨利（H）若電路的某一部分只具有儲存磁場能量的性質(zhì)稱它為理想電感元件。若L為大于零的常數(shù)則稱為線性電感N電感磁鏈第2章2

2+–u

線圈的電感與線圈的尺寸匝數(shù)及介質(zhì)的導(dǎo)磁性能等有關(guān)。一密繞的長線圈L=SN2lS—橫截面積(m2)l—長度(m)N—匝數(shù)(Wb)

—磁導(dǎo)率(H/m)符號L(二)電感p=ui=LidtdiWL=12Li2e=dtd

u=Ldtdi=Ldtdi瞬時功率電壓電流關(guān)系P>0，L把電能轉(zhuǎn)換為磁場能，吸收功率。P<0，L把磁場能轉(zhuǎn)換為電能，放出功率。儲存的磁場能在直流穩(wěn)態(tài)時，電感相當(dāng)于短路。L為儲能元件第2章2

2

=L

iu+e=0∫–

1L

udt=

i=

t∫–

1L

udt+0∫01L

udtt=i0

+01L

udtt∫iu+–e+–L(二)電感無互感存在時等效電感為串聯(lián)第2章2

2(二)電感L1L2L2L1并聯(lián)L2L

L1=+=L

1L11+L11

電路產(chǎn)生暫態(tài)過程的原因:iL(0+)=iL(0-)uC(0+)=uC(0-)電路中含有儲能元件(電感或電容)，在換路瞬間儲能元件的能量不能躍變，即在換路瞬間電感的電流iL和電容的電壓uC不能躍變。換路定律:第2章2

2(三)換路定律

設(shè)

t=0為換路瞬間，而以t=0–表示換路前的終了瞬間，t=0+表示換路后的初始瞬間。則換路定律用公式表示為：電感元件的儲能WL=12L

iL2不能躍變WC=12C

uC2電容元件的儲能不能躍變

換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變的原因解釋如下：

自然界物體所具有的能量不能突變，能量的積累或釋放需要一定的時間。所以*電感L儲存的磁場能量不能突變不能突變不能突變不能突變電容C存儲的電場能量第2章2

2*若發(fā)生突變，不可能！一般電路則所以電容電壓不能突變從電路關(guān)系分析KRU+_CiuCK

閉合后，列回路電壓方程：第2章2

2暫態(tài)過程初始值的確定的步驟:(1)作出t=0-的等效電路,在t=0-的等效電路中,求出iL(0-)和uC(0-)。第2章2

20短路U00斷路I0(2)作出t=0+的等效電路U0+–I0uct=0–

t=0+iL+–（3）在t=0+的等效電路中，求出待求電壓和電流的初始值。暫態(tài)過程在直流激勵下穩(wěn)態(tài)值的確定t=

時電容相當(dāng)于斷路,電感相當(dāng)于短路。換路前，如果儲能元件沒有儲能,iL(0+)=iL(0–

)=0,或uC(0+)=uC(0–

)=0，則在t=0+的電路中，可將電容元件視為短路，將電感元件視為開路。例1:已知下圖中iL(0–)=0,uC(0–)=0,試求S閉合瞬間,電路中各電壓、電流的初始值。SUCLR2R1+-t=0uC(0+)+-R2R1UiL(0+)uL(0+)iC(0+)+

–u2(0+)u1(0+)i1(0+)+-t=0+的電路解：畫出t=0+的電路uC(0+)=uC(0–)=0，iL(0+)=iL(0–)=0，i1(0+)=iC(0+)=UR1u1(0+)=U，u2(0+)=0，uL(0+)=U第2章2

2穩(wěn)態(tài)值

電路換路后，經(jīng)過暫態(tài)過程又達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，這時電路中的電壓、電流值稱為穩(wěn)態(tài)值(穩(wěn)態(tài)分量)。用u()、i()表示。求直流激勵下的穩(wěn)態(tài)值,可畫出t=

