2025年北師版八年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第06講 角平分線

第06講角平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解角平分線的性質(zhì)；2．掌握角平分線的判定；3.知道三角形三條角平分線的交點的性質(zhì)；4.掌握角平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖.知識點1角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.已知：如圖1-22,OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).知識點2角平分線的判定思考：你能寫出這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?定理在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.已知：如圖1-23,點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的對應(yīng)角相等).∴OP平分∠AOB.知識點3三角形三條角平分線的交點例1求證：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.已知：如圖1-25,在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P,過點P分別作AB,BC,AC的垂線，垂足分別為D,E,F.求證：∠A的平分線經(jīng)過點P,且PD=PE=PF.證明：∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分別為D,E,∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點P在∠A的平分線上(在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上),即∠A的平分線經(jīng)過點P.知識點4尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖：

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.考點一:角平分線的性質(zhì)例1．如圖，已知點在的平分線上，于點，于點，若，則長（

）A．4 B．6 C．8 D．10【變式1-1】．如圖，在中，，D是上一點，且，若，則點D到的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-2】．如圖，射線是的平分線，，，若點Q是射線上一動點，則線段的長度不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-3】．如圖，在中，，平分，交于點，且，若，則．考點二:根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答證明例2．如圖，已知點O在的平分線上，，，垂足分別為D，E．求證：．【變式2-1】．如圖，在，，平分，于點E，點F在上，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【變式2-2】．如圖，已知P是平分線上一點，，交于點C，，垂足為D，且，(1)求的度數(shù)；(2)求的長．【變式2-3】．如圖，在中，，是邊上的點，于，于．(1)若，求證：；(2)若，，求的長．考點三:三角形三條角平分線的交點例3．到三角形各邊距離相等的點是三角形的（

）A．三條邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點C．三個內(nèi)角平分線的交點 D．三條高的交點【變式3-1】．如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（

）．

A．在AC、BC兩邊高線的交點處 B．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處C．在AC、BC兩邊中線的交點處 D．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點處【變式3-2】．如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在三條的交點處．【變式3-3】．如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有處．

考點四：與角平分線有關(guān)的面積問題例4．如圖，平分，于點E，，，則的面積等于（）A．28 B．21 C．14 D．7【變式4-1】．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點，，，則的面積為．【變式4-2】．如圖，是中的角平分線，于點，，，，則長是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-3】．如圖，點是的三個內(nèi)角平分線的交點，若的周長為，面積為，則點P到邊的距離是（）A． B． C． D．考點五：與角平分線有關(guān)的面積問題（提高）例5．如圖，在中，平分，于點，連接，若，，則的面積是．【變式5-1】．如圖，在中，和的角平分線交于點O，，，的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式5-2】．如圖，的三邊、、的長分別為、和，三條角平分線的交點為O，則（

）A． B． C． D．【變式5-3】．如圖，在中，分別是，的平分線，相交于點F，且，的周長為21，關(guān)于甲、乙、丙三人的結(jié)論，下列判斷正確的是（

）甲：；乙；點F到的距離為2；丙：連接，則平分A．只有甲對 B．甲、乙、丙都對C．乙錯，丙對 D．甲錯，乙對考點六：角平分線的判定例6．如圖，已知，P為內(nèi)部一點，過點P作于點A，于點B，，C為上一點，于點D，且，則點C到的距離是．【變式6-1】．如圖，是內(nèi)一點，且點到三邊，，的距離，，相等，若，則．【變式6-2】．如圖，在中，，點D在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點E，連接，則．【變式6-3】．如圖，，點是的中點，平分，若，連接，則．

考點七：尺規(guī)作圖（選填題）例7．如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）．A． B．C． D．【變式7-1】．如圖，在中，，以頂點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是（

）A．2 B． C．3 D．【變式7-2】．如圖，在中，，以頂點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，，則的長為．【變式7-3】．如圖，在中，，，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧分別交、于點M和N，再分別以點M，N為圓心畫弧，兩弧交于點P，連接并延長交于點D，則下列說法：①是的平分線；②；③；④點D到直線的距離等于的長度．其中正確的有．考點八：角平分線與線段的垂直平分線綜合例8．如圖，在中，，DE是AB的垂直平分線，AD恰好平分．若，則的長是（

