2024-2025學(xué)年東北三省高三上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年東北三省高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)fx=Asinωx+φ（，，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．直線是圖象的一條對稱軸B．圖象的對稱中心為，C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個偶函數(shù)的圖象5．正四棱臺在古代被稱為“方亭”，在中國古代建筑中有著廣泛的應(yīng)用．例如，古代園林中的臺榭建筑常常采用這種結(jié)構(gòu)，臺上建有屋宇，稱為“榭”，這種結(jié)構(gòu)不僅美觀，還具有廣瞻四方的功能，常用于觀賞和娛樂．在正四棱臺中，，，，則（

）A．2 B． C． D．36．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，其中．若在與之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)組成一個公差為d的等差數(shù)列，則d＝（

）A．2 B．3 C． D．7．已知雙曲線的右焦點為，為坐標(biāo)原點，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，點為線段的中點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知是定義在上的函數(shù)，且，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，，且，則下列不等式恒成立的有（

）A． B． C． D．10．如圖，菱形ABCD的邊長為2，，E為邊AB的中點．將△ADE沿DE折起，折疊后點A的對應(yīng)點為，使得面面，連接，則下列說法正確的是（

）

A．D到平面的距離為B．四面體的外接球表面積為8πC．BC與所成角的余弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為11．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則下列說法正確的是（

