第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算思路:(導(dǎo)數(shù)定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式初等函數(shù)求導(dǎo)問題一.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)都在x處可導(dǎo)則u±v

在x處也可導(dǎo)，且求導(dǎo)法則Ⅰ:

設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)都在x處可導(dǎo),則uv

在x處也可導(dǎo),且求導(dǎo)法則Ⅱ

設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)都在x處可導(dǎo)，則在x處也可導(dǎo)，且求導(dǎo)法則Ⅲ:證明設(shè)則有故結(jié)論成立.

函數(shù)u=u(x)在x處可導(dǎo),c為常數(shù),則

(cu)′=cu′推論Ⅰ:即常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號(hào)的外面.

函數(shù)u=u(x),v=v(x),w=w(x)都在x處可導(dǎo)，則推論Ⅱ:例1

解:例2

求證證:

類似可證:導(dǎo)數(shù)的基本公式

(1)(c為常數(shù))；(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(a>0,a≠1)(16)(a>0,a≠1)(15)(1)

y=(sinx-2cosx)lnx,求y′.(2)求練習(xí):

二.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定理1y=f[φ(x)]在x處也可導(dǎo),且設(shè)函數(shù)u=φ(x)在x處可導(dǎo),函數(shù)y=f(u)在相應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)或

即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),

等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(2)定理1可以歸納地推廣到有限個(gè)函數(shù)復(fù)合的情形,如y=f(u),u=g(v),v=φ(x)滿足類似定理1的條件，則鏈?zhǔn)椒▌t量x的導(dǎo)數(shù),而

表示復(fù)合函數(shù)y注：(1)表示復(fù)合函數(shù)y對(duì)自變對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù).例1

函數(shù)y=sin5x,求y′.例2

函數(shù),求例3求例4

證明(μ∈R).證明練習(xí)求例5函數(shù)y=ln|x|,求y′.因?yàn)榻鈞>0時(shí)，(ln|x|)′=(lnx)′所以x<0時(shí)，(ln|x|)′=[ln(-x)]′綜合以上結(jié)果，得到例6

f(x)是可導(dǎo)函數(shù),y=ln|f(x)|，求y′.y′=(ln|f(x)|)′解f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，視作已知，則例7

函數(shù)y=ln|secx+tanx|，求y′.解例8

f(u),g(v)都是可導(dǎo)函數(shù),求y′.的復(fù)合函數(shù),于是解是類似的因此例9.設(shè)解:例10

設(shè)解:求例11求解:三.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí),如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).

變量x，y之間的函數(shù)關(guān)系是由方程F(x,y)=0給出的,稱y是x的隱函數(shù).例1.

求由方程在(0,0)處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)得將(0,0)代入上式,故確定的隱函數(shù)例2

求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解兩端分別對(duì)x求導(dǎo)(注意y是x的函數(shù)),則有注意到x、y仍滿足原方程則[２(xy+1)-x]y′=y-(xy+1)代入x=y=0,得到y(tǒng)′=即由以上例題可以看到,隱函數(shù)求導(dǎo)的方法是:

設(shè)方程F(x,y)=0確定了可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，是x的函數(shù))，最后解出y′.在方程F(x,y)=0的兩端分別對(duì)x求導(dǎo)(注意y例3

求曲線在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程．解方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),有8x-(y+xy′)+2yy′

=0將x=1,y=-1代入上式,得則所求切線方程為y+1=3(x-1),即3x-y-4=0.在討論變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度函數(shù)v(t)是位置函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即加速度函數(shù)a(t)是速度函數(shù)v(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),即因此加速度函數(shù)a(t)是位置函數(shù)s(t)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為函數(shù)s(t)對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù).四、高階導(dǎo)數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或一般地，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)時(shí),則稱的導(dǎo)數(shù)

為函數(shù)并分別記作或稱為f(x)的三階導(dǎo)數(shù),…,函數(shù)類似地,函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù), 的