）

A．9 B．6 C．7 D．5【變式8-1】．如圖，在中，，的平分線交于D，是線段的垂直平分線，垂足為E．若，則的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式8-2】．如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點D，，，垂足分別為E、F，，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式8-3】．如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點，，，垂足分別為E、F，，，則的值為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3考點九：尺規(guī)作圖（解答題）例9．如圖，在中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線BD，交于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)尺規(guī)作圖：在（1）問所得的角平分線上取一點，使得；(3)求點D到AB的距離．【變式9-1】．如圖，在中，，，，為的一個外角．(1)請按以下要求畫出圖形，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母．①尺規(guī)作圖：作的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；②取線段的中點N，過N畫的垂線，與交于點F，與交于點E．(2)求證：．【變式9-2】．如圖，已知：在中，，．(1)作的平分線，交于點，作的垂直平分線，分別交、于點、．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；(2)求證：點是中點；(3)連接，求的度數(shù)．【變式9-3】．?dāng)?shù)學(xué)實驗?zāi)茉黾訉W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也是提高動手能力和發(fā)展創(chuàng)新意識的手段之一．八年級1班同學(xué)在運用數(shù)學(xué)實驗研究角平分線時提出了如下問題，請你解答．(1)“行知”小組開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，作圖痕跡如下圖：其中射線為的平分線的共有______A．1個

B．2個

C．3個

D．4個(2)如圖1，“善思”小組嘗試制作可以用來平分角的儀器，其中，將儀器上的點A與的頂點R重合，調(diào)整和，使它們落在角的兩邊上，沿畫一條射線，則就是的平分線．請說明理由．(3)如圖2，“智慧”小組嘗試制作可以用來三等分角的儀器，儀器是一個直角角尺，圖中的點A，B，C在一條直線上，且．小組同學(xué)給出儀器三等分的步驟：第一步，將儀器如圖3放置，使落到的邊所在的直線上，畫出此時所在直線；第二步，將儀器如圖4放置，使所在直線過的頂點O，且點A，C分別落在直線，射線上；第三步，在圖4中分別作射線，射線，得到圖5．下面是小組同學(xué)展示的部分推理過程：如圖5，過點A作，垂足為D，連接．由儀器特征和操作過程可知，且．∴（▲）．……①“▲”處的推理依據(jù)是；②補全推理過程．考點十：最值問題例10．如圖，中，，，AD平分，則的最大值為．【變式10-1】．如圖，在中，，，，，CD平分交AB于點，點，分別是CD，上的動點，連接，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式10-2】．如圖，已知線段，點P為線段上一動點，以為邊作等邊，以為直角邊，為直角，在同側(cè)構(gòu)造，點M為的中點，連接，則的最小值為【變式10-3】．如圖，在等腰中，，，，是底邊上的高．在的延長線上有一個動點，連接CD，作，交AB的延長線于點，的角平分線交AB邊于點，則在點運動的過程中，線段的最小值為．考點十一：解答綜合題例11．如圖，D、E分別是的中點，于D，于E．(1)求證：；(2)若交于點F，求證：點F在的角平分線上．【變式11-1】．已知：如圖，平分，于點E，于點D，．(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積．【變式11-2】．如圖，在四邊形中，，延長，交于點，所在的直線垂直平分線段，過點作交于點．(1)試說明：；(2)若，的面積為，求的長．【變式11-3】．[定理]如圖1，因為于B，于D，；所以___________．[運用]如圖2，在四邊形中，，求證：平分．[拓展]如圖3，在等邊中，，且；求的度數(shù)．一、單選題1．如圖，在中，平分，交于點D，，垂足為點E，若，則的長為（

）A．8 B．2 C．4 D．62．點在的角平分線上，點到邊的距離等于，點是邊上的任意一點，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，則點C到射線OA的距離為（

）A．9 B．6 C．3 D．4.54．如圖，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是(

)A．4 B．5 C．6 D．76．在中，，AD平分交BC于點D，，則AC長為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7．下列說法正確的有（

）①角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等②到一個角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上③三角形三個角平分線的交點到三個頂點的距離相等④三角形三條角平分線的交點到三邊的距離相等A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，AD平分，于點E，于點F，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，．、分別平分，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．210．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，下列三個結(jié)論：①∠AOB=90°+∠C；②當(dāng)∠C=60°時，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC=ab．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個二、填空題11．如圖，在中，，平分，，則點D到的距離為．12．如圖，已知，且，則點C在的平分線上，點A在的平分線上．13．如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡作射線交邊于點G．若，，則的面積為．14．如圖，是中的角平分線，于點，于點，，，，則長是．15．如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點E，，，則的面積等于．16．如圖，在中，，平分交于點．（1）若，，則點到的距離是；（2）若，點到的距離為6，則的長是．17．如圖，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分線BP、CP相交于點P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周長為14cm，S△BPC＝7.5，則△ABC的面積為cm2．18．如圖，在中，，，，點在上，過點作的垂線，分別交射線，線段于點，，連接，恰好平分，則線段的長是．

