2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題23全等與相似模型之十字架模型解讀與提分精練（全國(guó)版）

專題23全等與相似模型之十字架模型幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的是形狀、大小和相對(duì)位置等幾何對(duì)象的性質(zhì)和變換。在初中幾何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識(shí)的一個(gè)重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點(diǎn)作梳理，幫助學(xué)生更好地理解和掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.正方形中的十字架模型（全等模型） 1模型2.矩形中的十字架模型（相似模型） 6模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型） 8模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型） 9 10模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個(gè)互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角及一組全等的三角形。條件：1）如圖1，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，AE⊥BF；結(jié)論：AE=BF。證明：四邊形是正方形，，，∴AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。條件：2）如圖2，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點(diǎn)，AE⊥GF；結(jié)論：AE=GF。證明：在FC上取一點(diǎn)P，使得GB=PF，連結(jié)BP。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同1）中證明，可得AE=GF。條件：3）如圖3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點(diǎn)，EH⊥GF；結(jié)論：HE=GF。證明：在FC、BE上取一點(diǎn)P、Q，使得GB=PF，AH=QE，連結(jié)BP、AQ。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同理可證得：四邊形是平行四邊形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中證明，可得HE=GF。例1．（2023.江蘇吳江九年級(jí)期中）如下圖，將邊長(zhǎng)為9cm的正方形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD上的E點(diǎn)，折痕為MN．若CE的長(zhǎng)為6cm，則MN的長(zhǎng)為cm．例2．（2023年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為．例3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，E、F分別是正方形的邊，上的點(diǎn)，且，，相交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④中，正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例4．（23-24江蘇九年級(jí)期中）蘇科版八下數(shù)學(xué)教材中，對(duì)正方形的性質(zhì)和判定進(jìn)行了探究，同時(shí)課本94頁(yè)第19題對(duì)正方形中特殊線段的位置和數(shù)量關(guān)系也進(jìn)行了探究，在此，我們也來(lái)作進(jìn)一步的探究，如圖1，探究所提供的正方形的邊長(zhǎng)都為2．【探究】(1)如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)E、F分別在、上，且，垂足為M，那么與相等嗎？證明你的結(jié)論．【應(yīng)用】(2)如圖3，在正方形中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊、上，將正方形沿直線折疊，使點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M始終落在邊上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，與交于點(diǎn)P，設(shè)，求線段的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．【拓展】(3)如圖4，在正方形中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相對(duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過(guò)平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。1）條件：如圖1，在矩形ABCD中，若E是AB上的點(diǎn)，且DE⊥AC，結(jié)論：.證明：四邊形為矩形，，；DE⊥AC，，，，，.2）條件：如圖2，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且EF⊥AC，結(jié)論：.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，則；四邊形為矩形，，四邊形為矩形，；；EF⊥AC，，；，，，易證：DC=AB，F(xiàn)G=BC，.3）條件：如圖3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點(diǎn)，EF⊥MN，結(jié)論：.證明：如圖：過(guò)點(diǎn)N、F作、垂直，；四邊形為矩形，，四邊形為矩形，；∵EF⊥MN，，∴；又∵（對(duì)頂角相等），∴；∴，，易證：NH=AB，F(xiàn)G=BC，.例1．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）矩形中，E為AD邊上一點(diǎn)，且，．將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)交CD邊于點(diǎn)H，且，則線段的長(zhǎng)為．例2．（22-23下·衢州·二模）在矩形中，E是邊的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，射線與直線交于點(diǎn)P，設(shè)．(1)如圖①，若，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)D重合時(shí)，試確定m的值；(3)作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)P，D，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求的值．例3．（2023年河南九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊，，，上，且于點(diǎn)O．試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系為__________；【類比探究】(2)如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊，，，上，連接，，且，垂足為O．試寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在四邊形中，，，點(diǎn)M，N分別在邊，上，連接，，且，垂足為O．已知，，若點(diǎn)M為的三等分點(diǎn)，直接寫出線段的長(zhǎng)．模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）條件：如圖1，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），結(jié)論：①AD=BE，②AD和BE夾角為60°，③。證明：如圖，在等邊中，，，在與中，，，∴AD=BE，；，∴AD和BE夾角為60°；，，，同理：，例1．（23·24下·淄博·一模）如圖，等邊，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，，連接AF，BE，相交于點(diǎn)P．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．例2．（23·24·南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)，，分別交，于點(diǎn)D，E．若，，則的周長(zhǎng)等于．

例3．（23·24下·吉安·模擬預(yù)測(cè)）課本再現(xiàn)：(1)如圖1，D，E分別是等邊三角形的兩邊上的點(diǎn)，且．求證：．下面是小涵同學(xué)的證明過(guò)程：證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴，∴．小涵同學(xué)認(rèn)為此題還可以得到另一個(gè)結(jié)論：的度數(shù)是；遷移應(yīng)用：(2)如圖2，將圖1中的延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接．利用（1）中的結(jié)論完成下面的問(wèn)題．①求證：；②若，求證：；拓展提升：(3)在等邊中，若點(diǎn)D，E分別在射線上，連接交于點(diǎn)F，且，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，且使得．直線與直線交于點(diǎn)P，若，則的值為

