三 重 積 分教學(xué)課件

三重積分一、三重積分的概念類比引入1.在定積分和二重積分的討論中，我們?cè)v過(guò)有共性的實(shí)例，即求非均勻物體的質(zhì)量．如果物體的密度是該物體上點(diǎn)P的連續(xù)函數(shù)f(P)，那么物體的質(zhì)量根據(jù)物體的不同幾何形狀，便有不同的積分概念．（1）物體是一個(gè)細(xì)的直線棒，則非均勻細(xì)棒的質(zhì)量為一、三重積分的概念其中f(x)是線密度函數(shù)（點(diǎn)P即為點(diǎn)x），直線棒占有區(qū)間為［a,b］，于是（2）物體是一塊平面薄片，則非均勻薄片的質(zhì)量為其中f(x,y)是面密度函數(shù)（點(diǎn)P即為點(diǎn)(x,y)），薄片占有區(qū)域?yàn)镈(D為xOy面上的閉區(qū)域)，于是一、三重積分的概念（3）如果物體是一空間立體，它占有空間為Ω，又該如何計(jì)算它的質(zhì)量呢？我們把空間立體Ω任意分成n個(gè)小立體Δvi（i=1,2,…,n），且以Δvi表示第i個(gè)小立體的體積，在小立體Δvi上任取一點(diǎn)Pi(ξi,ηi,ζi)，顯然小立體的質(zhì)量近似等于于是，立體Ω的總質(zhì)量近似地等于和式一、三重積分的概念令λ為這些小立體的最大直徑（直徑定義如前描述），我們自然會(huì)想到，當(dāng)λ→0時(shí)，上面的和式就會(huì)趨于這個(gè)立體的總質(zhì)量，也就是說(shuō)，立體Ω的總質(zhì)量為這種和式極限與定積分、二重積分的和式極限結(jié)構(gòu)形式類似．它不僅在質(zhì)量計(jì)算中，而且在物理、力學(xué)、工程計(jì)算中也經(jīng)常會(huì)遇到，由此引出三重積分定義．一、三重積分的概念三重積分定義2.定義1

設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域Ω上的有界函數(shù)．將Ω任意分成n個(gè)小閉區(qū)域Δv1,Δv2,…,Δvn，其中Δvi表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積．在每個(gè)Δvi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi,ζi)，作乘積f(ξi,ηi,ζi)Δvi(i=1,2,…,n)，并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值λ趨于0時(shí)，這個(gè)和式極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上的三重積分，記作，即一、三重積分的概念

（9-9）其中dv叫作體積微元．在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分Ω，那么，除了包含Ω的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域Δvi均為長(zhǎng)方體．設(shè)長(zhǎng)方體小閉區(qū)域的邊長(zhǎng)為Δxj,Δyk,Δzl，則Δvi=ΔxjΔykΔzl．因此，在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把體積微元dv記作dxdydz，而把三重積分記作，其中dxdydz叫作直角坐標(biāo)系中的體積微元．一、三重積分的概念(1)當(dāng)函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上連續(xù)時(shí)，（9-9）式右端的和式極限必定存在，也就是函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上的三重積分必定存在．以后無(wú)特殊說(shuō)明，我們總是假定函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上是連續(xù)的．(2)關(guān)于二重積分的一些術(shù)語(yǔ)，如被積函數(shù)、積分區(qū)域等，可相應(yīng)地推廣到三重積分中．二重積分的性質(zhì)，也可類似地推廣到三重積分，這里就不再重述．注意一、三重積分的概念

(3)如果f(x,y,z)表示某空間物體在點(diǎn)(x,y,z)處的密度，Ω是該物體所占有的空間閉區(qū)域，f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，則該空間物體的質(zhì)量為特別地，當(dāng)被積函數(shù)f(x,y,z)=1時(shí)，三重積分等于該空間物體的體積，即二、三重積分的計(jì)算由計(jì)算二重積分的方法推廣知，計(jì)算三重積分的基本方法是將三重積分化為三次定積分來(lái)計(jì)算．下面將在不同坐標(biāo)系下分別討論三重積分化為三次定積分的計(jì)算方法，且只限于敘述計(jì)算方法，不作理論證明．二、三重積分的計(jì)算在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分1.設(shè)三重積分存在，在直角坐標(biāo)系中，假定平行于z軸且穿過(guò)閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與閉區(qū)域Ω的邊界曲面S相交不多于兩點(diǎn)．把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得一平面閉區(qū)域Dxy（見(jiàn)圖9-38），以Dxy的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面．這柱面與曲面S的交線把S分為上、下兩部分，它們的方程分別為二、三重積分的計(jì)算圖9-38二、三重積分的計(jì)算其中z1(x,y)與z2(x,y)都是Dxy上的連續(xù)函數(shù)，且z1(x,y)≤z2(x,y)．過(guò)Dxy內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)作平行于z軸的直線，直線通過(guò)曲面S1穿入Ω內(nèi)，然后通過(guò)曲面S2穿出Ω外，穿入點(diǎn)與穿出點(diǎn)的豎坐標(biāo)分別為z1(x,y)與z2(x,y)．在這種情形下，積分區(qū)域Ω可表示為先將x，y看作定值，將f(x,y,z)只看作z的函數(shù)，在區(qū)間［z1(x,y),z2(x,y)］上對(duì)z積分．積分的結(jié)果是x，y的函數(shù)，記為F(x,y)，即二、三重積分的計(jì)算