三、解答題19．已知：如圖，，垂足分別為D，E，與相交于點O，平分．求證：．20．如圖，某市有兩個糧食市場C、D，附近有兩條交叉的公路．現(xiàn)計劃修建一座大型糧倉P，為了運輸方便，希望該糧倉到兩條公路的距離相等，且到兩個糧食市場C、D的距離也相等，請在圖中設(shè)計出該糧倉的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，寫清結(jié)論．）21．如圖，中，是的角平分線，，求證：．22．如圖，，，垂足分別為D、E，、交于點O，．(1)求證：；(2)求證：平分．23．如圖，在中，點在邊上，，的平分線交于點，過點作，垂足為，且，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：平分；(3)若，，三角形的面積是16，求的長度．24．如圖所示，直線交軸于點Aa,0，交軸于點，且、滿足．(1)如圖1，若的坐標(biāo)為，且于點，交于點，試求點的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接，求證；(3)如圖3，若點為的中點，點為軸正半軸上一動點，連接，過作交軸于點，當(dāng)點在軸正半軸上運動的過程中，式子的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．25．在等腰三角形中，為底邊的中點，、分別為、AB上的點.(1)如圖，于，于，求證：；(2)如圖，，請判斷DE和有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖，點與點重合，點為線段BD上的一點，且，，求的值.

第06講角平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解角平分線的性質(zhì)；2．掌握角平分線的判定；3.知道三角形三條角平分線的交點的性質(zhì)；4.掌握角平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖.知識點1角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.已知：如圖1-22,OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).知識點2角平分線的判定思考：你能寫出這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?定理在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.已知：如圖1-23,點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的對應(yīng)角相等).∴OP平分∠AOB.知識點3三角形三條角平分線的交點例1求證：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.已知：如圖1-25,在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P,過點P分別作AB,BC,AC的垂線，垂足分別為D,E,F.求證：∠A的平分線經(jīng)過點P,且PD=PE=PF.證明：∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分別為D,E,∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點P在∠A的平分線上(在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上),即∠A的平分線經(jīng)過點P.知識點4尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖：

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.考點一:角平分線的性質(zhì)例1．如圖，已知點在的平分線上，于點，于點，若，則長（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此題考查了角平分線性質(zhì)性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，利用角平分線性質(zhì)定理即可得出．【解析】解：平分，于點，于點，故選：C．【變式1-1】．如圖，在中，，D是上一點，且，若，則點D到的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵；過D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可得解．【解析】解：過D作于E，，，，，，點D到BC的距離是4，故選：．【變式1-2】．如圖，射線是的平分線，，，若點Q是射線上一動點，則線段的長度不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點D作于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，再根據(jù)垂線段最短解答．【解析】解：如圖，過點D作于E，是的角平分線，，，由垂線段最短可得，，．故選：A．【變式1-3】．如圖，在中，，平分，交于點，且，若，則．【答案】9【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點作于，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖，過點作于，平分，，，，，，，．故答案為：9．考點二:根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答證明例2．如圖，已知點O在的平分線上，，，垂足分別為D，E．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先由點O在的平分線上，，，得，．再運用證明，即可作答．【解析】證明：點O在的平分線上，，，，．在和中，，，．【變式2-1】．如圖，在，，平分，于點E，點F在上，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）證明即可；（2）證明，結(jié)合，列式計算即可．本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）證明：∵，平分，，∴∵，，，∴，∴．（2）解：∵，平分，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵．∴，∵，，∴．【變式2-2】．如圖，已知P是平分線上一點，，交于點C，，垂足為D，且，(1)求的度數(shù)；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；（1）由角平分線可得，再利用平行線可得，從而可得答案；（2）過作于，利用含的直角三角形的性質(zhì)可得，再利用角平分線的性質(zhì)可得答案．【解析】（1）解：平分，，，，．（2）解：過作于，，，，，，，平分，．【變式2-3】．如圖，在中，，是邊上的點，于，于．(1)若，求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)（1）連接AD．根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知AD也是的角平分線，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，那么；（2）由可求得，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求得BD、的長，即可求解．【解析】（1）證明：連接AD．，，∴點是邊上的中點，平分，、分別垂直AB、于點和．；（2）解：，，，于，于．，，．考點三:三角形三條角平分線的交點例3．到三角形各邊距離相等的點是三角形的（