的電路，即在換路后的電路中將電容元件開路,電感元件短路。例2：下圖所示電路中，已知：R1=3

，R2=6

，R3=3

，C1=5

μF，C2=10

μF

，E=20V,S閉合時電路已處于穩(wěn)態(tài)。試求：C1、C2

和R1上電壓的初始值和穩(wěn)態(tài)值。C2R2R1+-EC1R320VSt=0第2章2

2C2R2R1+-EC1R320VSt=0解：（1）求初始值，畫出t=0–的電路uC1(0-)=————R1+R2+R3R3?EuC2(0-)=————R1+R2+R3R2?E

=———=5V3+6+33×20=———=10V3+6+36×20i

(0-)=E/(R1+R2+R3)

=1.67AuR1(0-)=i

(0-)R1=5VuC1(0+)=uC1(0-)=5VuC2(0+)=uC2(0-)=10VR2+-R3Et=0–的電路uC1(0-)+-uC2(0-)+-i

(0-)uR1(0+)R1+-20V第2章2

2畫出t=0+的電路,用結(jié)點(diǎn)電壓法求結(jié)點(diǎn)電壓uab

(0+)uab

(0+)=__________________________E/R1+uC1(0+)/R2+uC2(0+)/R31/R1+1/R2+

1/R3=13VuR1(0+)=E–uab

(0+)=7V可見uR1(0+)

uR1(0–)因此，求初始值時,只需計算t=0–時的iL(0–)和uC(0–)，因?yàn)樗鼈儾荒苘S變，即為初始值，而t=0–時的其余電壓和電流都與初始值無關(guān)，不必去求。R2+–R3EuR1(0+)+–+–uC1(0+)t=0+的電路C2C1abR1+–20VuC2(0+)第2章2

2(2)求穩(wěn)態(tài)值,畫出t=

的電路uC1(

)=uC2(

)=E=20VR2+-R3Et=

的電路uC1(

)+-+-R1+–20VuC2(

)uR1(

)uR1(

)=0第2章2

2例2--1已知iL(0-)=0,uC(0-)=0,試求S閉合瞬間,電路中各電壓、電流的初始值。t=0+時的等效電路為uC(0+)=uC(0–)=0i1(0+)=iC(0+)=iL(0+)=iL(0–)=0UUR1u1(0+)=i1(0+)R1=Uu2(0+)=0uL(0+)=U解：SCLR2R1+-t=0第2章2

2根據(jù)換路定律及已知條件可知，

iL(0+)=iL(0–)=0uC(0+)u2(0+)+-R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)+

-u1(0+)i1(0+)+-++--U電路中各電壓電流的初始值為iL(t)+

uC(t)例2--2已知US=5V，IS=5A，R=5

。開關(guān)S斷開前電路已穩(wěn)定。求S斷開后R、C、L的電壓和電流的初始值和穩(wěn)態(tài)值。SCLR+iRiLiCISUS

設(shè)待求的各電壓、電流參考方向如圖所示1.求初始值作t=0

時的等效電路–第2章2

2uL+–uC+–uR+–SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–解：t=0-時的等效電路1.求初始值在此電路中只需求出iL(0-)和uC(0-)iL(0–

)=USRuC(0–

)=0作t=0+時的等效電路=1A5A5ViL(0–)=1AuC(0–

)=0iC(0+)=iL(0+)+IS=1+5=6A(0+)=1AiR(0+)=5VuR5

uL(0+)=0V5A5V5

SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–解：第2章2

2SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–1A+–uL作t=

時的等效電路2.求穩(wěn)態(tài)值iC()=0iL=–5A()iR()=–5AuL=0()=uCUS–uR=()30VuR()=–25V5A5V5

SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–第2章2

2例3：下圖所示電路中，S合于a時電路已處于穩(wěn)態(tài)。試求：初始值iL(0+),uL(0+)。SLR2t=03A20

15

30

R3R1IS+–iLuLba解：(1)畫出t=0–的電路,L視為短路iL(0-)uL(0-)S3A20

30

R3R1ISat=0–的電路uL(0-)=0=1.2AiL(0-)=IS——R1+R3R1第6章6.1(2)畫出t=0+的電路uL(0+)iL(0+)+–30

R3R215

Lt=0+的電路iL(0+)=iL(0-)=1.2AuL(0+)=

–

iL(0+)(R2+R3)=

–54V可見uL(0+)