然后再計(jì)算F(x,y)在閉區(qū)域Dxy上的二重積分假如閉區(qū)域把這個(gè)二重積分化為二次定積分，于是得到三重積分的計(jì)算公式：

（9-10）二、三重積分的計(jì)算式(9-10）把三重積分化為先對(duì)z、次對(duì)y、最后對(duì)x的三次定積分．如果平行于x軸或y軸且穿過(guò)閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與Ω的邊界曲面S相交不多于兩點(diǎn)，也可把閉區(qū)域Ω投影到y(tǒng)Oz面上或xOz面上，這樣便可把三重積分化為按其他順序的三次定積分來(lái)計(jì)算．如果平行于坐標(biāo)軸且穿過(guò)閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與邊界曲面S的交點(diǎn)多于兩個(gè)，可采用計(jì)算二重積分時(shí)的處理辦法，把Ω分成若干部分，使Ω上的三重積分化為各部分閉區(qū)域上的三重積分的和．二、三重積分的計(jì)算計(jì)算三重積分，其中Ω為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域．

解作閉區(qū)域Ω如圖9-39所示．【例1】圖9-39二、三重積分的計(jì)算將Ω投影到xOy面上，得投影區(qū)域Dxy為三角形閉區(qū)域OAB．直線OA，OB及AB的方程依次為y=0，x=0及x+2y=1，所以在Dxy上使用穿線法：在Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y)，過(guò)此點(diǎn)作平行于z軸的直線，該直線通過(guò)平面z=0穿入Ω內(nèi)，然后通過(guò)平面z=1－x－2y穿出Ω外，可以定出z的范圍為0≤z≤1－x－2y．于是，由式（9-10）得二、三重積分的計(jì)算有時(shí)，我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分，即有下述計(jì)算公式．設(shè)空間閉區(qū)域二、三重積分的計(jì)算其中Dz是豎坐標(biāo)為z的平面截閉區(qū)域Ω所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域（見(jiàn)圖9-40），則有

（9-11）這種計(jì)算三重積分的方法叫作“先二后一法”．圖9-40二、三重積分的計(jì)算計(jì)算三重積分，其中Ω是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域．

解如圖9-41所示．用豎坐標(biāo)為

的平面截橢球面，得橢圓截面Dz可表示為【例2】圖9-41二、三重積分的計(jì)算其面積為由(9-11）式得二、三重積分的計(jì)算證明,其中Ω是球體【例3】分析由于被積函數(shù)只是z的函數(shù)，而用垂直于z軸的平面截積分區(qū)域

所得到的都是圓域，圓域的面積等于

因此，用先二后一法很簡(jiǎn)單．二、三重積分的計(jì)算

證選用先二后一法將Ω向z軸投影，得－1≤z≤1，再用垂直于z軸的平面截Ω得于是二、三重積分的計(jì)算當(dāng)被積函數(shù)只是z的函數(shù)，而用垂直于z軸的平面截積分區(qū)域Ω所得到的截面面積容易求時(shí)，用先二后一法求解比較簡(jiǎn)單．注意二、三重積分的計(jì)算在柱面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分2.設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)，則這樣的三個(gè)數(shù)ρ,θ,z就叫作點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)（見(jiàn)圖9-42），這里規(guī)定ρ,θ,z的變化范圍為：0≤ρ<+∞,0≤θ≤2π,－∞<z<+∞．三組坐標(biāo)面分別為ρ＝常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面；θ＝常數(shù)，即過(guò)z軸的半平面；z＝常數(shù)，即與xOy面平行的平面．圖9-42二、三重積分的計(jì)算顯然，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為

（9-12）要把三重積分中的變量變換為柱面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)面ρ＝常數(shù)，θ＝常數(shù)，z＝常數(shù)，把Ω分成許多小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體．現(xiàn)在考慮由ρ,θ,z各取得微小增量所成的柱體體積（見(jiàn)圖9-43）．這個(gè)體積等于高與底面積的乘積．其中高為dz，底面積在不計(jì)高階無(wú)窮小時(shí)為ρdρdθ（即極坐標(biāo)系中的面積微元），于是得二、三重積分的計(jì)算圖9-43二、三重積分的計(jì)算這就是柱面坐標(biāo)系中的體積微元．再由關(guān)系式(9-12）得