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）該模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形兩類情況討論。1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：條件：如圖2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，結(jié)論：①D為BC中點(diǎn)，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。證明：不妨把①②作為條件，來(lái)證明③--⑦的五個(gè)結(jié)論。如圖1，過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線交BF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90°∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB，∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH，易證：四邊形ABCG為正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°，∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD，∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴，∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易證：，∴EA：QC=AF：CF=2：1?！郃E=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC為等腰直角三角形，∴∠QEC=45°，∴∠AEC=135°，。2）直角三角形中的十字模型：如圖3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D為BC中點(diǎn)，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。（全等+相似）證明：不妨把①②作為條件，來(lái)證明③--⑦的五個(gè)結(jié)論。由于該模型證明主要結(jié)合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再詳細(xì)證明，有興趣的同學(xué)可以自行證明即可。例1．（23·24上·深圳·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．則的長(zhǎng)為．例2．（23·24下·滄州·二模）如圖，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，D．若，則例3．（23·24下·三明·期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為M，交于點(diǎn)E．

(1)小亮通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；(2)如圖②，平分交于點(diǎn)N，小明通過(guò)度量猜想有，他的猜想正確嗎？請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；(3)如圖③，連接，若D是的中點(diǎn)，小剛通過(guò)探究得到結(jié)論，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由．1．（23-24江蘇八年級(jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD紙片沿EF折疊，點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，CG與EF交于點(diǎn)P，取GH的中點(diǎn)Q，連接PQ，則GPQ的周長(zhǎng)最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023安徽省蕪湖市九年級(jí)期中）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F、H分別是的中點(diǎn)，交于G，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．正確的有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（23·24下·貴港·一模）如圖，在等邊的，邊上各任取一點(diǎn)，，且，，相交于點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6PO；②若，，則，③，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（23·24·德州·二模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F．將△AMF沿AB翻折得到△ANF．延長(zhǎng)DM，AN交于點(diǎn)P．給出以下結(jié)論①；②；③；④若，則；．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④5．（23·24下·江門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．點(diǎn)D是線段BC上的一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，分別交AD、AB于點(diǎn)G、E，與過(guò)點(diǎn)B且垂直于BC的直線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接DE．則=；6．（23·24下·山西·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線BD，垂足為H，交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為．7．（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，下面結(jié)論：①若是邊上的中線，則；②若平分，則；③若，則；④當(dāng)時(shí)，．正確的有（填序號(hào)）．

8．（23·24上·珠?！て谥校┰谥?，，，D為中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)M．過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的有（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）①；②；③連接，則有是等邊三角形；④連接，則有垂直平分．

9．（23·24上·無(wú)錫·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為3的等邊中，D、E分別為邊上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，．若，則．10．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在矩形中，F(xiàn)是上一點(diǎn)，平分交于點(diǎn)E，且，垂足為點(diǎn)M，，，則的長(zhǎng)是11．（2023·北京海淀·一模）如圖，正方形中，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)；(1)_______．(2)在線段上截取，連接的角平分線交于點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．12．（2024·河南·一模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正方形中，已知，求證：．甲小組同學(xué)的證明思路如下：由同角的余角相等可得．再由，，證得（依據(jù)：________），從而得．乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知，同樣可證得，證明思路如下：由，可證得，可得，再根據(jù)角的等量代換即可證得．完成任務(wù)：（1）填空：上述材料中的依據(jù)是________（填“”或“”或“”或“”）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】同學(xué)們通過(guò)交流后發(fā)現(xiàn)，已知可證得，已知同樣可證得，為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究．【遷移探究】（2）在正方形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)M，N分別在上，連接交于點(diǎn)P．甲小組同學(xué)根據(jù)畫出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)畫出圖形如圖3所示．甲小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知仍能證明，乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知無(wú)法證明一定成立．