）A．B．直線與圖象有8個交點C．是周期為2的周期函數(shù)D．方程所有根的和為三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列，，則．13．已知集合，，且的非空子集的個數(shù)為3，則整數(shù)b的一個可能取值為．14．已知函數(shù)，若恒成立，則a的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的周長為18，且b，c，a成遞增的等差數(shù)列，．點D，E和F分別在BC，AC和AB上，滿足，，．(1)求a，b，c的值；(2)求證：AD，BE和CF三線交于一點K．16．如圖，在四棱錐中，，，，，面面，點E是PC的中點．(1)證明：面；(2)當(dāng)面時，求二面角的余弦值．17．城市活力是城市高質(zhì)量發(fā)展的關(guān)鍵表征，其反映了城市空間治理能力現(xiàn)代化的水平．城市活力由人群活動和實體環(huán)境兩方面構(gòu)成，通過數(shù)學(xué)建模研究表明：一天中，區(qū)域的居民活動類型（工作、學(xué)習(xí)和休閑）越豐富，活動地點總數(shù)越多，區(qū)域之間人口流動越頻繁，城市活力度越高．市基于大數(shù)據(jù)測算城市活力度，發(fā)現(xiàn)該市一工作日中活力度與時間的關(guān)系可以用函數(shù)來近似刻畫，其中正午點的城市活力度為，是工作日內(nèi)活力度的最高值；點到次日早上點期間的城市活力度均為工作日內(nèi)活力度的最低值．(1)分別求、的值；(2)求該工作日內(nèi)，市活力度不大于的總時長．18．已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線y=gx在點處的切線方程；(2)當(dāng)存在極值時，證明：的極值小于或等于1．19．記數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為．（?。┣?；（ⅱ）證明：．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的模計算即可.【詳解】，所以，故選：B．2．【正確答案】A【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角公式判斷得解.【詳解】由，得，而，則；當(dāng)時，由，解得，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．【正確答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示求出的值，可求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量的模長公式可求得的值.【詳解】因為向量，，由可得，解得，故，故．故選：B．4．【正確答案】D【詳解】由圖易知，，得，又，，所以，因為點在函數(shù)圖象上，所以，得到，又，所以，故，對于選項A，由，得，，故直線不是圖象的一條對稱軸，所以選項A錯誤；對于選項B，由，得，，函數(shù)圖象的對稱中心為，，所以選項B錯誤；對于選項C，由，，得，，當(dāng)時，得到，所以選項C錯誤；對于選項D，將的圖象向左平移個單位長度后得，所以平移后的函數(shù)是偶函數(shù)，故選項D正確.故選：D．5．【正確答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)及結(jié)合空間向量的線性運算可得，進而結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算律求解即可．【詳解】在正四棱臺中，，，，在側(cè)面中，得，由，所以，設(shè)，則，所以，則.故選：B．6．【正確答案】B【分析】利用關(guān)系可得，結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項公式，進而得，，根據(jù)等差數(shù)列通項求公差.【詳解】因為，當(dāng)時，，兩式相減，得，即，故公比為2，所以，而當(dāng)時，得，所以等比數(shù)列的通項公式為，，所以，，公差為．故選：B7．【正確答案】C【分析】方法一：分析可得，將直線和直線的方程建立，求出點的坐標(biāo)，再由，可得出、的等量關(guān)系，由此可求得該雙曲線的離心率的值；方法二：推導(dǎo)出，結(jié)合對稱性可求出的值，求出的值，由此可得出該雙曲線的離心率的值.【詳解】方法一：因為，且為線段的中點，所以，，則，不妨設(shè)點在第一象限，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，所以，，化簡可得，即，雙曲線的離心率．方法二：因為為中點，，則，所以，又直線與直線分別為雙曲線的兩條漸近線，得，所以，，所以，故．故選：C．8．【正確答案】C【分析】借助賦值法令可得，即可得，再借助賦值法計算可得函數(shù)周期，利用所得周期計算即可得解.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，又，所以．又由，可得，所以，，故函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，所以．故選：C．9．【正確答案】ABC【分析】利用不等式性質(zhì)判斷AB；利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷C；舉例說明判斷D.【詳解】對于A，，恒成立，A正確；對于B，由，得，B正確；對于C，由，得，C正確；對于D，取，符合題意，而，D錯誤.故選：ABC10．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)題設(shè)構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點面距離、線線、線面夾角判定A、C、D；根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)確定外接球球心位置，利用等量關(guān)系列方程求球體半徑，即可求表面積判斷B.【詳解】因為菱形ABCD中，E為AB的中點，所以，即將△ADE沿DE折起后，，，又面面，面面，面，所以面，則EB，ED，兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點，EB，ED，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，，，．對于A，設(shè)面的法向量為，則，取，，D到面的距離，錯誤；對于B，取CE中點F，連接DF，由，，過F作直線面，則四面體的外接球球心O在直線l上，設(shè)，外接球半徑為R，由，得，解得，則，四面體的外接球的表面積為，正確；對于C，BC與所成角的余弦值為，正確；對于D，設(shè)面的法向量為，則取，，，正確．故選：BCD11．【正確答案】ACD【分析】利用對稱性及奇函數(shù)性質(zhì)可得、直線與的圖象交點為奇數(shù)個判斷A、B；根據(jù)題設(shè)有，再確定gx+2與的關(guān)系判斷C；根據(jù)以上分析得、，數(shù)形結(jié)合確定所有根的和，再利用周期性求所有根的和判斷D.【詳解】對于A，的圖象關(guān)于點中心對稱，則，當(dāng)時，可得，又，則，正確；對于B，因為為R上的奇函數(shù)，且為直線與圖象的一個交點，所以直線與的圖象交點為奇數(shù)個，錯誤；對于C，由A分析，得，則，所以，故是周期為2的函數(shù)，正確；對于D，因為為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈?1,1時，，由的周期為2，得，函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)x∈?1,1時，令，解得，當(dāng)時有最值，因為函數(shù)為奇函數(shù)且圖象關(guān)于中心對稱，所以圖象也關(guān)于中心對稱，當(dāng)，有兩個解，且關(guān)于對稱，當(dāng)時，所有根的和為，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性和的圖象，所有根的和為，正確．故選：ACD．關(guān)鍵點點睛：對于D，根據(jù)解析式及的周期性、正弦型函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合求所有根的和，應(yīng)用周期性求所有根的和.12．【正確答案】21【分析】根據(jù)題設(shè)及等差數(shù)列的通項公式求得，再由等差數(shù)列前n項和求結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，即，則．故21．13．【正確答案】（答案不唯一）【分析】將問題化為直線與半圓有2個公共點，數(shù)形結(jié)合及點線距離公式求參數(shù)臨界值，即可得范圍.【詳解】由是以原點為圓心，以5為半徑的右半圓（含），如圖，，的非空子集的個數(shù)為3等價于直線與半圓有2個公共點，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，當(dāng)直線與半圓相切時，得，則或（舍），由圖知，，故整數(shù)b的可能取值為．故（答案不唯一）14．【正確答案】【分析】根據(jù)題設(shè)，將問題化為恒成立，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進一步化為恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)最值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題意，在上恒成立，即，恒成立．，整理得恒成立，即，所以，令，則，故在定義域上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，令，則，當(dāng)時?′x>0，當(dāng)x∈0,+∞時，即．故關(guān)鍵點點睛：將不等式化為恒成立為關(guān)鍵.15．【正確答案】(1)，，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知及等差數(shù)列性質(zhì)可得，，結(jié)合余弦邊角關(guān)系得方程組求邊長即可；（2）根據(jù)已知各線段的線性關(guān)系得，，，設(shè)、，再應(yīng)用平面向量的基本定理用表示，求出參數(shù)值，即可證結(jié)論.【詳解】（1）因為△ABC的周長為18，所以，由于b，c，a是遞增的等差數(shù)列，故，所以，①，又②，由①②，解得，，．（2）由題意，得，，，所以，，

