2025高考數(shù)學二輪復習-專題4 概率與統(tǒng)計 第4講 統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析【課件】

第4講統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析2025基礎回扣?考教銜接以題梳點?核心突破目錄索引

基礎回扣?考教銜接1.(人A必二9.2.2節(jié)例題改編)某機構調查了解10種食品的卡路里含量,結果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和中位數(shù)分別是(

)A.138,160.5 B.138,146C.138,175 D.135,160.5A解析

把這10個數(shù)按從小到大排列,可得107,135,138,140,146,175,179,182,191,195,而10×25%=2.5,為第3項138;中位數(shù)為

=160.5.2.(多選題)(人A必二9.2節(jié)習題改編)在去年的足球聯(lián)賽上,一隊每場比賽平均失球個數(shù)是1.5,全年比賽失球個數(shù)的標準差是1.1;二隊每場比賽平均失球個數(shù)是2.1,全年比賽失球個數(shù)的標準差是0.4.則下列說法正確的有(

)A.平均說來一隊比二隊防守技術好B.二隊很少失球C.一隊在防守中有時表現(xiàn)較差,有時表現(xiàn)又非常好D.二隊比一隊技術水平更不穩(wěn)定ACD解析

因為一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5,二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1,所以平均說來一隊比二隊防守技術好,A正確;因為二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1,全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4,所以二隊經常失球,B錯誤;因為一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1,二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4,所以一隊有時表現(xiàn)很差,有時表現(xiàn)又非常好,二隊比一隊技術水平更穩(wěn)定,C,D正確.故選ACD.3.(人A選必三8.3.2節(jié)例題改編)隨著國家二孩政策的全面放開,為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機構從不同地區(qū)抽查了100名育齡婦女,結果如下表所示.二孩生育意愿城市級別合計非一線一線愿生452065不愿生132235合計5842100參照下表:α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,可以得到的結論是

.

生育意愿與城市級別有關

4.(人B選必二例題改編)咽拭子檢測是一種醫(yī)學檢測方法,用醫(yī)用棉簽從人體的咽部蘸取少量分泌物進行檢測,可以了解患者口腔黏膜和咽部感染情況.某地區(qū)醫(yī)院的醫(yī)務人員統(tǒng)計了該院近五天的棉簽使用情況,具體數(shù)據(jù)如表所示:第t天12345y/袋1524364456根據(jù)以上數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y與t呈線性相關,其回歸方程為,則估計第8天使用的棉簽袋數(shù)為

.

86真題體驗1.(多選題)(2023·新高考Ⅰ,9)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則(

)A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標準差不小于x1,x2,…,x6的標準差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差BD2.(2024·全國甲,理17)某工廠進行生產線智能化升級改造.升級改造后,從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗,數(shù)據(jù)如下:產品等級優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表:產品等級優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異?能否有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異?P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解

(1)產品等級優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030因為3.841<χ2<6.635,所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異,沒有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異.以題梳點?核心突破考點一用樣本估計總體例1(1)(多選題)(2024·河北“五個一”名校聯(lián)盟模擬)已知五個數(shù)據(jù)5,5,10,10,a的第80百分位數(shù)為15,則這組數(shù)據(jù)(

)A.平均數(shù)為9 B.眾數(shù)為10C.中位數(shù)為10 D.方差為30CD(2)(多選題)(2024·廣東茂名一模)某校舉行與中秋節(jié)相關的“中國傳統(tǒng)文化”知識競賽,隨機抽取了100人的成績,整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖,則下列結論正確的是(

)A.樣本的眾數(shù)為75B.樣本的第71百分位數(shù)為75C.樣本的平均數(shù)為68.5D.該校學生中得分低于60分的約占20%AC解析

由(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)×10=1,得a=0.010,因為最高小矩形的中點橫坐標為75,所以樣本的眾數(shù)是75,A正確;設樣本的第71百分位數(shù)為x,因為10×(0.010+0.015+0.025)=0.5<0.71,10×(0.010+0.015+0.025+0.035)=0.85>0.71,所以第71百分位數(shù)在[70,80)內取得,所以0.5+(x-70)×0.035=0.71,解得x=76,B錯誤;樣本的平均數(shù)為45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5,C正確;樣本中得分低于60分的占(0.010+0.015)×10=25%,即該校學生中得分低于60分的約占25%,D錯誤.故選AC.例2對某地區(qū)過去20年的年降水量(單位:毫米)進行統(tǒng)計,得到以下數(shù)據(jù):887