①在圖2中，已知，求證：；②在圖3中，若，則的度數(shù)為多少?【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)M在邊上，且，點(diǎn)F，N分別在直線上，若，當(dāng)直線與直線所夾較小角的度數(shù)為時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．13．（23-24八年級(jí)上·湖北宜昌·期中）請(qǐng)閱讀，完成證明和填空．九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長(zhǎng)廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：(1)如圖1，正三角形中，在、邊上分別取點(diǎn)、，使，連結(jié)、，發(fā)現(xiàn)，且.請(qǐng)證明：.(2)如圖2，正方形中，在、邊上分別取點(diǎn)、，使，連結(jié)、，那么______，且______度．(3)如圖3，正五邊形中，在、邊上分別取點(diǎn)、，使，連結(jié)、，那么______，且______度．(4)在正n邊形中，對(duì)相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過(guò)程，也會(huì)有類似的結(jié)論．請(qǐng)大膽猜測(cè)，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)：________________________________．14．（23-24八年級(jí)下·江西宜春·期中）[特例感知]如圖1，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)G．（1）易證，可知、的關(guān)系為___________；（2）連接，若，求的長(zhǎng)．[初步探究]如圖2，在正方形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，分別交、于F、G，垂足為O．求證：．[基本應(yīng)用]如圖3，將邊長(zhǎng)為6的正方形折疊，使得點(diǎn)A落在邊的中點(diǎn)M處，折痕為，點(diǎn)P、Q分別在邊、上，請(qǐng)直接寫出折痕的長(zhǎng)：________．[應(yīng)用拓展]如圖4，在四邊形中，，，，，于E，交于F，則長(zhǎng)為________．15．（23·24下·成都市·九年級(jí)期中）已知四邊形中，、分別是、邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）如圖①，若四邊形是矩形，且，求證：；（2）如圖②，若四邊形是平行四邊形，試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若，，，，請(qǐng)直接寫出的值．

16．（23-24九年級(jí)下·江蘇連云港·期中）【實(shí)踐探究】（1）如圖1，矩形中，交于點(diǎn)E，則的值是______；【變式探究】（2）如圖2，中，為邊上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，若，求的長(zhǎng)；【靈活應(yīng)用】（3）如圖3，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，以為折痕，將四邊形翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)N，若，設(shè)的面積為的面積為的面積為，若，則的值為_______．

17．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關(guān)于直線對(duì)稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．18．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）【數(shù)學(xué)模型】（1）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，垂足為點(diǎn)，則．【模型探究】（2）如圖2，在平行四邊形中，點(diǎn)、分別在邊、上，與交于點(diǎn)，且，請(qǐng)證明：；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，白云小區(qū)有一塊四邊形綠地，為了居民出行方便計(jì)劃在四邊形中修兩條小路，在邊上取一點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，、即為規(guī)劃的兩條小路，其中，，，且，求兩條小路長(zhǎng)度的比，即求的值．

專題23全等與相似模型之十字架模型幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的是形狀、大小和相對(duì)位置等幾何對(duì)象的性質(zhì)和變換。在初中幾何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識(shí)的一個(gè)重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點(diǎn)作梳理，幫助學(xué)生更好地理解和掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.正方形中的十字架模型（全等模型） 1模型2.矩形中的十字架模型（相似模型） 7模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型） 12模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型） 17 22模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個(gè)互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角及一組全等的三角形。條件：1）如圖1，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，AE⊥BF；結(jié)論：AE=BF。證明：四邊形是正方形，，，∴AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。條件：2）如圖2，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點(diǎn)，AE⊥GF；結(jié)論：AE=GF。證明：在FC上取一點(diǎn)P，使得GB=PF，連結(jié)BP。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同1）中證明，可得AE=GF。條件：3）如圖3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點(diǎn)，EH⊥GF；結(jié)論：HE=GF。證明：在FC、BE上取一點(diǎn)P、Q，使得GB=PF，AH=QE，連結(jié)BP、AQ。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同理可證得：四邊形是平行四邊形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中證明，可得HE=GF。例1．（2023.江蘇吳江九年級(jí)期中）如下圖，將邊長(zhǎng)為9cm的正方形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD上的E點(diǎn)，折痕為MN．若CE的長(zhǎng)為6cm，則MN的長(zhǎng)為cm．【答案】3【分析】根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化得出∠MWE=∠AWM=90°，進(jìn)而得出∠DAE=∠DAE，再證明△NFM≌△ADE，然后利用勾股定理的知識(shí)求出MN的長(zhǎng)．【詳解】解：作NF⊥AD，垂足為F，連接AE，NE，∵將正方形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD上的E點(diǎn)，折痕為MN，∴∠D=∠AHM=90°，∠DAE=∠DAE，∴△AHM∽△ADE，∴∠AMN=∠AED，在△NFM和△ADE中∵，∴△NFM≌△ADE（AAS），∴FM=DE=CD-CE=3cm，又∵在Rt△MNF中，F(xiàn)N=9cm，∴根據(jù)勾股定理得：MN==3（cm）．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的翻折變換，根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化得出三角形的全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，難度一般．例2．（2023年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)題意證明，，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，又，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，E、F分別是正方形的邊，上的點(diǎn)，且，，相交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④中，正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．根據(jù)四邊形是正方形及，可證出，則得到：①；可判斷④；可以證出，則②一定成立；用反證法可證明，即可判斷③．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，在和中，，，（故①正確）；∴∵四邊形是正方形，∴∴（故④正確）；∴∵四邊形是正方形，∴，，∴一定成立（故②正確）；假設(shè)，，（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），在中，，，這與正方形的邊長(zhǎng)相矛盾，假設(shè)不成立，（故③錯(cuò)誤）；∴正確的有①②④共3個(gè)正確，故選：C．例4．（23-24江蘇九年級(jí)期中）蘇科版八下數(shù)學(xué)教材中，對(duì)正方形的性質(zhì)和判定進(jìn)行了探究，同時(shí)課本94頁(yè)第19題對(duì)正方形中特殊線段的位置和數(shù)量關(guān)系也進(jìn)行了探究，在此，我們也來(lái)作進(jìn)一步的探究，如圖1，探究所提供的正方形的邊長(zhǎng)都為2．【探究】(1)如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)E、F分別在、上，且，垂足為M，那么與相等嗎？證明你的結(jié)論．【應(yīng)用】(2)如圖3，在正方形中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊、上，將正方形沿直線折疊，使點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M始終落在邊上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，與交于點(diǎn)P，設(shè)，求線段的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．【拓展】(3)如圖4，在正方形中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）據(jù)正方形的性質(zhì)，可證出，即可得證；（2）過(guò)作，交于，連接，由（1）得同理可證：，由折疊的性質(zhì)在中即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，可求解．【詳解】（1）．證明：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，．（2）解：過(guò)作，交于，連接，四邊形是正方形，，四邊形是平行四邊形，，將正方形沿直線折疊，使點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M始終落在邊，，，，，，由（1）得同理可證：，，設(shè)，，，，，，在中，，整理得：，．（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，四邊形是平行四邊形，，，由（2）可證：，，四邊形是正方形，，，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，的值最小，的值最?。军c(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)線段最小值問(wèn)題，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，會(huì)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的特征找出線段和最小值的條件是解題的關(guān)鍵．模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相對(duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過(guò)平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。1）條件：如圖1，在矩形ABCD中，若E是AB上的點(diǎn)，且DE⊥AC，結(jié)論：.證明：四邊形為矩形，，；DE⊥AC，，，，，.2）條件：如圖2，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且EF⊥AC，結(jié)論：.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，則；四邊形為矩形，，四邊形為矩形，；；EF⊥AC，，；，，，易證：DC=AB，F(xiàn)G=BC，.3）條件：如圖3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點(diǎn)，EF⊥MN，結(jié)論：.證明：如圖：過(guò)點(diǎn)N、F作、垂直，；四邊形為矩形，，四邊形為矩形，；∵EF⊥MN，，∴；又∵（對(duì)頂角相等），∴；∴，，易證：NH=AB，F(xiàn)G=BC，.例1．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）矩形中，E為AD邊上一點(diǎn)，且，．將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)交CD邊于點(diǎn)H，且，則線段的長(zhǎng)為．【答案】/3.5【分析】過(guò)E作于M，根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求得，可求得，證明，求得和，設(shè)，證明四邊形是矩形，得到，，在中，，，由勾股定理求解即可．【詳解】解：過(guò)E作于M，如圖，則，∵四邊形是矩形，，∴，，∵沿翻折到處，，∴，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，則，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，，

