2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題12三角形中的重要模型之面積模型解讀與提分精練（全國版）

專題12三角形中的重要模型之面積模型三角形的面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個(gè)非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三角形中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.等積變換基礎(chǔ)模型 1模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型 9模型3.燕尾（定理）模型 13模型4.鳥頭定理（共角定理）模型 18模型5.金字塔與沙漏模型 23 27模型1.等積變換基礎(chǔ)模型模型1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；如圖1，當(dāng)//，則；反之，如果，則可知直線//。圖1圖2圖3模型2）兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比。如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD，CF⊥AD時(shí)，則S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。證明：模型1）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥CD、過點(diǎn)B作BF⊥CD。∵//，∴AE=BF?！?；；∴。反之同理可證。模型2）如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥BC?！?；；∴S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥AD、過點(diǎn)B作BE⊥AD?！撸?；∴S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。例1．（24-25八年級上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)D是邊上的點(diǎn)，且，則與的面積之比為（）A． B． C． D．例2．（23-24八年級下·河北滄州·期中）如圖，，分別是的邊AB，CD上的點(diǎn)，與DE相交于點(diǎn)，與CE相交于點(diǎn)，若的面積為，的面積為，的面積為，則陰影部是的面積為．例3．（2024·上海浦東新·一模）如圖，在中為中點(diǎn)，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則．例4．（23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【探究】如圖1，是中邊上的中線，與的面積相等嗎？請說明理由，【應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)A、B、C分別是、、的中點(diǎn)，且，則圖2中陰影部分的面積為；【拓展】（1）如圖3，中，延長至點(diǎn)F，使得，延長至點(diǎn)D，使得，延長至點(diǎn)E，使得，連接、、，如果，那么為．（2）如圖4，中，，，點(diǎn)D、E是、邊上的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)F．若的面積為S，則四邊形面積為（用含S的代數(shù)式表示）；四邊形的面積存在最大值，這個(gè)值為．例5．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）規(guī)律：如圖1，直線，，為直線上的點(diǎn)，，為直線上的點(diǎn)．如果，，為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)移動(dòng)到何位置，與的面積始終相等，其理由是___．應(yīng)用：（1）如圖，、、三點(diǎn)在同一條直線上，與都是等邊三角形，連結(jié)，．若，，求的面積．（2）如圖，已知，，，是矩形邊上的點(diǎn)，且，，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)MC交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，若四邊形的面積等于，求四邊形的面積．模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。1）任意四邊形的蝴蝶定理：如圖1，結(jié)論：①或；②。證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；即故；即。由基礎(chǔ)模型2）知：；即。2）梯形蝴蝶定理：如圖2，結(jié)論：①；②。證明：∵四邊形ABCD為梯形，∴AD//BC，∴易證，∴。同理可證得：。例1．（23-24八年級上·浙江·階段練習(xí)）如圖，任意四邊形中，和相交于點(diǎn)O，把、、、的面積分別記作、、、，則下列各式成立的是（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年級上·上海松江·期中）如圖，已知在梯形中，，，如果對角線與相交于點(diǎn)O，、、、的面積分別記作、、、，那么下列結(jié)論中，不正確的是（）A． B． C． D．例3．（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，梯形的兩條對角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為，則梯形的面積為．例4．（2024·山西·校考一模）閱讀與探究請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：凸四邊形的性質(zhì)研究如果把某個(gè)四邊形的任何一邊向兩端延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的圖形，它有一個(gè)非常有趣的性質(zhì):任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等．例如，在圖1中，凸四邊形的對角線，相交于點(diǎn)，且，，，，的面積分別為，則有，證明過程如下：任務(wù)：（1）請將材料中的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖2，任意凸四邊形的對角線相交于點(diǎn)，分別記，，，的面積為，求證；（3）如圖3，在四邊形中，對角線相交于點(diǎn)，，，，則四邊形的面積為____________．

模型3.燕尾（定理）模型條件：如圖，在中，E分別是上的點(diǎn)，在上一點(diǎn)。結(jié)論：S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；故；即S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。例1．（23-24七年級下·江蘇宿遷·期末）（數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分．（經(jīng)驗(yàn)發(fā)展）（1）面積比和線段比的聯(lián)系：如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比，如圖1，的邊上有一點(diǎn)，請證明：；（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖2，的面積為1，，求的面積；（拓展延伸）（3）如圖3，的邊上有一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，請利用上述結(jié)論，證明：；（遷移應(yīng)用）（4）如圖4，中，M是的三等分點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，若的面積是1，請直接寫出四邊形的面積：．例2．（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）【問題情境】如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．因?yàn)楦呦嗤?，所以，于是．?jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．(1)【深入探究】如圖2，點(diǎn)D在的邊上，點(diǎn)P在上．若是的中線，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．若，則：______．(2)【拓展延伸】如圖3，分別延長四邊形的各邊，使得A，B，C，D分別為的中點(diǎn)，依次連接E，F(xiàn)，G，H得四邊形．直接寫出，與之間的等量關(guān)系；_______．例3．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知是ΔABC的邊上一點(diǎn)，連結(jié)，此時(shí)有結(jié)論，請解答下列問題：（1）當(dāng)是邊上的中點(diǎn)時(shí)，的面積的面積（填“>”“<”或“=”）．（2）如圖1，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若、、的面積分別為5，8，10，則的面積是（直接寫出結(jié)論）．（3）如圖2，若點(diǎn)分別是ΔABC的邊上的中點(diǎn)，且，求四邊形的面積．可以用如下方法：連結(jié)，由得，同理：，設(shè)，，則，，由題意得，，可列方程組為：，解得，可得四邊形的面積為20．解答下面問題：如圖3，是的三等分點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，與交于，且，請計(jì)算四邊形的面積，并說明理由．模型4.鳥頭定理（共角定理）模型共角三角形：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。圖1圖2（等角型）條件：如圖1，在三角形ABC中，D、E分別是AB，AC上的點(diǎn)，結(jié)論：。（互補(bǔ)型）條件：如圖2，已知∠BAC+∠DAE=180°，結(jié)論：。證明：（等角型）如圖1，分別過點(diǎn)E，C作EG⊥AB于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴。又即。（互補(bǔ)型）如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)E作EF⊥DA交DA延長線于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴，∵，，∴；例1、如圖，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上的點(diǎn)，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面積是16平方厘米，則ABC的面積為。例2．（2023·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解如果兩個(gè)三角形中有一組對應(yīng)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個(gè)三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比，例：在圖1中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，則證明：分別過點(diǎn)E，C作EG⊥AB于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，得到圖2，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴又即任務(wù)：（1）如圖3，已知∠BAC+∠DAE=180°，請你參照材料的證明方法，求證：（2）在（1）的條件下，若則AE=．例3．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個(gè)問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個(gè)式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：？方法回顧：兩個(gè)三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當(dāng)兩個(gè)三角形的底成高具有一定的關(guān)系時(shí)，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個(gè)結(jié)論，請你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．結(jié)論應(yīng)用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點(diǎn)，延長GA到E，連接DE交BA的延長線于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．模型5.金字塔與沙漏模型金字塔模型沙漏模型條件：如圖所示，DE//BC；結(jié)論：①；②。證明：∵DE//BC；易證：；；；∴；。例1．（2023秋·遼寧沈陽·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D、E分別是邊上的點(diǎn)，且，面積比為，交于點(diǎn)F．則（