939

643

996

715

838

1082

923

9011182

1035

863

772

943

1035

1022

8551118

768

809將年降水量處于799毫米及以下、800至999毫米、1000毫米及以上分別指定為降水量偏少、適中、偏多三個等級.(1)將年降水量處于各等級的頻率作為概率,分別計算該地區(qū)年降水量偏少、適中、偏多的概率;(2)根據(jù)經驗,種植甲、乙、丙三種農作物在年降水量偏少、適中、偏多的情況下每畝地可產出的年利潤(單位:千元)如下表所示.你認為這三種農作物中,哪一種最適合在該地區(qū)推廣種植?請說明理由.年降水量偏少適中偏多甲8128乙12107丙71012(2)設種植甲、乙、丙三種農作物每畝地產出的年利潤(單位:千元)分別是隨機變量X,Y,Z,則X的分布列為X812P0.50.5E(X)=8×0.5+12×0.5=10(千元),Y的分布列為Y12107P0.20.50.3E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5(千元),Z的分布列為Z71012P0.20.50.3E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10(千元),所以E(Y)<E(X)=E(Z),即種植農作物甲、丙獲利的期望值比乙更高,不考慮推廣乙,又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2+0.3×(12-10)2=3<D(X),故種植農作物丙時獲利的穩(wěn)定性更好,因此,農作物丙最適合在該地區(qū)推廣種植.[對點訓練1](1)(2024·陜西咸陽模擬)某學校開展防電信詐騙知識競賽活動,高三年級部派出甲、乙、丙、丁四個小組參賽,每個小組各有10名選手.若小組的每名選手失分都不超過7分,則該組為“優(yōu)秀小組”.已知選手失分(均為非負整數(shù))數(shù)據(jù)信息如下,則一定為“優(yōu)秀小組”的是(

)A.甲組:中位數(shù)為3,極差為5B.乙組:平均數(shù)為2,眾數(shù)為2C.丙組:平均數(shù)為2,方差為3D.丁組:平均數(shù)為2,第85百分位數(shù)為7C解析

假設甲組有選手失8分,由極差為5,可得最低失分為3分,此時中位數(shù)可以為3,假設可以成立,故A錯誤;假設乙組的失分情況為0,0,1,1,2,2,2,2,2,8,滿足平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,但不是“優(yōu)秀小組”,故B錯誤;設丙組的失分情況從小到大排列依次為x1,x2,…,x10,丙組的平均數(shù)為2,方差為3,即故x10≤7,所以丙組的每名選手失分都不超過7分,該組一定為“優(yōu)秀小組”,故C正確;因為85%×10=8.5,故從小到大排列后,選取第9個數(shù)作為第85百分位數(shù),即從小到大第9個數(shù)為7,假設丁組失分情況為0,0,0,0,0,0,0,5,7,8,滿足平均數(shù)為2,第85百分位數(shù)為7,但不是“優(yōu)秀小組”,故D錯誤.故選C.(2)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的年入流量相互獨立.①求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;②水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電量最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行,則該發(fā)電機年利潤為5000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該發(fā)電機年虧損800萬元,要使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝多少臺發(fā)電機?解

①依題意可得,②記水電站年總利潤為Y(單位:萬元),安裝1臺發(fā)電機:由于水庫年入流量總大于40,所以一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應的年利潤Y=5

000,且E(Y)=5

000×1=5

000.安裝2臺發(fā)電機:當40<X<80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y=5

000-800=4

200,P(Y=4

200)=P(40<X<80)=P1=0.2;當X≥80時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5

000×2=10

000,P(Y=10

000)=P(X≥80)=P1+P2=0.8.所以Y的分布列為Y4

20010

000P0.20.8E(Y)=4

200×0.2+10

000×0.8=8

840.安裝3臺發(fā)電機:當40<X<80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y=5

000-1

600=3

400,P(Y=3

400)=P(40<X<80)=P1=0.2;當80≤X≤120時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5