）A．三條邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點C．三個內(nèi)角平分線的交點 D．三條高的交點【答案】C【分析】本題主要考查角平分線的判定定理，根據(jù)到角兩邊距離相等的點在角平分線上，熟練掌握角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【解析】解：根據(jù)“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”可知：到三角形三條邊距離相等的點是三個內(nèi)角平分線的交點．故選：C．【變式3-1】．如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（

）．

A．在AC、BC兩邊高線的交點處 B．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處C．在AC、BC兩邊中線的交點處 D．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點處【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出答案．【解析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，可知超市應(yīng)建在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處，故選：B．【點睛】本題考查線段垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】．如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在三條的交點處．【答案】角平分線【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解析】解：∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)為三條角平分線的交點，故答案為：角平分線．【變式3-3】．如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有處．

【答案】三【分析】此題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，分別作外角的角平分線，交點分別為，即為所求的點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用．【解析】解：如圖所示，，即為所求的點，

故答案為：三．考點四：與角平分線有關(guān)的面積問題例4．如圖，平分，于點E，，，則的面積等于（）A．28 B．21 C．14 D．7【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)．掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，三角形面積公式，是解題的關(guān)鍵．作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解析】解：作交的延長線于F，平分，，，，的面積，故選：C．【變式4-1】．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點，，，則的面積為．【答案】20【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，過作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可．【解析】解：過作于，是邊上的高，平分，，，，，，的面積為，故答案為：20．【變式4-2】．如圖，是中的角平分線，于點，，，，則長是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了角的平分線性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，過D作于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)和三角形面積公式求出即可．【解析】解：如圖，過D作于F，∵是中的角平分線，于點E，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．故選：A．【變式4-3】．如圖，點是的三個內(nèi)角平分線的交點，若的周長為，面積為，則點P到邊的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．過點P作于D，于E，于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解析】解：過點P作于D，于E，于F，如圖，∵點P是的內(nèi)角平分線的交點，∴，又的周長為，面積為，∴，∴∴∴點P到邊的距離是3cm故選：A．考點五：與角平分線有關(guān)的面積問題（提高）例5．如圖，在中，平分，于點，連接，若，，則的面積是．【答案】【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點作于點，根據(jù)平分，，得到，根據(jù)面積公式求出三角形的面積，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，過點作于點，∵平分，，∴，∴的面積，故答案為：．【變式5-1】．如圖，在中，和的角平分線交于點O，，，的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點作于點，于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形面積得出，代入數(shù)據(jù)即可求解．【解析】解：過點作于點，于點，如圖，∵平分，∴，∴，∵，，的面積為，∴．故選：A．【變式5-2】．如圖，的三邊、、的長分別為、和，三條角平分線的交點為O，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，過O作于M，于N，于K，由角平分線的性質(zhì)推出，由三角形面積公式得到的面積，的面積，的面積，于是得到．【解析】解：過O作于M，于N，于K，∵的三條角平分線的交點為O，∴，∴的面積，的面積，的面積，∵、、的長分別為、和，∴．故選：A．【變式5-3】．如圖，在中，分別是，的平分線，相交于點F，且，的周長為21，關(guān)于甲、乙、丙三人的結(jié)論，下列判斷正確的是（

）甲：；乙；點F到的距離為2；丙：連接，則平分A．只有甲對 B．甲、乙、丙都對C．乙錯，丙對 D．甲錯，乙對【答案】C【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)和判定，連接，過點作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，進而得到平分，利用分割法求面積法，求出的的長，進行判斷即可．【解析】解：連接，過點作，∵分別是，的平分線，∴，∴，∴平分，故丙說法正確；∵，∵的周長為21，∴，∴，∴點F到的距離為4，故乙說法錯誤；條件不足，無法得到，故甲說法錯誤；故選C．考點六：角平分線的判定例6．如圖，已知，P為內(nèi)部一點，過點P作于點A，于點B，，C為上一點，于點D，且，則點C到的距離是．【答案】7【分析】本題考查角平分線的判定和性質(zhì)，先根據(jù)題意判定平分，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等解題即可．【解析】解：∵P為內(nèi)部一點，，，，∴平分，∵，∴C到的距離，故答案為：7．【變式6-1】．如圖，是內(nèi)一點，且點到三邊，，的距離，，相等，若，則．【答案】/115度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)．根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出點是三角形三條角平分線的交點，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，然后求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解析】解：到三邊、、的距離，點是三角形三條角平分線的交點，，，，在中，．故答案為：．【變式6-2】．如圖，在中，，點D在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點E，連接，則．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得點E到的距離相等，再利用角平分線的判定即可得到是的角平分線，進而得到的度數(shù)．【解析】解：過點E分別作，，，垂足分別為H，F(xiàn)，G，∵的平分線與的平分線相交于點E，∴，∴是的平分線，∴，在中，，∴，∴，故答案為：．【變式6-3】．如圖，，點是的中點，平分，若，連接，則．

