正項級數(shù)及其審斂 法

正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法設(shè)級數(shù)u1+u2+u3+…+un+…的每一項都是非負(fù)數(shù)，即un≥0，則稱此級數(shù)為正項級數(shù).顯然，正項級數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的，即

S1≤S2≤S3≤…≤Sn≤Sn+1≤…，由數(shù)列收斂的準(zhǔn)則可知，如果{Sn}單調(diào)有界，則數(shù)列{Sn}一定收斂，即若Sn≤M，則

且有S≤M

.反之，如果正項級數(shù)

收斂于S，即

則{Sn}一定有界.由上面的討論可得正項級數(shù)判別收斂的基本法則.S正項級數(shù)及其審斂法定理1正項級數(shù)

收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列{Sn}有界.此定理的意義在于，當(dāng)判斷一個正項級數(shù)是否收斂時，可以不求部分和Sn及其極限，只要能夠判定{Sn}是否有界就可以了.定理1是判別正項級數(shù)是否收斂的基本法則，有關(guān)正項級數(shù)的其他審斂法都是以這條定理為基礎(chǔ)而建立起來的.但是，無論是由定義還是基本法則來判定正項級數(shù)的收斂性，都涉及部分和的計算，這是相當(dāng)困難的，為此，下面我們在基本法則的基礎(chǔ)上，討論常用的正項級數(shù)的審斂方法.首先看一個例題.正項級數(shù)及其審斂法【例8】正項級數(shù)及其審斂法定理2正項級數(shù)及其審斂法該審斂法條件中的不等式，也可以從某項開始，即un≤vn(n=N,N+1,…).見推論，請讀者自己論證.注正項級數(shù)及其審斂法推論正項級數(shù)及其審斂法【例9】利用比較審斂法，需要和已知的級數(shù)相比較，我們已經(jīng)有等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)，另一個常用的級數(shù)是p級數(shù).正項級數(shù)及其審斂法【例10】判別p級數(shù)正項級數(shù)及其審斂法p級數(shù)收斂性結(jié)論在以后級數(shù)的收斂性判定中經(jīng)常會用到，請牢記.注正項級數(shù)及其審斂法【例11】判定下列級數(shù)的斂散性.正項級數(shù)及其審斂法利用比較審斂法，常要在討論不等式上花費很大精力，同時要對所討論的級數(shù)有個大致的估計，才能證明是收斂或是發(fā)散.因為我們都是在一般項趨近于零的前提下討論斂散性，因此我們自然會想，可否通過比較一般項的無窮小的階來判斷其收斂性呢？下面給出比較審斂法的極限形式.正項級數(shù)及其審斂法定理3正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法【例12】正項級數(shù)及其審斂法定理4正項級數(shù)及其審斂法(11-3)正項級數(shù)及其審斂法(2)當(dāng)ρ>1時，取ε使得ρ－ε=q>1，于是當(dāng)n>N時，正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法【例14】正項級數(shù)及其審斂法【例15】正項級數(shù)及其審斂法【例16】正項級數(shù)及其審斂法定理5正項級數(shù)及其審斂法【例17】正項級數(shù)及其審斂法【例18】正項級數(shù)及其審斂法【