設(shè)BE和CF交于點K，由B，K，E三點共線，得，由C，K，F(xiàn)三點共線，得，所以，解得，則，又，所以，所以AD過點K，即AD，BE和CF三線交于一點K，得證.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得，由面面、線面垂直的性質(zhì)有，最后用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）法一：取AD的中點O，作交BC于M，連接OP，建立合適空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間線面、線線位置關(guān)系及向量垂直或平行的坐標(biāo)表示求出的坐標(biāo)，再用向量法求二面角余弦值；法二：取AD的中點O，連接OP和OC，再取OC的中點Q，連接QE，在平面ABCD內(nèi)過點Q作BC的垂線，垂足為點N，連接EN，根據(jù)二面角的定義確定∠ENQ為二面角的平面角，再根據(jù)已知求其余弦值.【詳解】（1）由題設(shè)，所以，而，則，所以，因為面面，面面，面，，所以面，又面，所以，因為面，且，所以面．（2）法一：取AD的中點O，作交BC于M，連接OP，則，面面，面面，面，則面，以O(shè)為原點，OA、OM、OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，則，，，．易知面PAD的一個法向量為，而面，故，得．因為，所以，可得（負(fù)值舍），即．設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，令，可得，易知平面ABC的一個法向量，則，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．法二：取AD的中點O，連接OP和OC，再取OC的中點Q，連接QE，在平面ABCD內(nèi)過點Q作BC的垂線，垂足為點N，連接EN，因為，且O是AD的中點，所以．面面，面面，面，則面，因為EQ是△POC的中位線，則，所以面，因為面，所以，又，面，且，所以面，又面，所以，由二面角的定義知，∠ENQ為二面角的平面角．連接BQ，并延長BQ交CD于點T．由，面，面，所以面．當(dāng)面時，面，且，則面面．由面面及線面平行的性質(zhì)定理可知．記AC交BT于F，因為點Q是OC的中點，，所以F是AC的中點，由此可知，，因為，所以，且．由，知，由，得，所以，，因此，，所以二面角的余弦值為．17．【正確答案】(1)，(2)小時【分析】（1）根據(jù)題意可得出，代入函數(shù)解析式可求得實數(shù)的值，再根據(jù)題中信息得出，可得出關(guān)于的等式，即可解得的值；（2）解不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由正午點的城市活力度為，知，代入數(shù)據(jù)得，解得，點到次日早上點期間的城市活力度均為工作日內(nèi)活力度的最低值，故，代入數(shù)據(jù)得，解得．（2）由（1）知，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，令，則，，，可得，解得，故一日內(nèi)只有當(dāng)時，活力度大于，即該工作日內(nèi)有個小時活力度不大于．18．【正確答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）根據(jù)題設(shè)得，討論參數(shù)a研究單調(diào)性，結(jié)合極值的存在性有，進而得到，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的最值，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時，則，，故曲線y=gx在點處的切線方程為，整理得．（2）由（1）得，求導(dǎo)得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故不存在極值，當(dāng)時，存在，使得，且，在上f′x<0，單調(diào)遞減，在上f′x>0此時存在極值，由計算得，設(shè)，，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以時，取得極大值，也是最大值，故，即的極值小于或等于1．19．【正確答案】(1)；(2)（?。唬áⅲ┳C明見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系，利用關(guān)系及等比數(shù)列定義寫出通項公式；（2