設(shè)，∵∴四邊形是矩形，∴，，在中，，，由勾股定理得，則，解得，∴．∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、翻折性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解是解答的關(guān)鍵．例2．（22-23下·衢州·二模）在矩形中，E是邊的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，射線與直線交于點(diǎn)P，設(shè)．(1)如圖①，若，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)D重合時(shí)，試確定m的值；(3)作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)P，D，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)或2或【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明△ABE≌△BCP即可．(2)設(shè)BE=EC=x，則BC=AD=2x，證明△ADF∽△BDA，△ADF∽△EBF即可．(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況求解．【詳解】（1）如圖，∵=1，四邊形ABCD是矩形，∴AD=AB，∴四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCP=90°，∵，∴∠BAE=∠CBP，∴△ABE≌△BCP，∴AE=BP．（2）∵矩形中，E是邊的中點(diǎn)，∴設(shè)BE=EC=x，則BC=AD=2x，∠BAD=90°．∵，∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴，∵四邊形是矩形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴，∴，解得，（舍去），∴BD=DF+EF=3EF=，∴，∴．（3）當(dāng)時(shí)，∵四邊形是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=∠BCP=90°，∵E是邊的中點(diǎn)，，∴AD=BC=2BE，∠PFE=90°，∵P，D，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，∴，∴，∴，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴sin∠BAE=，∴∠BAE=30°，根據(jù)（1）證明，得∠BAE=∠CBP=30°，∴tan∠BAE=tan30°=，tan∠CBP=tan30°=，∴，，∴=．如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)落在AD上，根據(jù)題意，得∠BAF=∠AF=45°，∴∠PD=∠PD=45°，∴，∵∠BAF=45°，∴∠BEA=45°，∴四邊形ABE是正方形，故是AD的中點(diǎn)，∴=CD，∴=．如圖，∵，設(shè)AB=x，則AD=mx，BE=，∵∠ABG=90°-∠FBE，∠AEB=90°-∠FBE，∴∠ABG=∠AEB，∴tan∠ABG=tan∠AEB，∴，∴，解得AG=，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，三角形的相似和特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023年河南九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊，，，上，且于點(diǎn)O．試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系為__________；【類比探究】(2)如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊，，，上，連接，，且，垂足為O．試寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在四邊形中，，，點(diǎn)M，N分別在邊，上，連接，，且，垂足為O．已知，，若點(diǎn)M為的三等分點(diǎn)，直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析(3)或．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)H作交于N，過(guò)點(diǎn)G作交于M，證明即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)H作交于Q，過(guò)點(diǎn)G作交于P，由（1）可得，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作于S，根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)已知條件得到或，根據(jù)勾股定理得到或，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：相等，理由如下：過(guò)點(diǎn)H作交于N，過(guò)點(diǎn)G作交于M，∵四邊形是正方形，∴，四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：相等；（2）解：；理由：過(guò)點(diǎn)H作交于Q，過(guò)點(diǎn)G作交于P，∴，由（1）同理可得，，，，∴，∴，∵，，∴，，∴；∴；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作于S，∴，∵，，∴，∵點(diǎn)M為的三等分點(diǎn)，，∴或，∵，∴或，由（2）同理可得：，∴，∴或，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）條件：如圖1，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），結(jié)論：①AD=BE，②AD和BE夾角為60°，③。證明：如圖，在等邊中，，，在與中，，，∴AD=BE，；，∴AD和BE夾角為60°；，，，同理：，例1．（23·24下·淄博·一模）如圖，等邊，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，，連接AF，BE，相交于點(diǎn)P．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明，利用三角形的外角性質(zhì)即可得解；（2）證明，利用對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例列式即可．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，，∴．∵∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．例2．（23·24·南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)，，分別交，于點(diǎn)D，E．若，，則的周長(zhǎng)等于．