【答案】【分析】作于，根據(jù)平行線的判定定理，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)中點的定義，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)角平分線的判定定理，得出是的角平分線，再根據(jù)角平分線的定義，計算即可得出答案．【解析】解：如圖，作于，

∵，∴，∴，∵平分，，，∴，∵是的中點，∴，∴，又∵，，∴是的角平分線，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．考點七：尺規(guī)作圖（選填題）例7．如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，由作圖方法可知，則可證明得到，進一步可證明垂直平分，據(jù)此可得答案．【解析】解：由作圖方法可知，又∵，∴，∴，∴垂直平分，∴，，根據(jù)現(xiàn)有條件無法得到，故選：C．【變式7-1】．如圖，在中，，以頂點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了作圖?作已知角的角平分線，要熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了角分線的性質(zhì)．作于，利用基本作圖得到平分，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，然后根據(jù)三角形面積公式計算．【解析】解：作于H，由題中作法得平分，∵，，∴，∴，故選：A．【變式7-2】．如圖，在中，，以頂點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，作于，由三角形面積公式求出，由作圖可得：平分，再由角平分線的性質(zhì)定理即可得解．【解析】解：如圖，作于，∵，，∴，由作圖可得：平分，∵，，∴，故答案為：．【變式7-3】．如圖，在中，，，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧分別交、于點M和N，再分別以點M，N為圓心畫弧，兩弧交于點P，連接并延長交于點D，則下列說法：①是的平分線；②；③；④點D到直線的距離等于的長度．其中正確的有．【答案】①②③④【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)基本作圖（作已知角的角平分線）可對①進行判斷；利用為角平分線可得，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計算出，則可對②③進行判斷；根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可對④進行判斷．【解析】解：根據(jù)作圖過程可知是的平分線，故①正確；∵，，∴，∵平分，∴，∴，故②正確；∵，故③正確；∵垂直平分線上的點到角的兩邊距離相等，∴點D到直線的距離等于的長度，故④正確；綜上分析可知：正確的有①②③④；故答案為：①②③④．考點八：角平分線與線段的垂直平分線綜合例8．如圖，在中，，DE是AB的垂直平分線，AD恰好平分．若，則的長是（

）

A．9 B．6 C．7 D．5【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上點到角兩邊的距離相等可得，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出，然后根據(jù)角平分線的定義與直角三角形兩銳角互余，求出，再根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，然后求解即可．【解析】解：平分，且，，，是的垂直平分線，，，，，，，，，，故選：A【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，含度角的直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離相等；等邊對等角；直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】．如圖，在中，，的平分線交于D，是線段的垂直平分線，垂足為E．若，則的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，所對的直角邊是斜邊的一半，先求出，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)，得出，最后根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半，得出，即可作答．【解析】解：∵的平分線交于D，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，，∴，∴，∵，∴，∵的平分線交于D，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，故選：B．【變式8-2】．如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點D，，，垂足分別為E、F，，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，連接，證明，得到，證明，得到，進而得到，求解即可．【解析】解：連接，則：，∵，，平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選：D．【變式8-3】．如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點，，，垂足分別為E、F，，，則的值為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【分析】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得，證明，得出即可求解．【解析】解：如圖所示，連接，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴．∵垂直平分，∴，在和中，∴，∴．∴，∵，∴．故選D．考點九：尺規(guī)作圖（解答題）例9．如圖，在中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線BD，交于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)尺規(guī)作圖：在（1）問所得的角平分線上取一點，使得；(3)求點D到AB的距離．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖及性質(zhì)、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識點，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）以點為圓心，任意長為半徑畫弧與相交；再以兩交點為圓心，同一半徑畫弧即可完成作圖；（2）作出線段的垂直平分線即可；（3）作，證，得，；根據(jù)，即可求解；【解析】（1）解：如圖所示：BD即為所求（2）解：如圖所示：點即為所求（3）解：作，如圖所示：∵BD平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴點D到AB的距離為．【變式9-1】．如圖，在中，，，，為的一個外角．(1)請按以下要求畫出圖形，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母．①尺規(guī)作圖：作的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；②取線段的中點N，過N畫的垂線，與交于點F，與交于點E．(2)求證：．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析【分析】本題考查作角平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形．（1）①根據(jù)尺規(guī)作平分線的步驟作圖即可作出圖形；②按要求作圖即可；（2）根據(jù)證明可得結(jié)論．【解析】（1）解：①②圖形如圖所示；（2）證明：∵，，∴，∵平分，，∴，∴，∵線段的中點為N，∴，在和中，，∴，∴．【變式9-2】．如圖，已知：在中，，．(1)作的平分線，交于點，作的垂直平分線，分別交、于點、．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；(2)求證：點是中點；(3)連接，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖：（1）根據(jù)線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）先求出，則由直角三角形的性質(zhì)得到，再證明，則，進而得到，則，即E是中點．（3）證明，又，連接，由等腰三角形的性質(zhì)可知，又，從而求得【解析】（1）如圖所示，即為所求；（2）∵在中，，∵垂直平分，即是的中點（3）平分，，又，連接，則，即【變式9-3】．?dāng)?shù)學(xué)實驗?zāi)茉黾訉W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也是提高動手能力和發(fā)展創(chuàng)新意識的手段之一．八年級1班同學(xué)在運用數(shù)學(xué)實驗研究角平分線時提出了如下問題，請你解答．(1)“行知”小組開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，作圖痕跡如下圖：其中射線為的平分線的共有______A．1個