）

A． B． C． D．例2．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，D、E分別是的邊、上的點(diǎn)，且，、相交于點(diǎn)0，若的面積與的面積的比為，則等于（

）

A． B． C． D．例3．（2023·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，與相交于點(diǎn)．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·北京海淀·九年級校考開學(xué)考試）如圖，是等邊三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若圖中陰影部分的面積是6，則四邊形的面積為（

）A．8 B．9 C．10 D．111．（2024·貴州·校考一模）如圖，梯形被對角線分成4個(gè)小三角形，已知與的面積分別為和．那么梯形的面積是（

）．A．144 B．140 C．160 D．無法確定2．（24-25八年級上·山東德州·階段練習(xí)）如圖所示，中，點(diǎn)、、分別在三邊上，是的中點(diǎn)，、、交于一點(diǎn)，，，，則的面積是（

）A．25 B．30 C．35 D．403．（22-23七年級下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，四邊形中，E、F、G、H依次是，，，中點(diǎn)，O是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，若四邊形、四邊形、四邊形的面積分別為8、11、13，四邊形面積為（

）A．10 B．11 C．12 D．134．（24-25八年級上·四川德陽·階段練習(xí)）如圖，若的面積為a，且點(diǎn)A，B，C分別是的中點(diǎn)，則求陰影部分的面積（用含a的式子表示），（

）A． B． C． D．5．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，延長至E，使，連接，的面積為10，的面積是13，則的值為（）A． B． C．3 D．26．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，若，則的面積是（

）A．4 B．3 C．2 D．17．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)O，則的面積與的面積的比為（

）A．1：2 B． C．1：4 D．8．（23-24八年級上·天津河?xùn)|·期中）如圖，的兩條中線，相交于點(diǎn)，已知的面積為，的面積為，則四邊形的面積為（

）

A． B．3 C． D．9．（2024·甘肅酒泉·二模）如圖，在平行四邊形中，如果點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，與BD相交于點(diǎn)，若已知，那么等于（

）A．4 B．8 C．12 D．1610．（23-24九年級·重慶·課后作業(yè)）如圖，為半圓O的直徑，弦相交于點(diǎn)P，如果，那么等于（

）A．16∶9 B．3∶4 C．4∶3 D．9∶1611．（22-23七年級下·江蘇南京·期末）如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，E、F分別是邊上的三等分點(diǎn)，連接分別交于G、H點(diǎn)，若的面積為90，則四邊形的面積為．

12．（2024·上?！ば？家荒＃┤鐖D，梯形中，，，點(diǎn)在的延長線上，與相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)．如果，那么與的面積之比等于．13．如圖1，點(diǎn)D在邊上，我們知道若，則；反之亦然．如圖2，是的中線，點(diǎn)F在邊上，相交于點(diǎn)O，若，則．14．（23-24九年級上·福建泉州·階段練習(xí)）已知中，是邊上的中線，點(diǎn)G為重心，，若的面積為12，則的面積是．15．（2024·河南鄭州·九年級校考期中）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），E，F(xiàn)在上，H，G分別在，上，且于點(diǎn)D，交于點(diǎn)N．(1)求證：(2)若，，設(shè)，則當(dāng)x取何值時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？16．（23-24八年級下·湖南永州·期末）課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用閱讀理解：如圖1，已知直線，直線a，b的距離為h，則三角形的面積為．