【答案】【分析】作于點(diǎn)F，在等邊中，，，可求，，根據(jù)勾股定理可求，再利用相似三角形的判定定理可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，即，求得，，，即可求的周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，

∵在等邊中，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，在中，，∵P是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴的周長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，作出輔助線，求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．例3．（23·24下·吉安·模擬預(yù)測(cè)）課本再現(xiàn)：(1)如圖1，D，E分別是等邊三角形的兩邊上的點(diǎn)，且．求證：．下面是小涵同學(xué)的證明過(guò)程：證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴，∴．小涵同學(xué)認(rèn)為此題還可以得到另一個(gè)結(jié)論：的度數(shù)是；

遷移應(yīng)用：(2)如圖2，將圖1中的延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接．利用（1）中的結(jié)論完成下面的問(wèn)題．①求證：；②若，求證：；拓展提升：(3)在等邊中，若點(diǎn)D，E分別在射線上，連接交于點(diǎn)F，且，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，且使得．直線與直線交于點(diǎn)P，若，則的值為【答案】(1)60°(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(3)2或3【分析】（1）由全等的性質(zhì)，得角相等，作等量代換得證結(jié)論；（2）①求證，得，相應(yīng)可證，于是；②可證，得，相應(yīng)的，可證得；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在上時(shí)，由，得，可求證是等邊三角形，進(jìn)一步求證，得，從而；如圖4，當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證是等邊三角形，得，進(jìn)一步求證，得，求證CB=2BD，所以CP=3BP，．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2）證明：①由（1）知，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴．∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在上時(shí)，

∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，由②知AD=2BD，∴；如圖4，當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵,∴.∵,∴,∵,∴∴是等邊三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；當(dāng)屬于動(dòng)點(diǎn)情況時(shí)，注意分類討論，情況完備是解題的關(guān)鍵．模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）該模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形兩類情況討論。1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：條件：如圖2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，結(jié)論：①D為BC中點(diǎn)，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。證明：不妨把①②作為條件，來(lái)證明③--⑦的五個(gè)結(jié)論。如圖1，過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線交BF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90°∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB，∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH，易證：四邊形ABCG為正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°，∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD，∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴，∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易證：，∴EA：QC=AF：CF=2：1?！郃E=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC為等腰直角三角形，∴∠QEC=45°，∴∠AEC=135°，。2）直角三角形中的十字模型：如圖3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D為BC中點(diǎn)，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。（全等+相似）證明：不妨把①②作為條件，來(lái)證明③--⑦的五個(gè)結(jié)論。由于該模型證明主要結(jié)合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再詳細(xì)證明，有興趣的同學(xué)可以自行證明即可。例1．（23·24上·深圳·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】以為鄰邊作正方形，延長(zhǎng)交為，先求出，再證明出，得出即為的中點(diǎn)，再證明，利用相似比及勾股定理即可求解．【詳解】解：以為鄰邊作正方形，延長(zhǎng)交為，如下圖：，，，在和中，，，，，，即為的中點(diǎn)，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)、三角形全等、正方形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似比來(lái)求解．例2．（23·24下·滄州·二模）如圖，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，D．若，則【答案】D【分析】由，可確定A項(xiàng)正確；由可得，進(jìn)而由確定點(diǎn)F為的三等分點(diǎn)，可確定B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，得到為圓的直徑，因?yàn)?，根?jù)垂徑定理得到，故C項(xiàng)正確；因?yàn)镈為的三等分點(diǎn)，即，可得，由此確定D項(xiàng)錯(cuò)誤．【詳解】解：依題意可得，∴，∴，又，∴．故A項(xiàng)正確；如圖，∵，，∴．在與中，，∴，∴，又∵，∴；∵為等腰直角三角形，∴；∴；∵，∴，∴，∴．故B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，∴是B、C、F、D四點(diǎn)所在圓的直徑，∵，∴，∴，故C項(xiàng)正確；∵，，，∴，∴，，∴，∴；∴．故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用，有一定的難度．對(duì)每一個(gè)結(jié)論，需要仔細(xì)分析，嚴(yán)格論證；注意各結(jié)論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，需要善加利用．例3．（23·24下·三明·期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為M，交于點(diǎn)E．