B．2個

C．3個

D．4個(2)如圖1，“善思”小組嘗試制作可以用來平分角的儀器，其中，將儀器上的點A與的頂點R重合，調(diào)整和，使它們落在角的兩邊上，沿畫一條射線，則就是的平分線．請說明理由．(3)如圖2，“智慧”小組嘗試制作可以用來三等分角的儀器，儀器是一個直角角尺，圖中的點A，B，C在一條直線上，且．小組同學(xué)給出儀器三等分的步驟：第一步，將儀器如圖3放置，使落到的邊所在的直線上，畫出此時所在直線；第二步，將儀器如圖4放置，使所在直線過的頂點O，且點A，C分別落在直線，射線上；第三步，在圖4中分別作射線，射線，得到圖5．下面是小組同學(xué)展示的部分推理過程：如圖5，過點A作，垂足為D，連接．由儀器特征和操作過程可知，且．∴（▲）．……①“▲”處的推理依據(jù)是；②補全推理過程．【答案】(1)D(2)見解析(3)①角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；②見解析【分析】（1）根據(jù)作圖痕跡，逐一進行判斷即可；（2）根據(jù)，，結(jié)合即可得到即可得到證明；（3）①根據(jù)角平分線的判定方法解答即可；②根據(jù)證明得，進而可證線和射線將三等分．【解析】（1）解：第一個圖為尺規(guī)作角平分線的方法，為的平分線；第二個圖，由作圖可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為的平分線；第三個圖，由作圖可知，∴，，∴∴，∴為的平分線；第四個圖，由作圖可知：，，∴為的平分線；故選D．（2）理由如下：在和中，，∴