(1)【問題探究】如圖2，若點(diǎn)C平移到點(diǎn)D，求證：；(2)【深化拓展】如圖3，記、、、，根據(jù)圖形特征，試證明：；(3)【靈活運(yùn)用】如圖4，在平行四邊形中，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)O，已知，且，求四邊形的面積．17．（23-24八年級下·山東青島·期末）問題解決：如圖1，中，為邊上的中線，則______.問題探究：（1）如圖2，分別是的中線，與相等嗎？解：中，由問題解決的結(jié)論可得，，.∴∴即.（2）圖2中，仿照（1）的方法，試說明.（3）如圖3，，，分別是的中線，則______，______，______.問題拓展：（1）如圖4，分別為四邊形的邊的中點(diǎn)，請直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系：______.（2）如圖5，分別為四邊形的邊的中點(diǎn)；請直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系：______.18．（24-25九年級上·廣東深圳·期中）閱讀理解：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，我們稱這兩個(gè)三角形是共角三角形，這個(gè)角稱為對應(yīng)角．根據(jù)上述定義，判斷下列結(jié)論，正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”．（1）三角形一條中線分成的兩個(gè)三角形是共角三角形．（_____）（2）兩個(gè)等腰三角形是共角三角形．（_____）問題提出：小明在研究圖的時(shí)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)辄c(diǎn)，分別在和上，所以和是共角三角形，并且還發(fā)現(xiàn)．以下是小明的證明思路，請幫小明完善證明過程．證明：分別過點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，得到圖，，又，（_____），．，，即．延伸探究：如圖，已知，請你參照小明的證明方法，求證：．結(jié)論應(yīng)用：（1）如圖，在平行四邊形中，是邊上的點(diǎn)且滿足，延長到，連接交的延長線于，若，，，的面積為，則的面積是．（2）如圖，的面積為，延長的各邊，使，，，，則四邊形的面積為．19．（2023·山東青島·二模）【模型】同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長度之比．已知，如圖，中，為線段上任意一點(diǎn)，連接，則有：．【模型應(yīng)用】（1）如圖，任意四邊形中，、分別是、邊的中點(diǎn)，連接、，若四邊形的面積為，則___________．（2）如圖，在任意四邊形中，點(diǎn)、分別是邊、上離點(diǎn)和點(diǎn)最近的三等分點(diǎn)，連接、，若四邊形的面積為，則___________．（3）如圖，在任意四邊形中，點(diǎn)、分別是邊、上離點(diǎn)和點(diǎn)最近的等分點(diǎn)，連接、，若四邊形的面積為，則___________．【拓展與應(yīng)用】（4）如圖，若任意的十邊形的面積為，點(diǎn)、、、、、、、分別是、、、、、、、邊上離點(diǎn)、、、、、、、最近的四等分點(diǎn)，連接、、、、、、、，則圖中陰影部分的面積是___________．20．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，點(diǎn)D在邊上，與的面積分別記為與，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）閱讀分析：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖2，在中，，，射線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F在上，且，試判斷、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明利用一對全等三角形，經(jīng)過推理使問題得以解決．圖2中的、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為，并說明理由．（3）類比探究：如圖3，在四邊形中，，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在射線上，且．①全等的兩個(gè)三角形為，并說明理由．②若，的面積為3，直接寫出的面積：．21．（23-24九年級上·廣西崇左·期末）【問題】如圖1，在四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)O，記的面積為，的面積為，求證：．【解決問題的方法】如圖2，在和中，分別作邊上的高，利用三角函數(shù)表示出，再代入面積公式就可以解決問題．(1)【問題解決】如圖2，求證：(2)【拓展應(yīng)用】如圖3，交于點(diǎn)M，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，且求值．22．（2023·寧夏銀川·二模）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題．在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．請用等面積法的思想解決下列問題：(1)在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為______．(2)如圖1，反比例函數(shù)的圖像上有一點(diǎn)P，軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在y軸上，則的面積為______．(3)如圖2，P是邊長為a的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為的中心，設(shè)點(diǎn)P到各邊距離分別為，，，連接，由等面積法，易知，可得；如圖3，若P是邊長為4的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照上面的探索過程，求的值．（參考數(shù)據(jù)：，）(4)如圖4，已知的半徑為1，點(diǎn)A為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)B，弦，連接，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留）(5)我國數(shù)學(xué)家祖暅，提出了一個(gè)祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等．如圖所示，某帳篷的造型是兩個(gè)全等圓柱垂直相交的公共部分的一半（這個(gè)公共部分叫做牟合方蓋），其中曲線和均是以1為半徑的半圓．用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，且該正方形的面積恰好等于與帳篷同底等高的正四棱柱中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐后同高度截面的面積（圖8中陰影部分的面積），因此該帳篷的體積為______．（正棱錐的體積底面積高）

專題12三角形中的重要模型之面積模型三角形的面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個(gè)非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三角形中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.等積變換基礎(chǔ)模型 1模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型 9模型3.燕尾（定理）模型 13模型4.鳥頭定理（共角定理）模型 18模型5.金字塔與沙漏模型 23 27模型1.等積變換基礎(chǔ)模型模型1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；如圖1，當(dāng)//，則；反之，如果，則可知直線//。圖1圖2圖3模型2）兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比。如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD，CF⊥AD時(shí)，則S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。證明：模型1）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥CD、過點(diǎn)B作BF⊥CD?！?/，∴AE=BF?！?；；∴。反之同理可證。模型2）如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥BC。∵；；∴S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥AD、過點(diǎn)B作BE⊥AD?！?；；∴S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。例1．（24-25八年級上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)D是邊上的點(diǎn)，且，則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了三角形面積問題，解題的關(guān)鍵是掌握三角形面積的表示方法．設(shè)點(diǎn)A到的距離為h，首先表示出，，結(jié)合，得到．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A到的距離為h，∴，，∵，∴．故選：A．例2．（23-24八年級下·河北滄州·期中）如圖，，分別是的邊AB，CD上的點(diǎn)，與DE相交于點(diǎn)，與CE相交于點(diǎn)，若的面積為，的面積為，的面積為，則陰影部是的面積為．【答案】7【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，連接、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而減去公共的的面積可得，同理，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，連接、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．∵，，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴的邊上的高與的邊上的高相等，∴，∴，同理，∴．∵，，∴，故陰影部分的面積．例3．（2024·上海浦東新·一模）如圖，在中為中點(diǎn)，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則．【答案】【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出面積關(guān)系解答．根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作，為的角平分線，

