2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（普高班）附解析

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（普高班）一、單選題（本大題共8小題）1．過點且與直線垂直的直線方程是（）A． B． C． D．2．已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．3．如圖所示，在平行六面體中，E，F(xiàn)，H分別為，，DE的中點．若，，，則向量可用表示為（

）A． B．C． D．4．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于3”為事件A，“第二枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)不小于3”為事件B，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．事件A與事件B互為對立事件 B．事件A與事件B相互獨立C． D．5．一個袋子中裝有形狀大小完全相同的6個紅球，個綠球，現(xiàn)采用不放回的方式從中依次隨機取出2個球.若取出的2個球都是紅球的概率為，則的值為（

）A．4 B．5 C．12 D．156．設(shè)，分別是橢圓的右頂點和上焦點，點在上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點，則的最大值為A． B． C． D．8．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點滿足，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（

）A．的方程為B．在上存在點，使得到點的距離為3C．在上存在點，使得D．上的點到直線的最小距離為1二、多選題（本大題共3小題）9．已知方程表示的曲線為，則（

）A．當(dāng)時，曲線表示橢圓B．存在，使得表示圓C．當(dāng)或時，曲線表示雙曲線D．若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則焦距為10．已知直線，直線，圓，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若為圓上一點，則的最小值為C．若與圓相交于，兩點，則D．過上一點向圓作切線，切點為，則11．正方體的棱長為1，為側(cè)面上的點，為側(cè)面上的點，則下列判斷正確的是（

）A．若，則到直線的距離的最小值為B．若，則，且直線平面C．若，則與平面所成角正弦的最小值為D．若，，則，兩點之間距離的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，若，則實數(shù)的值為．13．已知F為雙曲線的右焦點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,若的面積為（O為坐標(biāo)原點），則C的離心率為．14．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個集點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點.如圖，膠片電影放映機的聚光燈有一個反射鏡.它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓.為了使影片門（電影膠片通過的地方）處獲得最強的光線，燈絲，與影片門應(yīng)位于橢圓的兩個焦點處.已知橢圓：，橢圓的左右焦點分別為，，一束光線從發(fā)出，射向橢圓位于第一象限上的Р點后反射光線經(jīng)過點，且，則的角平分線所在直線方程為__________.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切．(1)求圓的方程；(2)經(jīng)過點的直線與圓相交于A，B兩點，若，求直線的方程．16．某校團委舉辦“喜迎二十大，奮進新征程”知識競賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(3,4)，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,2).甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．17．已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合，其漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)若雙曲線的一弦中點為，求此弦所在的直線方程．18．如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點D到達點P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．19．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，動圓P與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓P的圓心的軌跡為E．(1)求軌跡E的方程；(2)不過圓心且與x軸垂直的直線交軌跡E于A，M兩個不同的點，連接交軌跡E于點B（i）若直線MB交x軸于點N，證明：N為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡E于D，G兩個不同的點，且，求四邊形ADBG面積的最小值．

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)垂直求出直線斜率，再由點斜式即可求出方程.【詳解】直線的斜率為，則所求直線的斜率為，則所求直線方程為，即.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】圓：，圓：兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為.故選：B3．【正確答案】B【詳解】由題意，,且，，故選：B.4．【正確答案】B【詳解】第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于3與第二枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)不小于3可以同時發(fā)生，即事件A與事件B不互斥，則事件A與事件B不是對立事件，A不正確；，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗的所有結(jié)果：，共36個，它們等可能，事件AB所含的結(jié)果有：，共8個，則有，即事件A與事件B相互獨立，B正確；顯然，，C，D都錯誤.故選：B.5．【正確答案】A【分析】利用古典概型概率計算公式列出方程，能求出的值．【詳解】一個袋子中有若干個大小質(zhì)地完全相同的球，其中有6個紅球，個綠球，從袋中不放回地依次隨機取出2個球，取出的2個球都是紅球的概率是，則，解得，負值舍去，故選：A．6．【正確答案】A【詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，由，得，則，而點在橢圓上，于是，解得，所以的離心率為.故選：A7．【正確答案】A【分析】由題意，設(shè)橢圓C的右焦點為，由已知條件推導(dǎo)出，利用Q，，P共線，可得取最大值．【詳解】由題意，點F為橢圓的左焦點，，點P為橢圓C上任意一點，點Q的坐標(biāo)為，設(shè)橢圓C的右焦點為，