(1)小亮通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；(2)如圖②，平分交于點(diǎn)N，小明通過(guò)度量猜想有，他的猜想正確嗎？請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；(3)如圖③，連接，若D是的中點(diǎn)，小剛通過(guò)探究得到結(jié)論，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由．【答案】(1)理由見(jiàn)解析；(2)正確，理由見(jiàn)解析；(3)理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用互余和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解，即可證明猜想；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，證明，即可證明猜想；（3）根據(jù)，得到，，再證明，得到，即可證明猜想．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：猜想正確，理由如下：，，，平分，，，在和中，，，；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作平分交于點(diǎn)N，由（2）可知，，，，平分，，D是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．1．（23-24江蘇八年級(jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD紙片沿EF折疊，點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，CG與EF交于點(diǎn)P，取GH的中點(diǎn)Q，連接PQ，則GPQ的周長(zhǎng)最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BP，取CD的中點(diǎn)M，連接PM，根據(jù)折疊的性質(zhì)，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周長(zhǎng)的最小值，只需求PM+PB的最小值，當(dāng)M、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解．【詳解】解：連接BP，取CD的中點(diǎn)M，連接PM，由折疊可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，在Rt△BCG中，P是CG的中點(diǎn)，∴BP＝PG＝GC，∵Q是GH的中點(diǎn)，∴QG＝GH，∴△GPQ的周長(zhǎng)＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD，∵CD＝3，∴△GPQ的周長(zhǎng)＝PM+PB+，當(dāng)M、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，BM＝，∴△GPQ的周長(zhǎng)的最小值為.故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的翻折變換，熟練掌握正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023安徽省蕪湖市九年級(jí)期中）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F、H分別是的中點(diǎn)，交于G，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．正確的有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用正方形的性質(zhì)找條件證明，則，由得到，則，即可判斷①；連接，同理可得：，，在中，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，即可判斷④；可得是等腰三角形，由等腰三角形三線合一得到，垂直平分，；假設(shè)，推出矛盾，則，即可判斷②；證明是等腰三角形，由三線合一可知，由得到，由得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，即可判斷③．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，

∵點(diǎn)E、F、H分別是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故①正確；連接，如圖所示：同理可得：，，在中，H是邊的中點(diǎn)，∴，即；故④正確；∵，∴是等腰三角形，∴，垂直平分，∴；若，則是等邊三角形，則，，則，而，與矛盾，∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵，∴是等腰三角形，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故③正確；正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（23·24下·貴港·一模）如圖，在等邊的，邊上各任取一點(diǎn)，，且，，相交于點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6PO；②若，，則，③，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段的和差得到，過(guò)作交于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到正確；過(guò)作于，解直角三角形得到正確；在根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到正確．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，過(guò)作交于，∽，∽，，，，，；故①正確；過(guò)作于，則，，，，，故正確；在等邊中，，，在與中，，≌，，，，∽，，，

故正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（23·24·德州·二模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F．將△AMF沿AB翻折得到△ANF．延長(zhǎng)DM，AN交于點(diǎn)P．給出以下結(jié)論①；②；③；④若，則；．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)證明∠BAE=∠ADM，從而得到△ABE≌△DAF，可判斷①；再由翻折的性質(zhì)證明∠FAN=∠FAM=∠ADM，從而可得，得到，可判斷③；再由得到相似比，可得面積之比，可判斷④.【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°，∵DM⊥AE，∴∠DMA=90°，即∠ADM+∠DAM=90°，∴∠BAE=∠ADM，∴△ABE≌△DAF（AAS），故①正確；∵△ANF由△AMF翻折得到，∴∠FAN=∠FAM=∠ADM，∵∠P=∠P，∴，故②正確；∴，∴，故③正確；∵，∴AF：AD=2:3,則△APF和△DPA的相似比為2:3，∴，∴，故④正確.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)已知條件證明.5．（23·24下·江門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．點(diǎn)D是線段BC上的一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，分別交AD、AB于點(diǎn)G、E，與過(guò)點(diǎn)B且垂直于BC的直線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接DE．則=；【答案】【分析】先證，得到，再通過(guò)證明，為等腰直角三角形得出，即可求解．【詳解】CG⊥AD∠ACB=90°又，為等腰直角三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．（23·24下·山西·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線BD，垂足為H，交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作FC⊥BC于C，延長(zhǎng)BD交CF于F，證明△ABE≌△BCF（ASA），得BE＝CF，再證明△ABD∽△CFD，列比例式可得結(jié)論．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作FC⊥BC于C，延長(zhǎng)BD交CF于F，∵∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴AB∥CF，∵AE⊥BD，∴∠AHB＝∠BAH+∠ABH＝90°，∵∠ABH+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠BAH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵AE是BC邊上的中線，∴BE＝BC＝1，∴CF＝1，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∵AB∥CF，∴∠BAD＝∠DCF，∠ABD＝∠DFC，∴△ABD∽△CFD，∴，即，解得：AD＝．故答案為：【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．7．（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，下面結(jié)論：①若是邊上的中線，則；②若平分，則；③若，則；④當(dāng)時(shí)，．正確的有（填序號(hào)）．