uL(0–)換路瞬間僅iL不能躍變,電感兩端的電壓uL是可以躍變的，所以不必求uL(0-)。第6章6.1必須注意：只有uC

、

iL受換路定律的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發(fā)生躍變。(一)RC電路的零輸入響應(yīng)RCt=0ba+-U0iCS根據(jù)KVL

uR+uC

=0uC(0-)=U0S合向b后代入通解，得A=U0則第2章2

32.3RC電路的暫態(tài)分析uRuC+–+–RCduC

dt+uC=0duC

dtiC=C

把代入上式得uC

=

Aest通解由特征方程RCs+1=0得s=–1/RC

通解uC

=

Ae–t/RC

確定積分常數(shù)，uC(0+)=uC(0–)=U0

uC

=

U0e

–t/RC

(一)RC電路的零輸入響應(yīng)RCt=0ba+-U0iCS第2章2

32.3RC電路的暫態(tài)分析uRuC+–+–

uC

=

U0e

–t/RC

uR

=–uC

=–U0e

–t/RC

e

–t/RCU0RiC=––—otU0-U0U0RuCuRiC小結(jié)2在零輸入響應(yīng)電路中，各部分電壓和電流都是由初始值按同一指數(shù)規(guī)律衰減到零。1R、C應(yīng)理解為等效的電阻和電容uC

otU00.368U0

1

2

3

3>

2>

1時間常數(shù)

=RCuC(

)=0.368U0FS時間常數(shù)越大，過渡過程進(jìn)行的越慢。理論上電路經(jīng)過無窮大的時間才能進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，由于當(dāng)t=3

時，uC已衰減到

0.05U0，所以工程上通常在t>3

以后認(rèn)為暫態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束。

uC

=

U0e

–t/RC

第2章2

3(一)RC電路的零輸入響應(yīng)例:下圖所示電路中,開關(guān)S合在a點(diǎn)時,電路已處于穩(wěn)態(tài)，

t=0時開關(guān)S由a點(diǎn)合向b點(diǎn)，試求:t≥0時uc、i1、

i2和

i3

隨時間的變化規(guī)律,畫出變化曲線。t=0ba+-SuC

4k

2k

4k

8k

10μF+-10Vi1i2i3uC(0+)=uC(0-)=10

4/(2+4+4)=4V第2章2

3解:

這是一個零輸入響應(yīng)電路中，因此各部分電壓和電流的變化規(guī)律都是由初始值按同一指數(shù)規(guī)律衰減到零。故只需求出電路的時間常數(shù)及各待求量的初始值即可得到解答。U0=4VU0=4VR0=(4//4)+8=10k

=R0

C=10

103

10

10–6=10–1s=

U0

e–t/

uC=4e

–10tV第2章2

3解:求時間常數(shù)電路時間常數(shù)

=R0

CR0是從動態(tài)元件兩端看進(jìn)去的等效電阻i2(0+)=–4(4//4)+8=–0.4Ai1(0+)=i3(0+)12=i2(0+)=–0.2AbSuC

4k

4k

8k

+i1i2i3–CR0Cduc

dti2=i1=

i3

=i2/2第2章2

3=

U0

e–t/

uC=4e

–10tV然后根據(jù)電容元件的伏安關(guān)系求得i2=–0.4e

–10tmA進(jìn)而得出=–0.2e

–10tmAt=0ba+-SuC

4k

2k

4k

8k

10μF+-10Vi1i2i3i1=

i3

=i2/2uc4Vi2–0.4mAi1

i3–0.2mA0tiu第2章2

3=

U0

e–t/

uC=4e

–10tVi2=–0.4e

–10tmA=–0.2e

–10tmA各電壓電流隨時間變化曲線uC(0-)=0RCuRt≥0ba+USiSucS合向a后第2章2

3(二)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)–+–+–根據(jù)KVL，列出t≥

0時電路的微分方程uR+uC

=USRCduC

dt+uC

=US特解可取換路后的穩(wěn)態(tài)值uC()