（9-13）其中F(ρ,θ,z)=f(ρcosθ,ρsinθ,z)，式(9-13）就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為柱面坐標(biāo)的公式.變量變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分的計(jì)算，則可化為三次定積分來(lái)進(jìn)行．化為三次定積分時(shí)，積分限應(yīng)根據(jù)ρ,θ,z在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來(lái)確定，下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明．二、三重積分的計(jì)算利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，其中Ω是由曲面與平面z=4所圍成的閉區(qū)域．

解把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得半徑為2的圓形閉區(qū)域在Dxy內(nèi)用穿線法可得于是【例4】二、三重積分的計(jì)算計(jì)算，其中Ω是由曲面及平面z=5所圍成的閉區(qū)域．

解如圖9-44所示，Ω為錐體，宜用柱面坐標(biāo)計(jì)算．將z=5代入錐面方程，得兩者的交線為【例5】圖9-44二、三重積分的計(jì)算Ω在xOy面的投影區(qū)域?yàn)閳A域在Dxy內(nèi)用穿線法可得

于是二、三重積分的計(jì)算(1)本題中z的取值

，很容易誤為0≤z≤5，若果真為后者，則Ω變?yōu)橹斡蚨穷}設(shè)的錐形域，請(qǐng)比較一下兩者的區(qū)別，從中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)．(2)將空間區(qū)域Ω向xOy面投影得投影區(qū)域?yàn)镈xy，如果在投影區(qū)域Dxy上的二重積分適合用極坐標(biāo)計(jì)算，則空間區(qū)域Ω上的三重積分適合于用柱面坐標(biāo)計(jì)算．一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)積分區(qū)域Ω是圓柱形區(qū)域（包括圓柱形區(qū)域的一部分）或空間區(qū)域Ω的投影區(qū)域是圓域，被積函數(shù)僅僅是x2+y2或z的函數(shù)時(shí)，考慮采用柱面坐標(biāo)計(jì)算該三重積分．注意二、三重積分的計(jì)算在球面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分3.設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r,φ,θ來(lái)確定，其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M之間的距離，φ為有向線段

與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段

的角，這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影（見(jiàn)圖9-45）．圖9-45

二、三重積分的計(jì)算

這樣的三個(gè)數(shù)r,φ,θ叫作點(diǎn)M的球面坐標(biāo)，這里r,φ,θ的變化范圍是三組坐標(biāo)面分別為：r＝常數(shù)，即以原點(diǎn)為中心的球面；φ＝常數(shù)，即以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐面；θ＝常數(shù)，即過(guò)z軸的半平面.設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影為P，點(diǎn)P在x軸上的投影為A，則OA=x,AP=y，PM=z．又OP=rsinφ,z=rcosφ．因此，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為二、三重積分的計(jì)算

（9-14）現(xiàn)在要把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)．為此，用三組坐標(biāo)面r＝常數(shù)，φ＝常數(shù)，θ＝常數(shù)，把Ω分成許多個(gè)小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是六面體．現(xiàn)在考慮由r,φ,θ各取得微小增量dr,dφ,dθ所成的六面體體積（見(jiàn)圖9-46）．在不計(jì)高階無(wú)窮小時(shí)，這個(gè)六面體的體積可看作長(zhǎng)方體的體積，其經(jīng)線方向的長(zhǎng)為rdφ，緯線方向的寬為rsinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得二、三重積分的計(jì)算圖9-46二、三重積分的計(jì)算這就是球面坐標(biāo)系中的體積微元．再由關(guān)系式(9-14）得

（9-15）其中F(r,φ,θ)=f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)．式(9-15）就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的公式，對(duì)于變量變換為球面坐標(biāo)后的三重積分的計(jì)算，同樣可化為對(duì)r、對(duì)φ和對(duì)θ的三次定積分來(lái)進(jìn)行．化為三次定積分時(shí)，積分限應(yīng)根據(jù)r,φ,θ在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來(lái)確定．二、三重積分的計(jì)算若積分區(qū)域Ω的邊界曲面是一個(gè)包圍原點(diǎn)在內(nèi)的閉曲面，其球面坐標(biāo)方程為r=r(φ,θ)，則當(dāng)積分區(qū)域Ω為球面r=R所圍成時(shí)，則特別地，當(dāng)F(r,φ,θ)=1時(shí)，由上式即得球的體積這就是我們立體幾何中球的體積計(jì)算公式．下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明：①在什么情況下利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分；②如何利用球面坐標(biāo)來(lái)計(jì)算三重積分.二、三重積分的計(jì)算求半徑為a的球面與半頂角為α的內(nèi)接錐面所圍成的立體（見(jiàn)圖9-47）的體積．【例6】圖9-47二、三重積分的計(jì)算