∴．∴沿畫一條射線，則就是的平分線．（3）①角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；②∵點A，B，C在一條直線上，，∴，∴．∵BM所在直線過的頂點O，∴．在和中，∴．∴．又∵點C在上，∴．∴．∴射線和射線將三等分．【點睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線作圖，平行線作圖，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．考點十：最值問題例10．如圖，中，，，AD平分，則的最大值為．【答案】【分析】延長交于點E，可證，再根據(jù)，可得的長度，當(dāng)最大即可求得最大值．【解析】解：如圖所示延長交于點E，∵AD平分，，∴，，在與中，∵，，，∴∴，，∵∴，∵，∴，∴當(dāng)，最大，即最大，∴答案為．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及全等三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)中線將小三角形面積轉(zhuǎn)換成大三角形面積取垂直時最大．【變式10-1】．如圖，在中，，，，，CD平分交AB于點，點，分別是CD，上的動點，連接，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了軸對稱——最短路線問題、角平分線的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出點．如圖，作點關(guān)于直線CD的對稱點，作于由，推出根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)，，共線，且與重合時，的值最小，最小值線段的長，根據(jù)三角形的面積即可求得線段的長．【解析】解：如圖中，作點關(guān)于直線CD的對稱點，作于，，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)，，共線，且與重合時，的值最小，最小值線段的長．中，，，，，．故選：C．【變式10-2】．如圖，已知線段，點P為線段上一動點，以為邊作等邊，以為直角邊，為直角，在同側(cè)構(gòu)造，點M為的中點，連接，則的最小值為【答案】3【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)等．連接，并延長至，由直角三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，當(dāng)時，最小，則可得出答案．【解析】解∶連接，并延長至，∵，為的中點，∴，∵等邊，∴，∵，∴，∴，∴在的角平分線上運動，當(dāng)時，最小，∴，故答案為：3．【變式10-3】．如圖，在等腰中，，，，是底邊上的高．在的延長線上有一個動點，連接CD，作，交AB的延長線于點，的角平分線交AB邊于點，則在點運動的過程中，線段的最小值為．【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，作于，作于，連接CF，由角平分線得到，再證明得到，接著證明，得到，當(dāng)時CF有最小值，即有最小值，最后根據(jù)直角三角形得到．【解析】解：作于，作于，連接CF，，，平分，即AD平分，，，，，，，，，，，，平分，，，，當(dāng)時CF有最小值，即有最小值，此時，，∴，故答案為：考點十一：解答綜合題例11．如圖，D、E分別是的中點，于D，于E．(1)求證：；(2)若交于點F，求證：點F在的角平分線上．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查垂直平分線性質(zhì)以及全等三角形的證明及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的證明方法是解題關(guān)鍵．（1）連接，利用垂直平分線性質(zhì)即可得證；（2）先證，再連接，再證，即可得證．【解析】（1）解：證明：如圖，連接，∵D、E分別是AB、的中點，于D，于E．∴垂直平分，CD垂直平分AB，∴，，∴．（2）證明∵，，∴，在與中，，，，∴，∴，再連接，在與中，，，∴，∴，∴點F在的角平分線上．【變式11-1】．已知：如圖，平分，于點E，于點D，．(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)108【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，（1）根據(jù)證明與全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由勾股定理可得，再根據(jù)及可得，再計算的面積即可．【解析】（1）證明：平分，，，，在和中，，，；（2）在中，，，，在和中，，∴，，∵，，．【變式11-2】．如圖，在四邊形中，，延長，交于點，所在的直線垂直平分線段，過點作交于點．(1)試說明：；(2)若，的面積為，求的長．【答案】(1)見詳見(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線段性質(zhì)得到，，進而得到，，根據(jù)，得到，即可得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進一步得出，即可證明；（2）先證明，過點作，垂足為，根據(jù)的面積為求出，根據(jù)（1）可知平分，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出．【解析】（1）解：∵所在的直線垂直平分線段，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵是的一個外角，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴．過點作，垂足為，∵的面積為，∴，又∵，∴，由（1）知，∴平分，又∵，，．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)等知識，熟知相關(guān)知識并根據(jù)圖形特點靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式11-3】．[定理]如圖1，因為于B，于D，；所以___________．[運用]如圖2，在四邊形中，，求證：平分．[拓展]如圖3，在等邊中，，且；求的度數(shù)．【答案】[定理]平分；[運用]證明見解析；[拓展]【分析】本題考查角平分線的判定定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；[定理]直接證明，得到，即平分；[運用]過C點于E，作，交延長線于點H，證明，得到，根據(jù)角平分線判定定理可得平分；[拓展]過作于，過作于，于，先有等邊三角形得到，得到，，由等腰三角形的判定和性質(zhì)可得，，此時同[運用]的模型一樣，證明，得到，平分，由得到垂直平分，得到，求出，最后由求解即可．【解析】[定理]解：∵，，，∴在和中，，∴，∴，∴平分；[運用]證明：過C點于E，作，交延長線于點H，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴平分．[拓展]解：過作于，過作于，于，∵等邊，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∵于，于，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴平分，∵∴垂直平分，∴，∴，∴，∴．一、單選題1．如圖，在中，平分，交于點D，，垂足為點E，若，則的長為（

）A．8 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解．【解析】解：∵平分交于點，，故選：C．2．點在的角平分線上，點到邊的距離等于，點是邊上的任意一點，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．【解析】∵點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，∴點P到OB的距離為5，∵點Q是OB邊上的任意一點，∴PQ≥5．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，則點C到射線OA的距離為（

）A．9 B．6 C．3 D．4.5【答案】C【分析】作CN⊥OA，利用面積求出CM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得CN=CM，即可得答案．【解析】解：過點C作CN⊥OA，∵CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，∴S△COM=，∴，∵OC為∠AOB的平分線，CN⊥OA，CM⊥OB，∴CN=CM=3．故選C．【點睛】本題考查了三角形面積，角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點，到角兩邊的距離相等；熟練掌握角平分線的性質(zhì)和面積公式是解題關(guān)鍵．4．如圖，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先證明平分，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和求得度數(shù)，則結(jié)果可求．【解析】∵，∴平分，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查角平分線的判定，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【解析】解：作DF⊥AC于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴，∴AC=4．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．6．在中，，AD平分交BC于點D，，則AC長為（