000×2-800=9

200,P(Y=9

200)=P(80≤X≤120)=P2=0.7;當X>120時,三臺發(fā)電機運行,此時Y=5

000×3=15

000,P(Y=15

000)=P(X>120)=P3=0.1.所以Y的分布列為Y3

4009

20015

000P0.20.70.1E(Y)=3

400×0.2+9

200×0.7+15

000×0.1=8

620.因為8

840>8

620>5

000,所以要使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝2臺發(fā)電機.考點二一元線性回歸模型及其應用例3(2024·湖北武漢模擬)隨著科技日新月異的發(fā)展,人工智能融入了各個行業(yè).某公司自2023年8月開始使用人工智能生成的虛擬角色直播帶貨,使用虛擬角色直播帶貨的銷售金額情況統(tǒng)計如下表所示.年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號x123456銷售金額y/萬元15.425.435.485.4155.4195.4若y與x的相關關系擬用線性回歸模型表示,回答如下問題:(1)試求變量y與x的樣本相關系數(shù)r;(結果精確到0.01)(2)試求y關于x的經驗回歸方程,并據(jù)此預測2024年2月份該公司使用虛擬角色直播帶貨的銷售金額.(結果精確到0.1)[對點訓練2](2024·江蘇南京二模)某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x(單位:萬元)與銷售額y(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下:超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070(1)從A,B,C,D,E這5家超市中隨機抽取3家,記銷售額不少于60萬元的超市個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及期望E(X);(2)利用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程,并預測廣告支出為10萬元時的銷售額.解

(1)從A,B,C,D,E這5家超市中隨機抽取3家,記銷售額不少于60萬元的超市有C,D,E這3家超市,則隨機變量X服從超幾何分布,其中考點三非線性回歸模型例4(2024·山東齊魯名校聯(lián)盟模擬節(jié)選)某市為繁榮地方經濟,大力實行人才引進政策,為了解政策的效果,統(tǒng)計了2018~2023年人才引進的數(shù)量y(單位:萬人),并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖(x表示年份代碼,年份代碼1~6分別代表2018~2023年).(1)根據(jù)散點圖判斷y=blnx+a與y=ec+dx(a,b,c,d均為常數(shù))哪一個適合作為y關于x的回歸方程類型;(給出結論即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的結果及表中的數(shù)據(jù),求出y關于x的回歸方程,并預測該市2025年引進人才的數(shù)量.(結果精確到0.01)解

(1)根據(jù)散點圖可知,選擇y=ec+dx更合適.[對點訓練3](2024·陜西安康模擬)隨著移動互聯(lián)網和直播帶貨技術的發(fā)展,直播帶貨已經成為一種熱門的銷售方式,商家通過直播展示產品,使顧客對商品有更全面的了解.某商家統(tǒng)計了從6月份開啟直播帶貨后到10月份每個月的銷售量yi(單位:萬件)(i=1,2,3,4,5)的數(shù)據(jù),得到如圖所示的散點圖.其中6月份至10月份相應的代碼為xi(i=1,2,3,4,5),如x1=1表示6月份.(1)根據(jù)散點圖判斷,模型①:y=a+bx與模型②:y=c+dx2,哪一個更適合作為月銷售量y關于月份代碼x的回歸方程?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果,建立y關于x的回歸方程,并預測12月份的銷售量大約是多少萬件.(計算結果精確到0.01)解

(1)結合散點圖判斷,模型②:y=c+dx2更適合作為月銷售量y關于月份代碼x的回歸方程.考點四獨立性檢驗例5(2024·上海,19)為了解某地初中學生日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系,從該地區(qū)29000名學生中抽取580人,得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示:時長[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名初中學生中日均體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)約為多少?(2)估計該地區(qū)初中學生的日均體育鍛煉時長(精確到0.1).(3)是否有95%的把握認為該地區(qū)初中學生學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不少于1小時但少于2小時有關?(3)時長[1,2)其他總數(shù)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485①提出原假設:該地區(qū)初中學生學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關.②確定顯著性水平α=0.05,P(χ2≥3.841)≈0.05.④否定原假設,即該地區(qū)初中學生學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不少于1小時但少于2小時有關.[對點訓練4](2023·全國甲,理19)一項試驗旨在研究臭氧效應,試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機地將其中20只分配