，，，即最大值為5，此時Q，，P共線，故選A．本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義和簡單的幾何性質(zhì)，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想以及推理與運算能力．8．【正確答案】C【詳解】對A：設(shè)點Px,y∵，則，整理得，故C的方程為，故A正確；對B：的圓心，半徑為，∵點到圓心的距離，則圓上一點到點的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點D，使得D到點的距離為9，故B正確；對C：設(shè)點Mx,y∵，則，整理得，∴點M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點，∴在C上不存在點M，使得，C不正確；對D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點到直線的最小距離為，故D正確；故選：C.9．【正確答案】BC【詳解】A、B選項：當(dāng)時，，，當(dāng)時，，此時曲線表示圓，A選項錯誤，B選項正確；C選項：當(dāng)時，，，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，當(dāng)時，，，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，C選項正確；D選項：若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則，則，則橢圓的焦距，D選項錯誤；故選：BC.10．【正確答案】ABD【詳解】對于選項A，若，則，得，故選項A正確．對于選項B，設(shè)，可得，當(dāng)直線與圓有公共點時，則，解得，所以的最小值為，故選項B正確．對于選項C，因為，化簡可得，令，解得，故過定點，當(dāng)時，取最小值，則，故選項C不正確．對于選項D，因為，所以當(dāng)取得最小值時，取得最小值，而當(dāng)時，取得最小值為圓心到直線的距離，故當(dāng)時，取得最小值為，故選項D正確，故選：ABD.11．【正確答案】BD【分析】由已知可推得為以點為圓心，為半徑的圓上.作圖，即可根據(jù)圓的性質(zhì)得出最小值，判斷A項；先證明平面，結(jié)合，即可得出平面；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，表示出，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可判斷C項；為直線與的公垂線段時，最小.設(shè)，且，，求出，即可根據(jù)投影向量，求出最小值.【詳解】對于A項，因為，所以在以為球心，為半徑的球上.又為側(cè)面上的點，所以在球被平面截得的交線上.因為，平面，，，所以，所以，為以點為圓心，為半徑的圓上.如圖1，，則，到直線的距離的最小值為，故A項錯誤；對于B項，如圖2，連結(jié).因為平面，平面，所以.又，平面，平面，，所以，平面.又平面，所以.同理可得，.又平面，平面，，所以，平面.又，平面，所以直線平面，故B項正確；對于C項，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸的正方向，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.因為，設(shè)，，.設(shè)是平面的一個法向量，則，即，取，則，是平面的一個法向量.則，又，當(dāng)時，有最小值1，所以，，即，所以，與平面所成角正弦的最大值為，故C項錯誤；對于D項，由C項知，，.當(dāng)，，即為直線與的公垂線段時，最小.設(shè)，且，，則，即，取，則.在方向上的投影向量的模為，所以，，兩點之間距離的最小值為，故D項正確.故選：BD.12．【正確答案】2【詳解】由，，得，，由，得，即，即，解得，所以實數(shù)的值為2.故213．【正確答案】【詳解】設(shè)C的半焦距為，則，漸近線方程為，即，故點F到漸近線的距離為，則，由題意可得，即，可得，所以，即．故答案為.14．【正確答案】【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，再在中利用余弦定理及橢圓的定義求出，進而得到為直角三角形，利用中角的關(guān)系可求出，再通過求出點坐標(biāo)，則直線方程可求.【詳解】如圖，設(shè)的角平分線與軸交于點，，，設(shè)，則，解得，即為直角三角形又，，，，當(dāng)時，，得，，，即故15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，

由已知得，

解得，，，

所以圓的方程為，即；（2）①若直線有斜率，可設(shè)的方程為，即，

由已知，則圓心到直線的距離

解得，

此時，直線的方程為，即；

②若直線沒有斜率，則的方程為，

將其代入，可得或，即得，，滿足條件，

綜上所述，直線的方程為或．16．【正確答案】(1)派乙參賽贏得比賽的概率更大(2)eq\f(3,5)【詳解】(1)記事件A1表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件A2表示“甲在第二輪比賽中勝出”，事件B1表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件B2表示“乙在第二輪比賽中勝出”，所以A1A2表示“甲贏得比賽”，P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,25)，B1B2表示“乙贏得比賽”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，因為eq\f(9,25)<eq\f(3,8)，所以派乙參賽贏得比賽的概率更大．(2)記C表示“甲贏得比賽”，D表示“乙贏得比賽”，由(1)知P(eq\x\to(C))＝1－P(A1A2)＝1－eq\f(9,25)＝eq\f(16,25)，P(eq\x\to(D))＝1－P(B1B2)＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8)，所以C∪D表示“兩人中至少有一個贏得比賽”，P(C∪D)＝1－P(eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝1－P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝1－eq\f(16,25)×eq\f(5,8)＝eq\f(3,5)，所以兩人中至少有一人贏得比賽的概率為eq\f(3,5).17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為橢圓的焦點為，，所以，則①，又雙曲線的漸近線為，所以，即②，由①②，解得，所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)弦的兩端分別為Ax1,則有，兩式作差得，整理得到，因為弦中點為，所以，故直線的斜率，則所求直線方程為，即．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在；【分析】（1）推導(dǎo)出，證明出平面，可得出，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，,,的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：翻折前，因為四邊形為平行四邊形，，則，因為，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因為，，,平面，所以，平面，因為平面，則，因為，，平面，所以，平面，所以平面平面.（2）因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，,,的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,,，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，，平面的一個法