【答案】①②③④【分析】根據(jù)勾股定理，再利用三角形面積公式求得，即可判斷①；過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推出，再由相似三角形的性質(zhì)即可判斷②；過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，證明，可得，再根據(jù)平行線的判定可得，從而證得，再由相似三角形的性質(zhì)即可判斷③；過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推得，，，再由相似三角形的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故①正確，符合題意；如圖，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∴，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∴，∴，∵，∴，∴，又，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故③正確，符合題意；如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，

當(dāng)時(shí)，∴是的中位線，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故④符合題意；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理及平行線的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．8．（23·24上·珠?！て谥校┰谥?，，，D為中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)M．過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的有（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）①；②；③連接，則有是等邊三角形；④連接，則有垂直平分．

【答案】①②④【分析】①根據(jù)證明即可；②證明，得出，即可證明；③根據(jù)，得出，根據(jù)，得出，證明不可能是等邊三角形；④根據(jù)，得出，，說(shuō)明點(diǎn)M、B在線段的垂直平分線上，證明垂直平分．【詳解】解：①∵，，∴，∴，∴，∵∴，故①正確；②∵在中，，，∴，∵，∴，∵D為中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；③∵，∴，∵在中，∴，∴不可能是等邊三角形，故③錯(cuò)誤；

④∵，∴，，∴點(diǎn)M、B在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，余角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．9．（23·24上·無(wú)錫·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為3的等邊中，D、E分別為邊上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，．若，則．【答案】/度【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于F，證明得到，利用三角形外角的性質(zhì)即可推出，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，從而求出BF，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明，得到，即可求出，從而求出，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于F，∵是等邊三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在矩形中，F(xiàn)是上一點(diǎn)，平分交于點(diǎn)E，且，垂足為點(diǎn)M，，，則的長(zhǎng)是【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于利用三角形相似構(gòu)造方程求得對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度．根據(jù)已知證，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明，得出，然后證明，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于a、x的方程，求解即可．【詳解】解：∵平分交于點(diǎn)E，且，，∴，又∵，∴，設(shè)，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，解得：，故答案：11．（2023·北京海淀·一模）如圖，正方形中，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)；(1)_______．(2)在線段上截取，連接的角平分線交于點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析；②【分析】本題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，合理作出輔助線．（1）通過(guò)證明，得出，根據(jù)，得出，即可解答；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②過(guò)點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，先證明，得出，則，再證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形為正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）解：①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示：②證明：過(guò)點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．12．（2024·河南·一模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正方形中，已知，求證：．甲小組同學(xué)的證明思路如下：由同角的余角相等可得．再由，，證得（依據(jù)：________），從而得．乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知，同樣可證得，證明思路如下：由，可證得，可得，再根據(jù)角的等量代換即可證得．完成任務(wù)：（1）填空：上述材料中的依據(jù)是________（填“”或“”或“”或“”）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】同學(xué)們通過(guò)交流后發(fā)現(xiàn)，已知可證得，已知同樣可證得，為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究．【遷移探究】（2）在正方形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)M，N分別在上，連接交于點(diǎn)P．甲小組同學(xué)根據(jù)畫出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)畫出圖形如圖3所示．甲小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知仍能證明，乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知無(wú)法證明一定成立．

①在圖2中，已知，求證：；②在圖3中，若，則的度數(shù)為多少?【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)M在邊上，且，點(diǎn)F，N分別在直線上，若，當(dāng)直線與直線所夾較小角的度數(shù)為時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析；②；（3）或【分析】（1）先證明，結(jié)合，可知根據(jù)即可證明；（2）①作于點(diǎn)H，先證明，然后根據(jù)即可證明即可證明結(jié)論成立；②于點(diǎn)L，同理可證，從而，然后利用直角三角形兩銳角互余和三角形外角的性質(zhì)即可求解；（3）①當(dāng)N、F在邊上時(shí)，作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，則四邊形和四邊形都是矩形，同理可證，求出，設(shè)，則，利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．當(dāng)N、F在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可求出的長(zhǎng)【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴．∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：；（2）①作于點(diǎn)H，∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，∴，，∴．