∵為中點(diǎn)，∴設(shè)，則則，故答案為：．例4．（23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【探究】如圖1，是中邊上的中線，與的面積相等嗎？請說明理由，【應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)A、B、C分別是、、的中點(diǎn)，且，則圖2中陰影部分的面積為；【拓展】（1）如圖3，中，延長至點(diǎn)F，使得，延長至點(diǎn)D，使得，延長至點(diǎn)E，使得，連接、、，如果，那么為．（2）如圖4，中，，，點(diǎn)D、E是、邊上的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)F．若的面積為S，則四邊形面積為（用含S的代數(shù)式表示）；四邊形的面積存在最大值，這個(gè)值為．【答案】探究：，理由見解析；應(yīng)用：24；拓展：（1）54；（2），32【分析】探究：根據(jù)等底同高的三角形面積相等，即可得結(jié)論；應(yīng)用：連接，，，運(yùn)用探究結(jié)論可知，則，同理可得，即可求得陰影部分的面積；拓展：（1）如圖，連接，，利用等高的性質(zhì)，求得所有三角形的面積，再求和，可得結(jié)論；（2）連接并延長交于，可知是邊上的中點(diǎn)，記6個(gè)小三角形的面積分別為，，，，，，可得，進(jìn)而可得，可知四邊形面積，要使得四邊形面積最大，只需要使得的面積最大，則只需要，可得的面積最大值為，即可求得四邊形面積最大值．本題考查與三角形中線有關(guān)的面積問題，等高模型的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解三角形中線的性質(zhì)．【詳解】解：探究：，理由如下：過點(diǎn)作，交于，∵是中邊上的中線，則，∴，即：；應(yīng)用：連接，，，∵點(diǎn)A、B、C分別是、、的中點(diǎn)，∴，，，∴，則，同理可得，∴陰影部分的面積為，故答案為：24；拓展：（1）如圖，連接，．∵，則，∴，，∵，∴，，∵，∴，∴的面積．故答案為：54；（2）連接并延長交于，∵點(diǎn)、是、邊上的中點(diǎn)，∴是邊上的中線，記6個(gè)小三角形的面積分別為，，，，，，則，，，，∴，即：，∴，即：，同理可知，，∴，∴四邊形面積，要使得四邊形面積最大，只需要使得的面積最大，∵中，，，∴要使得的面積最大，則只需要，∴的面積最大值為，則四邊形面積最大值為，故答案為：，32．例5．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）規(guī)律：如圖1，直線，，為直線上的點(diǎn)，，為直線上的點(diǎn)．如果，，為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)移動(dòng)到何位置，與的面積始終相等，其理由是___．應(yīng)用：（1）如圖，、、三點(diǎn)在同一條直線上，與都是等邊三角形，連結(jié)，．若，，求的面積．（2）如圖，已知，，，是矩形邊上的點(diǎn)，且，，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)MC交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，若四邊形的面積等于，求四邊形的面積．【答案】規(guī)律：同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等；（1）（2）【分析】本題主要考查了三角形的面積、勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，平行線之間的距離等知識點(diǎn)；規(guī)律：利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”即可解答；（1）利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”求即可解答；（2）利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”，將四邊形的面積拆成4個(gè)小三角形，將四個(gè)小三角形轉(zhuǎn)化為矩形的一半，即可求解．【詳解】解：規(guī)律：∵直線，∴點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等．又∵在和中，，∴（同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等）．故答案為：同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等．（1）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵與都是等邊三角形，∴∴，∴∵∴∵，，∴∴∴∴；（2）如圖所示，連接，∵四邊形是矩形，∴∵，，∴，∴，，∴，又，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。1）任意四邊形的蝴蝶定理：如圖1，結(jié)論：①或；②。證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；即故；即。由基礎(chǔ)模型2）知：；即。2）梯形蝴蝶定理：如圖2，結(jié)論：①；②。證明：∵四邊形ABCD為梯形，∴AD//BC，∴易證，∴。同理可證得：。例1．（23-24八年級上·浙江·階段練習(xí)）如圖，任意四邊形中，和相交于點(diǎn)O，把、、、的面積分別記作、、、，則下列各式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作于點(diǎn)，從而可分別表示出和然后可得出，同理可得出，這樣即可證得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，同理可證：，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的求法．解答該題時(shí)，主要是抓住不同底等高三角形面積間的數(shù)量關(guān)系．例2．（23-24九年級上·上海松江·期中）如圖，已知在梯形中，，，如果對角線與相交于點(diǎn)O，、、、的面積分別記作、、、，那么下列結(jié)論中，不正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】證，可得，再利用相似三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故B符合題意；∵，∴，即，故A不符合題意；∵，∴，即，∴，故C不符合題意；∵，，∴，∴，故D不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等底或等高的兩個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系，證明是解本題的關(guān)鍵．例3．（2024·四川成都·校考一模）如圖，梯形的兩條對角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為，則梯形的面積為．【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)梯形，得到，過O作于E，延長交于F，則，證明，得到，設(shè)梯形上下底分別為，兩個(gè)三角形對應(yīng)的高分別為，根據(jù)三角形的面積公式，得到，再根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行求解即可．掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，對應(yīng)邊上的高線比等于相似比，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是梯形，∴，如圖，過O作于E，延長交于F，則，∵，∴，∴，設(shè)梯形上下底分別為，兩個(gè)三角形對應(yīng)的高分別為，∴，∴∴；故答案為：．例4．（2024·山西·?？家荒＃╅喿x與探究請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：凸四邊形的性質(zhì)研究如果把某個(gè)四邊形的任何一邊向兩端延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的圖形，它有一個(gè)非常有趣的性質(zhì):任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等．例如，在圖1中，凸四邊形的對角線，相交于點(diǎn)，且，，，，的面積分別為，則有，證明過程如下：任務(wù)：（1）請將材料中的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖2，任意凸四邊形的對角線相交于點(diǎn)，分別記，，，的面積為，求證；（3）如圖3，在四邊形中，對角線相交于點(diǎn)，，，，則四邊形的面積為________________．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)三角形的高相同，面積比等于底的比求解即可；（2）分別過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，再根據(jù)三角形的高相同，面積比等于底的比計(jì)算即可；（3）設(shè)，，根據(jù)“任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等”求解即可．【詳解】解：（1）∵，，；（2）如答圖，分別過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)．

