高考數(shù)學復習考點知識專題講解與訓練52-二項式定理

1/19高考數(shù)學復習考點知識專題講解與訓練專題52二項式定理【考綱要求】1.了解“楊輝三角”的特征，掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)及其簡單應用.2．掌握二項式定理，會用二項式定理解決有關的簡單問題.【知識清單】知識點1.二項式定理1.二項式定理，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，其中的系數(shù)()叫做二項式系數(shù)．式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即展開式的第項；.2．二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由逐項減1直到零；字母按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到.(4)二項式的系數(shù)從，，一直到，.知識點2.二項式系數(shù)的性質(zhì)1.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，，，.(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)，當時，二項式系數(shù)是遞增的；由對稱性知：當時，二項式系數(shù)是遞減的．當是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值．當是奇數(shù)時，中間兩項和相等，且同時取得最大值．(3)各二項式系數(shù)的和的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，即，二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即，2.注意:（1）．分清是第項，而不是第項.(2)．在通項公式中，含有、、、、、這六個參數(shù)，只有、、、是獨立的，在未知、的情況下，用通項公式解題，一般都需要首先將通式轉化為方程（組）求出、,然后代入通項公式求解.(3)．求二項展開式中的一些特殊項，如系數(shù)最大項，常數(shù)項等，通常都是先利用通項公式由題意列方程，求出，再求所需的某項；有時則需先求,計算時要注意和的取值范圍以及它們之間的大小關系.(4)在中，就是該項的二項式系數(shù)，它與，的值無關；而項的系數(shù)是指化簡后字母外的數(shù)．知識點3.二項式定理的應用二項式的應用（1）求某些多項式系數(shù)的和；（2）證明一些簡單的組合恒等式；（3）證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題；（4）近似計算.當充分小時，我們常用下列公式估計近似值：①；②；（5）證明不等式.【考點梳理】考點一：二項式定理【典例1】（2020·北京高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（）．A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【典例2】（2020·全國高考真題（理））的展開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【解析】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【典例3】（2020·天津高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是_________．【答案】10【解析】因為的展開式的通項公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【典例4】（2020·江蘇省太湖高級中學高二期中）的展開式中的項的系數(shù)是________.【答案】1560【解析】由題意，，因為的展開式的通項公式為，的展開式的通項公式為，所以的展開式中的項的系數(shù)是.故答案為：1560.【規(guī)律方法】1.二項展開式問題的常見類型及解法(1)求展開式中的特定項或其系數(shù)．可依據(jù)條件寫出第k＋1項，再由特定項的特點求出k值即可．(2)已知展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù)．可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第k＋1項，由特定項得出k值，最后求出其參數(shù)．2．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．(2)觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項公式，綜合考慮．3．求形如(a＋b＋c)n展開式中特定項的方法逐層展開法的求解步驟：【變式探究】1.（2018·全國高考真題（理））的展開式中的系數(shù)為（）A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】由題可得令,則所以故選C.2.（2017·全國高考真題（理））(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為（）A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】C【解析】，由展開式的通項公式可得：當時，展開式中的系數(shù)為；當時，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.3.（2019·天津高考真題（理））是展開式中的常數(shù)項為________.【答案】【解析】，由，得，所以的常數(shù)項為.4.（2017·山東高考真題（理））已知的展開式中含有項的系數(shù)是54，則n=_____________.【答案】【解析】（1+3x）n的展開式中通項公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．∵含有x2的系數(shù)是54，∴r＝2．∴54，可得6，∴6，n∈N*．解得n＝4．故答案為：4．【特別提醒】在應用通項公式時，要注意以下幾點：①它表示二項展開式的任意項，只要與確定，該項就隨之確定；②是展開式中的第項，而不是第項；③公式中，，的指數(shù)和為且，不能隨便顛倒位置；④對二項式展開式的通項公式要特別注意符號問題．=5\*GB3⑤在二項式定理的應用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法．