解由于所求體積是球體的一部分，故選用球面坐標(biāo)計(jì)算．如圖9-47所示，球面的方程為r=2acosφ，錐面方程為φ=α．立體所占有的空間閉區(qū)域Ω可用不等式來(lái)表示，所以二、三重積分的計(jì)算求，其中Ω是由球面所限定的球域．

解考慮到被積函數(shù)含有，且積分域又是球面所圍成的球域，故選用球面坐標(biāo)計(jì)算較簡(jiǎn)單．曲面的球面坐標(biāo)形式為r=cosφ，Ω可表示為【例7】二、三重積分的計(jì)算于是二、三重積分的計(jì)算計(jì)算三重積分，其中Ω是由曲面所圍成．【例8】解法1因Ω是由上半錐面與上半球面所圍區(qū)域，可選用球面坐標(biāo)計(jì)算．如圖9-48所示．圖9-48二、三重積分的計(jì)算由，得于是Ω可表示為所以二、三重積分的計(jì)算解法2對(duì)于，由于被積函數(shù)是關(guān)于x的奇函數(shù)，Ω關(guān)于yOz平面對(duì)稱，因而有若設(shè)Ω在第一卦限的部分為Ω1，Ω關(guān)于yOz平面與zOx平面均對(duì)稱，被積函數(shù)z對(duì)x,y均為偶函數(shù)．于是故二、三重積分的計(jì)算解法3采用先二后一法由于錐面與球面交線為

于是二、三重積分的計(jì)算將下列三重積分用三種坐標(biāo)化為累次積分，并選擇一種簡(jiǎn)單方法計(jì)算該三重積分其中Ω是由曲面所圍成.【例9】二、三重積分的計(jì)算

解（1）在直角坐標(biāo)系下：題設(shè)球面與錐面的交線為，Ω在xOy平面的投影為于是

（9-16）（2）在柱面坐標(biāo)系下：

（9-17）二、三重積分的計(jì)算（3）在球面坐標(biāo)系下：

（9-18）比較（9-16）、（9-17）與（9-18）式，易見(jiàn)（9-18）式的積分限與被積函數(shù)均較簡(jiǎn)單，且有二、三重積分的計(jì)算(1)在計(jì)算三重積分時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度起到舉足輕重的作用．對(duì)于坐標(biāo)系的選擇，一方面要顧及積分區(qū)域的形狀，另一方面也要考察被積函數(shù)的形式．(2)一般而言，積分區(qū)域Ω是長(zhǎng)方形或Ω的投影是X型或Y型區(qū)域，則累次積分定限比較容易，可直接用直角坐標(biāo)計(jì)算．當(dāng)積分區(qū)域Ω是柱形域及其一部分，或被積函數(shù)含“x2+y2”時(shí)，用柱面坐標(biāo)計(jì)算較方便．當(dāng)積分區(qū)域Ω是球形域及其一部分，或被積函數(shù)含“x2+y2+z2”時(shí)，用球面坐標(biāo)計(jì)算較方便．注意二、三重積分的計(jì)算

(3)當(dāng)化簡(jiǎn)積分區(qū)域與被積函數(shù)不能兼顧時(shí)，則優(yōu)先考慮積分域的化簡(jiǎn)，這可使積分限簡(jiǎn)單或易安排，從總體上看就化簡(jiǎn)了計(jì)算．但事物不是絕對(duì)的，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析．同時(shí)，還要培養(yǎng)空間想象力．一方面我們學(xué)習(xí)了空間解析幾何，應(yīng)熟知一些空間曲面的方程和形狀．另一方面作一個(gè)積分題，并不總需要把圖形畫(huà)出來(lái)，可以通過(guò)空間想象把積分限寫(xiě)出來(lái)．為了熟悉三重積分的計(jì)算，我們?cè)倥e幾個(gè)例子．二、三重積分的計(jì)算計(jì)算,其中Ω是曲面z=xy與平面y=x,y=1,z=0所圍成的區(qū)域．

解積分域Ω如圖9-49所示，將Ω向xOy面投影的三角形區(qū)域可表示為【例10】圖9-49二、三重積分的計(jì)算選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算，則積分域可表示成于是二、三重積分的計(jì)算計(jì)算，其中

旋轉(zhuǎn)拋物面及平面z=1所圍成的區(qū)域．

解積分區(qū)域Ω如圖9-50所示，Ω在xOy面投影區(qū)域?yàn)閳A域，因此可選擇柱面坐標(biāo)，積分域可表示成

于是【例11】二、三重積分的計(jì)算圖9-50二、三重積分的計(jì)算計(jì)算,其中