；；；；（3）由，，，設(shè)，，根據(jù)任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等，可得：3x2=4×6=24,則x=2,即，，∴四邊形的面積=+++=4+6++=10+8．【點(diǎn)睛】本題考查了面積及等積變換，掌握三角形的高相同，面積比等于底的比、任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等是解題的關(guān)鍵．模型3.燕尾（定理）模型條件：如圖，在中，E分別是上的點(diǎn)，在上一點(diǎn)。結(jié)論：S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；故；即S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。例1．（23-24七年級下·江蘇宿遷·期末）（數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分．（經(jīng)驗(yàn)發(fā)展）（1）面積比和線段比的聯(lián)系：如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比，如圖1，的邊上有一點(diǎn)，請證明：；（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖2，的面積為1，，求的面積；（拓展延伸）（3）如圖3，的邊上有一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，請利用上述結(jié)論，證明：；（遷移應(yīng)用）（4）如圖4，中，M是的三等分點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，若的面積是1，請直接寫出四邊形的面積：．【答案】（1）見解析；（2）12；（3）見解析；（4）【分析】本題主要考查了三角形的面積公式以及三角形的中線的性質(zhì)的運(yùn)用：【經(jīng)驗(yàn)發(fā)展】過C作于H，依據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可得到結(jié)論；【結(jié)論應(yīng)用】連接，依據(jù)“如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比”，即可得到與面積之間的關(guān)系；【拓展延伸】依據(jù)如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比，即可得到與面積之間的關(guān)系；【遷移應(yīng)用】連接，設(shè),即可得出,,,進(jìn)而得到．【詳解】（經(jīng)驗(yàn)發(fā)展）如圖1，過作于，

