2024-2025學(xué)年北京延慶區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第2頁(yè)/共12頁(yè)2025北京延慶高二（上）期末數(shù)學(xué)2025.1本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）復(fù)數(shù)，則的虛部為（A）（B）（C）（D）（2）雙曲線的離心率為（A）（B）（C）（D）（3）若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（A）（B）（C）或（D）或（4）已知是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為（A） （B）（C）（D）（5）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為，則（A）（B）（C）（D）（6）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，上下頂點(diǎn)為，，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（A）（B）（C）（D）（7）如圖，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．則下列結(jié)論不正確的是（A）平面（B）（C）二面角的大小為（D）直線與平面所成角的大小不變（8）“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上雙曲線”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）已知圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是（A）（B）（C）（D）（10）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足的周長(zhǎng)為，則面積的最小值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）以為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（12）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為．（13）已知直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則斜率的一個(gè)取值是．（14）“中國(guó)天眼”反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞著其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），利用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)出發(fā)的光線照射到拋物線，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸．如圖所示：拋物線，一條光線經(jīng)過(guò)，與軸平行照射到拋物線上的點(diǎn)處，第一次反射后經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)處，第二次反射后經(jīng)過(guò)，則的坐標(biāo)為，的值為．（15）已知曲線，點(diǎn)，下面有四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②曲線與軸圍成的封閉圖形的面積大于；③曲線上任意點(diǎn)滿足；④曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（16）（本小題13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值及相應(yīng)的；（Ⅱ）若函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，求的值和的單調(diào)遞增區(qū)間．（17）（本小題13分）在中，為鈍角，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，為線段上的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）從條件=1\*GB3①、條件=2\*GB3②、條件=3\*GB3③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，使得平面，并求直線與平面所成角的正弦值和二面角的余弦值．條件=1\*GB3①：；條件=2\*GB3②：；條件=3\*GB3③：平面平面．（19）（本小題15分）已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它的短軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）如果過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，求的面積；（Ⅲ）如果過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率．（20）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）交橢圓于點(diǎn)，，直線，分別與直線交于點(diǎn)，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，求直線斜率的取值范圍；（Ⅲ）判斷點(diǎn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（21）（本小題15分）設(shè)正整數(shù)，若由實(shí)數(shù)組成的集合滿足如下性質(zhì)，則稱為集合：對(duì)中任意四個(gè)不同的元素，均有.例如，判斷是否為集合：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí).所以是集合.（Ⅰ）判斷集合和是否為集合；（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）（Ⅱ）若集合為集合，求出所有集合，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）若集合為集合，求證：中元素不能全為正實(shí)數(shù)．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D（2）A（3）C（4）B（5）A（6）B（7）D（8）C（9）A（10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（13）或（兩個(gè)都答不給分）（14），（注：第一問(wèn)3分，第二問(wèn)2分）（15）①②④（注：對(duì)一個(gè)2分，兩個(gè)3分，有選錯(cuò)0分）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：……2分……3分……4分（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，可得……5分當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)……7分當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)……9分（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為所以，且，所以，……10分由……11分得的單調(diào)遞增區(qū)間為……13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由題意得，因?yàn)闉殁g角，……1分得，則，……2分由正弦定理……4分得，解得，……5分因?yàn)闉殁g角，則.……7分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由余弦定理，……9分得，解得……10分則.……13分（18）（共14分）（Ⅰ）證明：設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié).因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以O(shè)是BD中點(diǎn)，為線段上的中點(diǎn)所以是的中位線……1分所以，……2分平面，……3分平面，……4分所以直線平面．（Ⅱ）解：選擇=2\*GB3②，，又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，可得，所以，所以平面，…?分以為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，,,……6分設(shè)平面的法向量為由，得；……8分設(shè)直線與平面所成角為θ．則．……10分∴直線與平面所成角的正弦值為．設(shè)二面角的為，為鈍角，平面的法向量為……11分，……13分二面角的余弦值為．……14分選擇=3\*GB3③，平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，所以平面，選擇=1\*GB3①，錯(cuò)誤（19）（共15分）解：（Ⅰ）由題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為所以解得，……3分所以橢圓C的方程為，……4分橢圓離線率．……5分（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，……6分聯(lián)立得．……7分則，．……9分的高……10分（Ⅲ）當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)且斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立得．……11分則，．……12分因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，且，設(shè)，知成立，……13分，解得，經(jīng)檢驗(yàn)可知當(dāng)斜率不存在時(shí)，不成立?！?5分（20）（共15分）（Ⅰ）解：由題意得解得，……2分從而，……3分所以橢圓C的方程為．……4分（Ⅱ）解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，有，，，．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，其中．聯(lián)立得．……5分由題意，知恒成立，設(shè)，則，．……6分直線的方程為，令，得，即，同理可得．……8分所以將代入整理得……10分，解得……11分（Ⅲ）點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部.證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，有，，，則，，故，即．……12分由（Ⅱ）可知，．所以，．因?yàn)?，所以，…?4分綜上，點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部.……15分（21）(共15分）解：（Ⅰ）集合是集合，……2分集合不是集合，……4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，……5分不妨設(shè)，由集合互異性可知：則且互為相反數(shù)，若，可得，不符合題意則，可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意當(dāng)時(shí)，解得，或，，不符合題意當(dāng)時(shí)，解得，或，，不符合題意……6分當(dāng)時(shí)，解得，或，，符合題意所以集合或……8分（Ⅲ）假設(shè)中元素全為正實(shí)數(shù)，不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于所以……9分①當(dāng)中元素至少個(gè)大于時(shí)