考點二：二項式系數(shù)的性質(zhì)及各項系數(shù)和【典例5】（2020·浙江高三月考）二項式的展開式中，所有有理項（系數(shù)為有理數(shù)，的次數(shù)為整數(shù)的項）的系數(shù)之和為________；把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法共有____種．（用數(shù)字作答）【答案】32.144.【解析】因為二項式的展開式的通項為，因為，所以，故所有有理項的系數(shù)為；把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法共有種.【典例6】（2019·全國高三月考）的展開式的各個二項式系數(shù)的和為________，含的項的系數(shù)是________.【答案】32【解析】根據(jù)題意，的展開式的各個二項式系數(shù)的和為，當時，，所以含的項的系數(shù)是.【典例7】（2020·浙江省高考真題）設，則a5=________；a1+a2+a3=________．【答案】80；122.【解析】的通項為，令，則，故；.故答案為：80；122【總結提升】1.賦值法在求各項系數(shù)和中的應用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可．(2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)．①奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝.②偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.2．二項式系數(shù)最大項的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)項與第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等并最大．3．展開式系數(shù)最大值的兩種求解思路(1)由于展開式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．(2)由于二項展開式中的系數(shù)是關于正整數(shù)n的式子，可以看作關于n的數(shù)列，通過判斷數(shù)列單調(diào)性的方法從而判斷系數(shù)的增減性，并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值．【變式探究】1.（2019·內(nèi)蒙古高二期中（理））已知，，則自然數(shù)等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由題意，令，則，因為，所以，解得.故選：C.2.(2019·石家莊模擬)在(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式二項式系數(shù)最大的項為.【答案】1120x4【解析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，2n－1＝128，解得n＝8，(1－2x)8的展開式共有9項，中間項，即第5項的二項式系數(shù)最大，T4＋1＝Ceq\o\al(4,8)14(－2x)4＝1120x4.3.（2020·湖南師大附中高三月考）若，則______.【答案】由題意，由，，∴，令，則，所以.故答案為：.【特別提醒】1.對于二項式系數(shù)問題，應注意以下幾點：①求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關于組合恒等式的證明，常采用“構造法”——構造函數(shù)或構造同一問題的兩種算法；[來源:學_科_網(wǎng)]③證明不等式時，應注意運用放縮法.2.對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段.3.多項式乘法的進位規(guī)則:在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別.考點三：二項式定理的應用【典例8】（2012·湖北高考真題（理））設，且，若能被13整除，則（）A．0 B．1C．11 D．12【答案】D【解析】本題考察二項展開式的系數(shù).由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12選D.【典例9】（2019·湖北高二期末（理））的計算結果精確到個位的近似值為（）A.106 B.107 C.108 D.109【答案】B【解析】∵，∴.故選：B【典例10】（多選題）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關于楊輝三角的猜想中正確的有（）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：D．由“，，”猜想【答案】ABC【解析】由楊輝三角的性質(zhì)以及二項式定理可知A、B、C正確；，故D錯誤.故選：ABC.【典例11】（2019·浙江杭十四中高三月考）的展開式中，項的系數(shù)為14，則_____，展開式各項系數(shù)之和為______．【答案】【解析】由題，的展開式通項為令，此時所以原式為，令，得各項系數(shù)之和為故答案為、1【總結提升】二項式定理應用的常見題型及求解策略1．逆用二項式定理的關鍵是根據(jù)所給式的特點結合二項展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定理求解．2．利用二項式定理解決整除問題的思路：①觀察除式與被除式間的關系；②將被除式拆成二項式；③結合二項式定理得出結論．3.近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項.【特別提醒】用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關知識來解決.【變式探究】1．（多選題）（2020·江蘇省太湖高級中學高二期中）設，下列結論正確的是（）A． B．C．中最大的是 D．當時，除以2000的余數(shù)是1【答案】ABD【解析】將原二項展開式轉化為，再逐一判斷.詳解：由，得，所以，故A正確；，故B正確；中最大的是，故C錯誤；當時，，能被2000整除，所以除以2000的余數(shù)是1，故D正確；故選：ABD2.（2019·浙江高考模擬）已知，則_____，_____．【答案】【解析】因為，令得，令得，所以，由展開式的通項為，則，故答案為：，.3.若n是正整數(shù)，則7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余數(shù)是.【答案】0或7【解析】根據(jù)二項式定理可知，7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)＝(7＋1)n－1＝8n－1，又因為8n－1＝(9－1)n－1＝9n＋Ceq\o\al(1,n)9n－1·(－1)＋Ceq\