，，，即．（結(jié)論應(yīng)用）如圖2，連接，∵，，又∵，，，又的面積為1，的面積為12．（拓展延伸）如圖3，∵是上任意一點(diǎn)，∴，∵是上任意一點(diǎn)，，，∴，即．（遷移應(yīng)用）如圖4，連接，∵是的三等分點(diǎn)，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，，，，．故答案為．例2．（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）【問題情境】如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．因?yàn)楦呦嗤?，所以，于是．?jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．(1)【深入探究】如圖2，點(diǎn)D在的邊上，點(diǎn)P在上．若是的中線，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．若，則：______．(2)【拓展延伸】如圖3，分別延長四邊形的各邊，使得A，B，C，D分別為的中點(diǎn)，依次連接E，F(xiàn)，G，H得四邊形．直接寫出，與之間的等量關(guān)系；_______．【答案】(1)①，理由見解析；②(2)【分析】本題考查了三角形的中線，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形是題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，推得是的中線，，得到，即可得出結(jié)果；②設(shè)邊上的高為，根據(jù)三角形的面積公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可證明；（2）連接，，，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得，，，，推得，，即可求得，即可證明．【詳解】（1）解：①證明：∵是的中線，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴是的中線，∴，∴，即，∴②設(shè)邊上的高為，則，，∵，∴，同理，則，即，∴．（2）①證明：連接，，，如圖：∵點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，∴，，，分別為，，，的中線，∴，，，，∴，∵，即．例3．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知是ΔABC的邊上一點(diǎn)，連結(jié)，此時(shí)有結(jié)論，請解答下列問題：（1）當(dāng)是邊上的中點(diǎn)時(shí)，的面積的面積（填“>”“<”或“=”）．（2）如圖1，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若、、的面積分別為5，8，10，則的面積是（直接寫出結(jié)論）．（3）如圖2，若點(diǎn)分別是ΔABC的邊上的中點(diǎn)，且，求四邊形的面積．可以用如下方法：連結(jié)，由得，同理：，設(shè)，，則，，由題意得，，可列方程組為：，解得，可得四邊形的面積為20．解答下面問題：如圖3，是的三等分點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，與交于，且，請計(jì)算四邊形的面積，并說明理由．【答案】（1）=；（2）18；（3），見解析【分析】（1）利用同高（或同底）的三角形面積比等于對應(yīng)邊（或高）的比即可得．（2）連接，利用同高的三角形面積比等于對應(yīng)邊的比，結(jié)合已知條件聯(lián)立方程可得．（3）連接，利用同高的三角形面積比等于對應(yīng)邊的比，結(jié)合已知條件聯(lián)立方程可得．【詳解】（1）∵，是邊上的中點(diǎn)∴，則（2）如圖，連結(jié)∵、、的面積分別為5，8，10，∴，∴設(shè)，則整理得解得，則．（3）連結(jié)，設(shè)，，∴，，∵，∴∵，∴則可列方程組，加減消元法解得∴四邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查同高的三角形面積比等于對應(yīng)邊的比這一知識點(diǎn)推論，掌握從中理解此推論是解題關(guān)鍵．模型4.鳥頭定理（共角定理）模型共角三角形：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。圖1圖2（等角型）條件：如圖1，在三角形ABC中，D、E分別是AB，AC上的點(diǎn)，結(jié)論：。（互補(bǔ)型）條件：如圖2，已知∠BAC+∠DAE=180°，結(jié)論：。證明：（等角型）如圖1，分別過點(diǎn)E，C作EG⊥AB于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴。又即。（互補(bǔ)型）如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)E作EF⊥DA交DA延長線于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴，∵，，∴；例1、如圖，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上的點(diǎn)，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面積是16平方厘米，則ABC的面積為?！敬鸢浮?0平方厘米【解析】①觀察：圖中存在鳥頭模型?假設(shè)：設(shè)三角形ABC的面積為a轉(zhuǎn)化：由鳥頭模型比例關(guān)系有：16：a=（4×2）：（5×7），得a=70。即三角形ABC的面積是70平方厘米。例2．（2023·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解如果兩個(gè)三角形中有一組對應(yīng)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個(gè)三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比，例：在圖1中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，則證明：分別過點(diǎn)E，C作EG⊥AB于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，得到圖2，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴又即任務(wù)：（1）如圖3，已知∠BAC+∠DAE=180°，請你參照材料的證明方法，求證：（2）在（1）的條件下，若則AE=．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)E作EF⊥DA交DA延長線于F，可得∠EFA=∠CGA=90°，再由∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，推出∠CAG=∠EAF，即可證明△CAG∽△EAF，得到，再由，，得到．（2）根據(jù)，，可得，由此求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)E作EF⊥DA交DA延長線于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴，∵，，∴；（2）∵，，∴，∵∴故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意作出輔助線構(gòu)造相似三角形．例3．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個(gè)問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個(gè)式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：？方法回顧：兩個(gè)三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當(dāng)兩個(gè)三角形的底成高具有一定的關(guān)系時(shí)，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個(gè)結(jié)論，請你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．結(jié)論應(yīng)用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點(diǎn)，延長GA到E，連接DE交BA的延長線于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．【答案】探究一：（2）見解析；延伸探究：（1）;（2）；結(jié)論應(yīng)用：【分析】問題解決：探究一（2）：參照（1）中證明方法解答即可；探究二，過D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；延伸探究：（1）過D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；（2）過D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；結(jié)論應(yīng)用：取AD的中點(diǎn)M，連接GM并延長交DE于點(diǎn)N，連接DG，可得,根據(jù)題意，進(jìn)而得出,根據(jù)AM=DM,,可得FN=DN，根據(jù)AE=2，AG=4，，可得FN=2EF，進(jìn)而可得ED=5EF，即可得出．【詳解】解：問題解決：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴,∴，∴；探究二：過D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,；延伸探究：（1）過D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,；（2）過D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,;結(jié)論應(yīng)用：取AD的中點(diǎn)M，連接GM并延長交DE于點(diǎn)N，連接DG，∴AM=DM，，∵AE=2，AG=4，∴,∵AM=DM,,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4，,∴,即：FN=2EF,∴ED=5EF，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識點(diǎn)，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型5.金字塔與沙漏模型金字塔模型沙漏模型條件：如圖所示，DE//BC；結(jié)論：①；②。證明：∵DE//BC；易證：；；；∴；。例1．（2023秋·遼寧沈陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D、E分別是邊上的點(diǎn)，且，面積比為，交于點(diǎn)F．則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊上高的比等于相似比即可求解．【詳解】解：∵，是公共角，∴，∴，∵，∴，∵，面積比為∴相似比為，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，明確“相似三角形的對應(yīng)邊上高的比等于相似比”，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．例2．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，D、E分別是的邊、上的點(diǎn)，且，、相交于點(diǎn)0，若的面積與的面積的比為，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得到，，結(jié)合相似三角形面積比等于相似比的平方即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，，∴，∵的面積與的面積的比為，∴，∴,故選A；【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)，相似三角形面積比等于相似比的平方，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行得到相似．例3．（2023·福建龍巖·九年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，與相交于點(diǎn)．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，得到，，結(jié)合面積比等于相似比平方即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方．例4．（2023春·北京海淀·九年級校考開學(xué)考試）如圖，是等邊三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若圖中陰影部分的面積是6，則四邊形的面積為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意可知：，∴，∵，∴，∴，∵陰影部分的面積是6，∴，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．1．（2024·貴州·校考一模）如圖，梯形被對角線分成4個(gè)小三角形，已知與的面積分別為和．那么梯形的面積是（

）．A．144 B．140 C．160 D．無法確定【答案】A【分析】先求出AO:OC的比值，然后再說明△AOB∽△COD，進(jìn)而求得△COD、△AOB的面積，最后根據(jù)圖形求出梯形的面積即可．【詳解】解：∵與的面積分別為和∴AO:OC=25:35=5:7∵AB//CD∴∽∴∴∴梯形的面積為：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算方法，掌握數(shù)形結(jié)合思想、等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比以及相似三角形的面積比等于相似比的平方成為解答本題的關(guān)鍵．2．（24-25八年級上·山東德州·階段練習(xí)）如圖所示，中，點(diǎn)、、分別在三邊上，是的中點(diǎn)，、、交于一點(diǎn)，，，，則的面積是（