）．A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】過作，垂足為，利用角平分線的性質(zhì)證出，再利用全等的性質(zhì)和勾股定理建立等式運算求解即可．【解析】解：過作，垂足為∵為角平分線，，∴∵，∴∴在中，∴∴整理可得：∴解得：故選：【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟悉利用角平分線的性質(zhì)證三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．下列說法正確的有（

）①角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等②到一個角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上③三角形三個角平分線的交點到三個頂點的距離相等④三角形三條角平分線的交點到三邊的距離相等A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理逐一判斷即得答案．【解析】解：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，故①正確；在一個角的內(nèi)部，到一個角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，故②錯誤，三角形三個角平分線的交點到三邊的距離相等，故③錯誤，④正確；綜上，正確的說法是①④，有2個．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定定理，屬于基本題目，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．8．如圖，AD平分，于點E，于點F，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用“HL”證明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，從而可以利用“SAS”證明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°∵AD=AD，∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合題意；∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，∵AG=AG，DG=DG∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合題意；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明△BDE≌△CDF，故D符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．9．如圖，在中，，，．、分別平分，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】過點，分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)題意可得是的角平分線，則是等腰直角三角形，，進而勾股定理求得，等面積法求得的長，即可求解．【解析】解：如圖所示，過點，分別作的垂線，垂足分別為，

∵、分別平分，，∴，∴，∴是的角平分線，∴，則是等腰直角三角形，∴，在中，，，．∴，設(shè)，∴即解得：，∴，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，下列三個結(jié)論：①∠AOB=90°+∠C；②當(dāng)∠C=60°時，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC=ab．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】B【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進而判定①；在AB上取一點H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，進而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③正確．【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°?∠OBA?∠OAB＝180°?∠CBA?∠CAB＝180°?（180°?∠C）＝90°＋∠C，①錯誤；∵∠C＝60°，∴∠BAC＋∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°?60°?60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴點O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB＋AC＋BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）?a＝ab，③正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在中，，平分，，則點D到的距離為．【答案】5【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．過點D作于E，結(jié)合題目中的條件，平分，利用角平分線的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)距離的定義即可解答．【解析】解：過點D作于E，平分，，，，即點D到的距離為5．故答案為：5．12．如圖，已知，且，則點C在的平分線上，點A在的平分線上．【答案】【分析】連接AC，根據(jù)角平分線的判定定理以及直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)解答即可．【解析】解：連接AC，∵，，∴AC平分，∴點C在的平分線上，，∵，∴，∴，即AC平分，∴點A在的平分線上，故答案為：，．【點睛】此題考查角平分線的判定定理，直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)，熟記角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡作射線交邊于點G．若，，則的面積為．【答案】2【分析】此題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)．首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后三角形面積公式求解即可．【解析】解：如圖所示，過點G作于點H，

由作圖痕跡知平分，，，∴，∵，∴的面積．故答案為：2．14．如圖，是中的角平分線，于點，于點，，，，則長是．【答案】3【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點E，，，則的面積等于．【答案】5【分析】過作于點，由角平分線的性質(zhì)可求得，則可求得的面積．【解析】解：過作于點，是邊上的高，平分，，，故答案為：5．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，，平分交于點．（1）若，，則點到的距離是；（2）若，點到的距離為6，則的長是．【答案】315【分析】（1）過點D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，即可求解；（2）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD=DE，再求出BD，然后根據(jù)BC=BD+CD計算即可求解．【解析】解：（1）過點D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC-BD=8-5=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，即點D到AB的距離是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案為3；15．【點睛】本題考查角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并作出輔助線．17．如圖，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分線BP、CP相交于點P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周長為14cm，S△BPC＝7.5，則△ABC的面積為cm2．【答案】6【分析】過點P作PH⊥AM，PQ⊥AN,連接AP，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得PH=PE=PQ，再根據(jù)三角形的面積求出BC，然后求出AC+AB，再根據(jù)S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC即可得解.【解析】解：如圖，過點P作PH⊥AM，PQ⊥AN，連接AP∵BP和CP為∠MBC和∠NCB角平分線∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC=×AC×PQ+×AB×PH-7.5=×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=×3×9-7.5=6cm2【點睛】本題考查了角平分線上點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于S△ABC的面積的表示．18．如圖，在中，，，，點在上，過點作的垂線，分別交射線，線段于點，，連接，恰好平分，則線段的長是．

【答案