2019屆北京專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第四節(jié)直線平面垂直的判定與性質(zhì)講義理

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)總綱目錄教材研讀1.直線與平面垂直考點(diǎn)突破2.直線與平面所成的角3.二面角的有關(guān)概念考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)4.平面與平面垂直的判定定理考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題教材研讀1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面α內(nèi)的①

任意一條

直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的

銳角

,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說它們所

成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),就說它們所成的角是0°的角.如圖所示,

∠PAO

就是斜線AP與平面α所成的角.(2)線面角θ的范圍:θ∈

.3.二面角的有關(guān)概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的

兩個(gè)半平面

所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分

別作

垂直于棱

的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.4.平面與平面垂直的判定定理1.已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則

()A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥nC答案

C對(duì)于A,m與l可能平行或異面,故A錯(cuò);對(duì)于B、D,m與n可能平

行、相交或異面,故B、D錯(cuò);對(duì)于C,因?yàn)閚⊥β,l?β,所以n⊥l,故C正確.故選C.2.已知直線a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,則b與α的位置關(guān)系為()A.b?α

B.b∥αC.b?α或b∥α

D.b與α相交C答案

C由a⊥b,a⊥α知b?α或b∥α,但直線b不與平面α相交.3.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與

B1O垂直的是

()

A.A1D

B.AA1

C.A1D1

D.A1C1

D答案

D易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故選D.4.一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是

垂直

.答案垂直解析由線面平行的性質(zhì)定理知,若一直線平行于一平面,則該面內(nèi)必

有一直線與已知直線平行,再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面,另

一條也垂直于該平面”得出結(jié)論.5.如圖,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為

4

.

答案4解析題圖中直角三角形為△PAC、△PAB、△BCA、△BCP,故直角

三角形的個(gè)數(shù)為4.考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)突破典例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).

(1)證明:CD⊥AE;(2)證明:PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.方法技巧證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與一平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂

直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則該直線與另一個(gè)

平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.1-1

S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn),且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:SD⊥面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥面SAC.證明(1)如圖所示,取AB的中點(diǎn)E,連接SE,DE,

在Rt△ABC中,D、E分別為AC、AB的中點(diǎn),∴DE∥BC,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴△SAB為等腰三角形,∴SE⊥AB.又SE∩DE=E,∴AB⊥面SDE.又SD?面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D為AC的中點(diǎn),∴SD⊥AC.又AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.(2)由于AB=BC,則BD⊥AC,由(1)知,SD⊥面ABC,又BD?面ABC,∴SD⊥BD,又SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC.典例2如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥

AB,AB=2,BC=EF=1,∠BAD=60°,G為BC的中點(diǎn).(1)求證:FG∥平面BED;(2)求證:平面BED⊥平面AED.

考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)證明(1)取BD的中點(diǎn)O,連接OE,OG.在△BCD中,因?yàn)镚是BC的中點(diǎn),所

以O(shè)G∥DC且OG=

DC=1,又因?yàn)镋F∥AB,AB∥DC,EF=1,所以EF∥OG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FG∥OE.又FG?平面BED,OE?平面BED,所以FG∥平面BED.

(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=

,進(jìn)而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因?yàn)槠矫鍭ED⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,平

面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因?yàn)锽D?平面BED,所

以平面BED⊥平面AED.方法技巧面面垂直的證明方法(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面

角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明二面角的平面角為直角的問題.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)

平面的一條垂線,進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決.2-1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知AD=4,BD=4

,AB=2CD=8.

(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積.解析(1)證明:在△ABD中,∵AD=4,BD=4

,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.又BD?平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.(2)過點(diǎn)P作PO⊥AD于O,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.即PO為四棱錐P-ABCD的高.又△PAD是邊長為4的等邊三角形,∴PO=4×

=2

.在Rt△ADB中,斜邊AB上的高為

=2

,此即為梯形ABCD的高.∴S梯形ABCD=

×2

=12

.∴VP-ABCD=

×12

×2

=24.

考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題命題方向一平行與垂直關(guān)系的證明典例3如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在

側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因?yàn)镈E?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因?yàn)锳1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因?yàn)锽1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.典例4如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,

SA⊥AB,N是棱AD的中點(diǎn).(1)求證:AB∥平面SCD;(2)求證:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一點(diǎn)P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出

的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

命題方向二平行與垂直關(guān)系中的探索性問題解析(1)證明:因?yàn)锳BCD是矩形,所以AB∥CD,又因?yàn)锳B?平面SCD,CD?平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)證明:因?yàn)锳B⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因?yàn)镾N?平面SAD,所以AB⊥SN.因?yàn)镾A=SD,且N為AD的中點(diǎn),所以SN⊥AD.又因?yàn)锳B∩AD=A,所以SN⊥平面ABCD.(3)在棱SC上存在一點(diǎn)P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由:如圖,連接BD交NC于點(diǎn)F,在△SNC中,過F作FP∥SN,交SC于點(diǎn)P,

連接PB,PD.

因?yàn)镾N⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因?yàn)镕P?平面PBD,所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因?yàn)镹D∥BC,且N為AD的中點(diǎn),所以

=

=

.在△SNC中,因?yàn)镕P∥SN,所以

=

=

.所以在棱SC上存在一點(diǎn)P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此時(shí)

=

.方法技巧平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的處理策略(1)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明,探索點(diǎn)存

在問題,點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中的某一個(gè),也可以根據(jù)相似知識(shí)取點(diǎn).(2)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后

變與不變的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.3-1如圖,在四棱錐P-AB