）A．25 B．30 C．35 D．40【答案】B【分析】本題考查了三角形的面積公式、三角形之間的面積加減計(jì)算．注意同底等高的三角形面積相等，面積相等、同高的三角形底相等．由于，那么結(jié)合三角形面積公式可得，而，可得出，而是中點(diǎn)，故有，于是可求，從而易求．【詳解】解：如圖，∵，同高，，，是的中點(diǎn)，∴同理可知，又，，，．故選：B．3．（22-23七年級下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，四邊形中，E、F、G、H依次是，，，中點(diǎn)，O是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，若四邊形、四邊形、四邊形的面積分別為8、11、13，四邊形面積為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】本題考查三角形中線性質(zhì)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．連接、、、，利用中線性質(zhì)得到等底等高的三角形面積相等，結(jié)合解題即可．【詳解】連接、、、，依次是各邊中點(diǎn)，與是等底等高，同理可證，四邊形AEOH、四邊形BFOE、四邊形CGOF的面積分別為8、11、13，故選：A．4．（24-25八年級上·四川德陽·階段練習(xí)）如圖，若的面積為a，且點(diǎn)A，B，C分別是的中點(diǎn)，則求陰影部分的面積（用含a的式子表示），（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)三角形的中線求陰影部分的面積，由題意得，，結(jié)合已知，得，因此，同理可得：，，進(jìn)而即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：連接，A，B，C分別是的中點(diǎn)，，，，，，同理可得：，，，故選：A．5．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，延長至E，使，連接，的面積為10，的面積是13，則的值為（）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形面積等知識．過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，求出，則，求出的面積是，由角平分線性質(zhì)定理得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，∵，的面積為10，∴，∴，∵的面積是13，∴的面積是，∵是的平分線，，∴，∴，故選：A．6．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，若，則的面積是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形求出的長是解題關(guān)鍵．過E點(diǎn)作邊CD的高，然后證明出，根據(jù)相似三角形求出的長，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：過E點(diǎn)作邊的高，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故選A．7．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)O，則的面積與的面積的比為（

）A．1：2 B． C．1：4 D．【答案】C【分析】設(shè)小方格的邊長為1，根據(jù)等腰直角三角形和勾股定理求出AB和CD的長，再根據(jù)得到，然后利用相似三角形的性質(zhì)來求解．【詳解】解：如下圖，設(shè)小方格的邊長為1，∵、分別是邊長為1和2的等腰直角三角形，∴，，．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形面積比與相似比的關(guān)系，關(guān)鍵是判斷兩三角形相似，確定其相似比．8．（23-24八年級上·天津河?xùn)|·期中）如圖，的兩條中線，相交于點(diǎn)，已知的面積為，的面積為，則四邊形的面積為（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)為的重心得到，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：和為的兩條中線，∴點(diǎn)為的重心，的面積為4，的面積為2，，點(diǎn)為的重心，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，解題的關(guān)鍵是掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為．也考查了三角形的面積．9．（2024·甘肅酒泉·二模）如圖，在平行四邊形中，如果點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，與BD相交于點(diǎn)，若已知，那么等于（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】本題考查線段中點(diǎn)，平行四邊形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，得出，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，得出，，可證，利用相似三角形性質(zhì)得出，根據(jù)等高三角形面積比得出即可．【詳解】解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在平行四邊形中，，，，，，，，．故選：B．10．（23-24九年級·重慶·課后作業(yè)）如圖，為半圓O的直徑，弦相交于點(diǎn)P，如果，那么等于（

）A．16∶9 B．3∶4 C．4∶3 D．9∶16【答案】D【分析】根據(jù)圖形可得，，進(jìn)而得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，最后根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，∴，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理的運(yùn)用，解題時(shí)注意：相似三角形的面積的比等于相似比的平方．11．（22-23七年級下·江蘇南京·期末）如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，E、F分別是邊上的三等分點(diǎn)，連接分別交于G、H點(diǎn)，若的面積為90，則四邊形的面積為．

【答案】【分析】如圖:連接，設(shè)，，根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”可得、、、、，進(jìn)而列出二元一次方程組求解可得；同理：連接，設(shè)，，可得，最后根據(jù)即可解答．【詳解】解：如圖:連接，設(shè)，，

E、F分別是邊上的三等分點(diǎn)，的面積為90，∴，，，∵D是邊的中點(diǎn)，∴，∵,即，，即∴，解得：，即；如圖:連接，設(shè)，，

∴，∵,即，，即∴，解得：；∴,.．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中線、三角形的等分點(diǎn)、解二元一次方程組等知識點(diǎn)，通過做輔助線、明確各三角形之間的面積關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．12．（2024·上海·?？家荒＃┤鐖D，梯形中，，，點(diǎn)在的延長線上，與相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)．如果，那么與的面積之比等于．【答案】/【分析】根據(jù)和，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例和相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求解．【詳解】解：，，，與的面積之比，，，，令，則，設(shè)，，，，，與的面積之比是，與的面積之比是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用：相似三角形對應(yīng)邊成比例、相似三角形的面積比等于相似比的平方等性質(zhì)，是解此題的關(guān)鍵．13．如圖1，點(diǎn)D在邊上，我們知道若，則；反之亦然．如圖2，是的中線，點(diǎn)F在邊上，相交于點(diǎn)O，若，則．【答案】/【分析】本題主要考查三角形中線、三角形的面積，當(dāng)兩個(gè)三角形同底時(shí)，面積比等于高之比；當(dāng)兩個(gè)三角形同高時(shí)，面積比等于底之比．設(shè)，則，由可得，，設(shè)，則，于是，，利用列出方程，求得，則．【詳解】解：如圖，連接，是的中線，，，設(shè)，，，，，設(shè)，則，，，，，，．14．（23-24九年級上·福建泉州·階段練習(xí)）已知中，是邊上的中線，點(diǎn)G為重心，，若的面積為12，則的面積是．【答案】/【分析】先由三角形的重心的性質(zhì)可得：，再求解，再利用相似三角形的性質(zhì)求解，從而可得，再利用兩個(gè)三角形等高求解，從而可得答案．【詳解】解：點(diǎn)為重心，中，是邊上的中線，的面積為12，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”是解題的關(guān)鍵．15．（2024·河南鄭州·九年級校考期中）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），E，F(xiàn)在上，H，G分別在，上，且于點(diǎn)D，交于點(diǎn)N．(1)求證：(2)若，，設(shè)，則當(dāng)x取何值時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)見解析；(2)當(dāng)取1.5時(shí)，矩形的面積最大，，最大面積是6.75．【分析】（1）由，可證；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，表達(dá)出與的關(guān)系，進(jìn)而求出矩形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而解答．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，設(shè)矩形的面積為，則．∴當(dāng)取1.5時(shí)，矩形的面積最大，最大面積是6.75．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．16．（23-24八年級下·湖南永州·期末）課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用閱讀理解：如圖1，已知直線，直線a，b的距離為h，則三角形的面積為．