=US的通解為AeSt=

Ae

–t/RC

對應(yīng)的齊次微分方程RCduC

dt+uC

=0其通解=對應(yīng)的齊次方程的通解+任一特解(2.3.5)RCuRt≥0ba+USiSuc第2章2

3(二)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)–+–+–RCduC

dt+uC

=US(2.3.5)上式的通解為uC=Ae–t/RC+US

積分常數(shù)由初始值確定，將t=0，uC=0，代入通解，得A=–USuC

=US–USe

–t/RC

=US

(1–e–t/

)于是求得e

-t/RCUSR=i

=CduC

dtRCuRt≥0ba+USiSuc第2章2

3(二)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)–+–+–uC

=US–USe

–t/RC

=US

(1–e–t/

)e

-t/RCUSR=i

=CduC

dtuR

=US–uC=U

Se

-t/RCtuCuRUS0ui時間常數(shù)

=RC當(dāng)t=

時，uC

=63.2%US0.632US

由于當(dāng)t=3

時

uC

=0.95US所以當(dāng)t≥3

以后，即可認(rèn)為暫態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束。uC(0-)=U0S合向a后RCduC

dt+uC

=USuC=

US+A

e

-t/

uC(0+)=uC(0-)=U0t=0時,U0=US+A

e

-t/

A=U0–USuC

=

US+

(U0–US)e

-t/

US0tuiU0穩(wěn)態(tài)分量USuC(全響應(yīng))U0–

US暫態(tài)分量(U0-

US)

e

-t/

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量第2章2

3(三)RC電路的全響應(yīng)RCt≥0ba+USiSuc–+–+–U0+–i=CduCdtUS–U0R=e

-t/

iUS–

U0RuR

uC

=U0e

-t/

+(U0–US)e

-t/

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)第2章2

3(三)RC電路的全響應(yīng)RCt≥0ba+USiSuc–+–+–U0+–US>U0

求RC電路的全響應(yīng)，也可應(yīng)用線性電路的疊加原理得到解答。uRUS0tuU0uCUS<U0U00tuUSuCSRRLiL(0+)=iL(0-)=I0

=LRiL

=I0e

-t/

uR

=USe

-t/

uL

=-USe

-t/

0tUSuR-USuLiLI0t=0–t≥0(一)RL電路的零輸入響應(yīng)第2章2

42.4RL電路的暫態(tài)分析uL–+根據(jù)KVL有uR+uL=0uR–+iL–+USLdiL

dt+R

iL=0解此方程式，可得式中設(shè)電路已處于穩(wěn)態(tài)R應(yīng)理解為從電感兩端看進(jìn)去的等效電阻

iL(0-)=USR=I0SRRL

=LRiL

=I0e

-t/

uR

=USe

-t/

uL

=-USe

-t/

0tUSuR-USuLiLI0t≥0(一)RL電路的零輸入響應(yīng)第2章2

42.4RL電路的暫態(tài)分析uL–+uR–+iL–+US

在零輸入響應(yīng)電路中，各部分電壓和電流都是由初始值按同一指數(shù)規(guī)律衰減到零。在換路瞬間電感的電流不能突變，而其兩端的電壓則由零跳變到U。SLuL

it=0R用二極管防止產(chǎn)生高電壓的電路續(xù)流二極管注意在線圈與電源斷開之前，應(yīng)將與之并聯(lián)的測量儀表從電路中取走。V第2章2

4(一)RL電路的零輸入響應(yīng)2.4RL電路的暫態(tài)分析+–+–Ut=0–

i(0-)=UR=I0可能產(chǎn)生的危害：燒蝕觸點(diǎn)、擊穿線圈絕緣解決辦法：可在線圈兩端并一二極管Ldi

dtuL=很大Rt≥0baS設(shè)電路已處于穩(wěn)態(tài)iL(0-)=0換路瞬間

=LRt0uiL第2章2

4(二)RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)2.4RL電路的暫態(tài)分析uL–+–+US–+uR換路后的電路有uR+uL=USLdiL

dt+R

iL=USiLiL(0+)=0解此方程式，可得iL=（1-e

-t/

）USR=IS(1-e

-t/

)uL

=USe

-t/

uR

=US(1-e

-t/

)USiLUSRuLuR各電壓、電流變化曲線RSRL全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)第2章2