．∵，∴，∴，∴，∴；②作于點(diǎn)L，同理可證四邊形是矩形，∴．∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：①當(dāng)N、F在邊上時(shí)，如圖，，作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，則四邊形和四邊形都是矩形，同理可證，∴．∵，∴，∴．∵，∴∵，∴，∴．設(shè)，則，∵，∴，∴（負(fù)值舍去），∴．②當(dāng)N、F在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，同理可得：，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．13．（23-24八年級(jí)上·湖北宜昌·期中）請(qǐng)閱讀，完成證明和填空．九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長(zhǎng)廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：(1)如圖1，正三角形中，在、邊上分別取點(diǎn)、，使，連結(jié)、，發(fā)現(xiàn)，且.請(qǐng)證明：.(2)如圖2，正方形中，在、邊上分別取點(diǎn)、，使，連結(jié)、，那么______，且______度．(3)如圖3，正五邊形中，在、邊上分別取點(diǎn)、，使，連結(jié)、，那么______，且______度．(4)在正n邊形中，對(duì)相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過(guò)程，也會(huì)有類似的結(jié)論．請(qǐng)大膽猜測(cè)，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)：________________________________．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，(3)，(4)所連接的兩條線段相等，所求的角恰好等于正邊形的內(nèi)角.【分析】（1）利用是正三角形，可得，，又因，所以，，所以；（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，，；（3）同（1），利用三角形全等可知在正五邊形中，，．（4）根據(jù)（1）（2）（3）的答案，總結(jié)歸納出結(jié)論即可；【詳解】（1）證明：∵是正三角形，∴，.在和中，，∴.∴.又∵，∴.又∵，∴.（2）解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即；（3）解：∵五邊形是正五邊形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．（4）解：所連接的兩條線段相等，所求的角恰好等于正邊形的內(nèi)角.【點(diǎn)睛】本題以正多邊形為背景，以正三角形為切入點(diǎn)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的類比、改造、延伸和拓展來(lái)檢測(cè)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.啟示我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要在“做數(shù)學(xué)”，而不是“背數(shù)學(xué)”.14．（23-24八年級(jí)下·江西宜春·期中）[特例感知]如圖1，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)G．（1）易證，可知、的關(guān)系為___________；（2）連接，若，求的長(zhǎng)．[初步探究]如圖2，在正方形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，分別交、于F、G，垂足為O．求證：．[基本應(yīng)用]如圖3，將邊長(zhǎng)為6的正方形折疊，使得點(diǎn)A落在邊的中點(diǎn)M處，折痕為，點(diǎn)P、Q分別在邊、上，請(qǐng)直接寫出折痕的長(zhǎng)：________．[應(yīng)用拓展]如圖4，在四邊形中，，，，，于E，交于F，則長(zhǎng)為________．【答案】特例感知：（1）且；（2）6；初步探究：見(jiàn)解析；基本應(yīng)用：；應(yīng)用拓展：【分析】[特例感知]（1）由“SAS”可證，即可得出結(jié)論；（2）由“AAS”可證，可得AD=BH，由直角三角形的性質(zhì)可求得的長(zhǎng)；[初步探究]“ASA”可證，可得DE=DH=FG；[基本應(yīng)用]由全等三角形的性質(zhì)可證PQ=AM，由勾股定理可求解；[應(yīng)用拓展]由“AAS”可證,可得AH=BE,DH=AE，由“ASA"可證,可得DE=AF=．【詳解】[特例感知]解：（1）∵四邊形是正方形,∴,∵點(diǎn)，是，的中點(diǎn),∴，，∴，在和中∴，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：且．（2）解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵四邊形是正方形，∴且，∴，又∵，∴，∴，又由（1）知：，∴，∴在中，，∴．[初步探究]過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，交DE于N,∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴．[基本應(yīng)用]如圖，連接AM,過(guò)點(diǎn)作于H點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形ABQH是矩形，∴HQ=AB=6,由折疊可知PQ⊥AM，∴，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，在和中∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在中，由勾股定理得，，∴=．故答案為：．[應(yīng)用拓展]過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理,折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（23·24下·成都市·九年級(jí)期中）已知四邊形中，、分別是、邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）如圖①，若四邊形是矩形，且，求證：；（2）如圖②，若四邊形是平行四邊形，試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若，，，，請(qǐng)直接寫出的值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出，由角的互余關(guān)系得出，即可得出；（2）在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，由等腰三角形的性質(zhì)得出．由平行四邊形的性質(zhì)得出，，證出，得出，因此．證明，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論；（3）連接、，交于點(diǎn)，作于，由勾股定理求出，由證明，得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，證明，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出，由勾股定理求出，由的面積求出，證明，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，成立，理由如下：如圖所示，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，則．

∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴．∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接、，交于點(diǎn)，作于，∵，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定