(1)【問題探究】如圖2，若點(diǎn)C平移到點(diǎn)D，求證：；(2)【深化拓展】如圖3，記、、、，根據(jù)圖形特征，試證明：；(3)【靈活運(yùn)用】如圖4，在平行四邊形中，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)O，已知，且，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查平行線間的距離，三角形的面積，掌握轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“等底等高”可得，從而，即可得證結(jié)論；（2）分別過點(diǎn)C、B作邊的垂線，記高分別、，根據(jù)三角形的面積可得出，從而得證結(jié)論；（3）連接，由得到，從而，進(jìn)而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，進(jìn)而，即可解答．【詳解】（1）證明：∵，，∴（等底等高），∴，∴（2）證明：如圖3分別過點(diǎn)C、B作邊的垂線，記高分別、，

則，∴，∴．（3）解：連接，

∵，∴，∴（兩個(gè)三角形等高，面積之比等于底邊之比），∵，∴，∵，∴由（1）可知，∵由（2）可知，，即，∴，∴∴．17．（23-24八年級下·山東青島·期末）問題解決：如圖1，中，為邊上的中線，則______.問題探究：（1）如圖2，分別是的中線，與相等嗎？解：中，由問題解決的結(jié)論可得，，.∴∴即.（2）圖2中，仿照（1）的方法，試說明.（3）如圖3，，，分別是的中線，則______，______，______.問題拓展：（1）如圖4，分別為四邊形的邊的中點(diǎn)，請直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系：______.（2）如圖5，分別為四邊形的邊的中點(diǎn)；請直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系：______.【答案】問題解決：（1）（2）見解析；（3），，；問題拓展：（1）；（2）；【分析】問題解決：（1）根據(jù)中線平方面積即可求解；（2）根據(jù)，分別減去△BOC的面積即可求解；（3）根據(jù)中線的性質(zhì)得到各小三角形的面積都相等，即可求解；問題拓展：（1）連接BD，根據(jù)問題解決（1）的結(jié)論即可求解；（2）連接BD，根據(jù)問題解決（2）的結(jié)論即可求解.【詳解】問題解決：（1）∵中，為邊上的中線，∴.（2）解：中，由問題解決的結(jié)論可得，，.∴∴即.（3）∵，，分別是的中線，由（2）可得∴，，.問題拓展：（1）如圖，連接BD，由問題解決（1）的結(jié)論得,,∴（2）如圖連接BD，根據(jù)問題解決（2）的結(jié)論得,,∴【點(diǎn)睛】此題主要考查中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三角形中線平分面積.18．（24-25九年級上·廣東深圳·期中）閱讀理解：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，我們稱這兩個(gè)三角形是共角三角形，這個(gè)角稱為對應(yīng)角．根據(jù)上述定義，判斷下列結(jié)論，正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”．（1）三角形一條中線分成的兩個(gè)三角形是共角三角形．（_____）（2）兩個(gè)等腰三角形是共角三角形．（_____）問題提出：小明在研究圖的時(shí)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)辄c(diǎn)，分別在和上，所以和是共角三角形，并且還發(fā)現(xiàn)．以下是小明的證明思路，請幫小明完善證明過程．證明：分別過點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，得到圖，，又，（_____），．，，即．延伸探究：如圖，已知，請你參照小明的證明方法，求證：．結(jié)論應(yīng)用：（1）如圖，在平行四邊形中，是邊上的點(diǎn)且滿足，延長到，連接交的延長線于，若，，，的面積為，則的面積是．（2）如圖，的面積為，延長的各邊，使，，，，則四邊形的面積為．【答案】閱讀理解：（）；（）；問題提出：，；延伸探究：證明見解析；結(jié)論應(yīng)用：（）；（）．【分析】閱讀理解：（）根據(jù)題中定義即可判斷；（）根據(jù)題中定義即可判斷；；問題提出：分別過點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明，然后根據(jù)題中定義即可；延伸探究：過作于，過作交的延長線于，則，然后根據(jù)題中定義即可；結(jié)論應(yīng)用：（）取的靠近三等分點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，得，然后代入即可求解；（）連接，由共角三角形的面積比等于對應(yīng)角兩邊的乘積之比得：，再根據(jù)即可求解；本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：閱讀理解：（）根據(jù)新定義可知，三角形一條中線分成的兩個(gè)三角形是共角三角形，故答案為：“”，（）兩個(gè)等腰三角形不一定是共角三角形，故答案為：；問題提出：證明：分別過點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖，∵，又∵，∴，∴，∵，∴，即，故答案為：，；延伸探究：證明：過作于，過作交的延長線于，則，∵，，∴，∴，∴，∵，∴；結(jié)論應(yīng)用：（）取的靠近三等分點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，，∴，，∴，∴，∴，故答案為：；（）如圖，連接，∵四邊形的面積為，∴，∵使，，，，∴由共角三角形的面積比等于對應(yīng)角兩邊的乘積之比得：，則，，則，，則，，則，∴，故答案為：．19．（2023·山東青島·二模）【模型】同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長度之比．已知，如圖，中，為線段上任意一點(diǎn)，連接，則有：．【模型應(yīng)用】（1）如圖，任意四邊形中，、分別是、邊的中點(diǎn)，連接、，若四邊形的面積為，則___________．（2）如圖，在任意四邊形中，點(diǎn)、分別是邊、上離點(diǎn)和點(diǎn)最近的三等分點(diǎn)，連接、，若四邊形的面積為，則___________