4(三)RL電路的全響應(yīng)t≥0uL–+–+US–+uRiL設(shè)t<0時，iL(0-)=I0。在t=0時，將開關(guān)S合上，則t≥

0時電路的響應(yīng)即為全響應(yīng)，故可用疊加原理得到解答

=LRiL=（1-e

-t/

）USR+IS(1-e

-t/

)e

-t/

I0+令=IS

則USRiL=e

-t/

I0=IS+(I0–IS)e

-t/

式中RSRL第2章2

4(三)RL電路的全響應(yīng)t≥0uL–+–+US–+uRiL

=LR+IS(1-e

-t/

)e

-t/

I0iL=（1-e

-t/

）USR+iL=e

-t/

I0=IS+(I0–IS)e

-t/

式中IS>I0IS0tiI0iLIS<I0I00tiISiLuC

=

uC(

)+

[uC(0+)–

uC(

)]e

-t/

f

(t)=

f

(

)+

[f(0+)

–

f(

)]e

-t/

歸納為:在一階電路中,只要求出待求量的穩(wěn)態(tài)值、初始值和時間常數(shù)

這三個要素，就可以寫出暫態(tài)過程的解。第2章2

52.5一階電路暫態(tài)分析的三要素法只含有一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路,稱為一階電路，其微分方程都是一階常系數(shù)線性微分方程。一階電路響應(yīng)的表達(dá)式:穩(wěn)態(tài)值初始值時間常數(shù)uC

=

US+

(U0–US)e

-t/

在一階線性電路中,只要求出初始值

f(0+)

、穩(wěn)態(tài)值f

(

)

和時間常數(shù)

這三個要素，就能根據(jù)前式直接寫出電路的響應(yīng)。電路響應(yīng)的變化曲線都是由初始值按指數(shù)規(guī)律增加或衰減到穩(wěn)態(tài)值。例1:用三要素法,求下圖中t≥0時的uC(t),畫出變化曲線。+–U1+–U23V6VR2R12k

1k

C3FSt=0abuC解:(1)求uC的三要素=———=2VR1+R2R2?U1

uC(

)=———=4VR1+R2R2?U2

=(R1

R2)C=—×3=2ms23uC(0+)=uC(0–)

第6章6.3uC(t)=uC(

)+[uC(0+)

–

uC(

)]

e

-t/

(2)寫出uC(t)的表達(dá)式

=4

+(2–4)

e

-t/(2×10-3)=4–2

e

-500tVtuC/V4O2變化曲線第6章6.3例2：下圖所示電路中，開關(guān)S閉合前,電路已處于穩(wěn)態(tài)，

C=10F,t=0時，將開關(guān)S閉合，經(jīng)0.4ms再將S打開，試求t≥0時的uC(t),畫出變化曲線。30

Rr_+_+S60

RE=90VCuCr解:(1)uC(0+)=

uC(0–

)=

E

–

——=

60VR+rr

?

E(2)uC

(0.4ms)

=30(1+e

-1

)

=41V

uC(

)=———=30VR+rRE–

rE

=2(R

r

)C=0.4

msuC(t)=30(1+e

-2500t

)V(0≤t≤0.4ms)即為第二個暫態(tài)過程的初始值第6章6.3uC(t)=60+(41–60)e

-2000(t

-

0.410-3)

'=

(r+R

r)

C=0.5ms=60

–19e

-2000t

+

0.8

VuC(

)=60V(0.4ms≤

t≤

)3060410.4t/ms0uC/V變化曲線30

Rr90V_+_+S60

RECuCr第6章6.3

用三要素法計算含一個電容或一個電感的直流激勵一階電路響應(yīng)的一般步驟是:1.初始值f(0+)的計算

(1)根據(jù)t<0的電路，計算出t=0-時刻的電容電壓uC(0-)或電感電流iL(0-)。

(2)根據(jù)電容電壓和電感電流連續(xù)性，即

uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)

確定電容電壓或電感電流初始值。(3)假如還要計算其它非狀態(tài)變量的初始值，可以從用數(shù)值為uC(0+)的電壓源替代電容或用數(shù)值為iL(0+)的電流源替代電感后所得到的電阻電路中計算出來。

2.穩(wěn)