2024-2025學(xué)年山東省新泰市高三上冊(cè)第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省新泰市高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得到結(jié)論．【詳解】，，，故選：．本題主要考查集合的基本運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，比較基礎(chǔ)．2.已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋怨蔬x：A本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.【正確答案】A【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)，結(jié)合同號(hào)可得.【詳解】由等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，又，所以.故選：A4.直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)直線的傾斜角為.由已知，可推得.分兩種情況時(shí)以及時(shí)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為.因?yàn)?，，，所以?又，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解，可得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解，可得.綜上所述，.故選：B.5.如圖，某車(chē)間生產(chǎn)一種圓臺(tái)形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為4cm，已知點(diǎn)是上底面圓周上不與直徑端點(diǎn)重合的一點(diǎn)，且為上底面圓的圓心，PC為圓臺(tái)的一條母線，則與平面所成的角的正切值為（）A.2 B. C. D.【正確答案】A【分析】作出直線與平面所成的角，通過(guò)解直角三角形來(lái)求得直線與平面所成的角的正切值.【詳解】設(shè)為下底面圓的圓心，連接和，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槭窃搱A臺(tái)的一條母線，所以四點(diǎn)共面，且，又平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫渣c(diǎn)在平面的射影在直線上，則與平面所成的角即為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，所以故選：A6.已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，則的面積為（）A. B.2 C. D.【正確答案】C【分析】由正弦定理可得：，化簡(jiǎn)利用余弦定理可求得角,由可求得，根據(jù)面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】由已知及正弦定理得，化簡(jiǎn)得，∴，，∴，∴，∴．故選：C本題主要考查了數(shù)量積公式，考查解三角形中的正余弦定理以及面積公式的運(yùn)用，屬于中檔題.7.如圖所示，在正六邊形中，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】以直線FB為x軸，線段FB的中垂線為y建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由點(diǎn)P所在區(qū)域求解作答.【詳解】在正六邊形中，以直線FB為x軸，線段FB中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令，則點(diǎn)，因此，因，則，于是得點(diǎn)，又點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，顯然點(diǎn)P在直線及上方，點(diǎn)P縱坐標(biāo)最大不超過(guò)3，即有，解得，所以的取值范圍是.故選：B8.已知函數(shù)，若且，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)于另一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，計(jì)算出直線的傾斜角為，可得出，于是當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，取最大值，從而取到最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；如下圖所示：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)于另一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，，由圖形可知，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，取最大值，令，得，切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線為，該直線與射線的交點(diǎn)為，又，，故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)差的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩平行直線的距離，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列滿足，，則下列各數(shù)是的項(xiàng)的有（）A. B. C.2 D.3【正確答案】AD【分析】根據(jù)遞推式求出的值，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列為周期數(shù)列，從而得出答案.【詳解】因，所以，所以數(shù)列的周期為3，所以的項(xiàng)的有.故選：AD.10.已知直線，其中，則（

）A.當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直B.若直線與直線平行，則C.直線過(guò)定點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【正確答案】AC【分析】計(jì)算直線斜率判斷A；由平行求出參數(shù)值判斷B；求出直線過(guò)的定點(diǎn)判斷C；求出直線的截距判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為，因此當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，A正確；對(duì)于B，若直線與直線平行，則，解得或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，與無(wú)關(guān)，則直線過(guò)定點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是，1，不相等，D錯(cuò)誤.故選：AC11.設(shè)函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，已知在上有且只有個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B.在上單調(diào)遞增C.的取值范圍是D.在上有且只有個(gè)極大值點(diǎn)，在上有且只有個(gè)極小值點(diǎn)【正確答案】BC【分析】先求得的解析式，然后根據(jù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求得的取值范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性、極值點(diǎn)等知識(shí)來(lái)求得正確答案.【詳解】函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù).當(dāng)時(shí)，，依題意，在上有且只有個(gè)零點(diǎn)，所以，所以C選項(xiàng)正確.不恒為或，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，其中，，所以在上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，其中，所以在上有且只有個(gè)極大值點(diǎn)，在上有個(gè)或個(gè)極小值點(diǎn)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC易錯(cuò)點(diǎn)睛：對(duì)稱(chēng)性判斷：容易忽視相位偏移對(duì)函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的影響，平移量為并不保證函數(shù)圖象在對(duì)稱(chēng)，零點(diǎn)計(jì)算：解零點(diǎn)分布時(shí)，需考慮到周期性以及函數(shù)相位的影響，特別是的取值范圍.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知、是分別經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)、間的距離最大時(shí)，直線的方程為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】先判斷出當(dāng)⊥AB時(shí)、間的距離最大，求出，進(jìn)而求出，即可求出直線的方程.【詳解】設(shè)兩平行直線、的距離為d.因?yàn)?、是分別經(jīng)過(guò)，點(diǎn)的兩條平行直線，所以,當(dāng)且僅當(dāng)⊥AB時(shí)取等號(hào).因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以與直線AB垂直的直線的斜事為，所以的方程為，即.故13.已知數(shù)列滿足，的前項(xiàng)的和記為，則______.【正確答案】【分析】利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)得出，可求得，進(jìn)而可計(jì)算得出的值.【詳解】，，因此，.故答案為.本題考查裂項(xiàng)相消法求和，同時(shí)也考查了利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．【正確答案】.【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?，所以?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因，所以，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得.故答案為.本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題，考查了扇形中的弧長(zhǎng)公式，屬于中檔題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，的面積為.（1）求a；（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得的值，結(jié)合三角形面積公式可求得的值，再運(yùn)用余弦定理可求得的值.（2）先由（1）得出，進(jìn)而由正弦定理求得，再由二倍角公式得到，最終由兩角和的余弦公式運(yùn)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，又因?yàn)?，所以由余弦定理得：，所?【小問(wèn)2詳解】由，，解得或（舍去），由正弦定理得，即，解得.且C為銳角，所以，所以，，所以.16.已知直線．（1）若直線不經(jīng)過(guò)第一象限，求k的取值范圍；（2）若直線交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值和此時(shí)直線的方程．【正確答案】（1）（2）的最小值為，此時(shí)直線的方程為【分析】(1)驗(yàn)證時(shí)，直線是否符合要求，當(dāng)時(shí)，將直線方程化為斜截式，結(jié)合條件列不等式求k的取值范圍；(2)先求直線在軸和軸上的截距，表示的面積，利用基本不等式求其最小值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，方程可化為，不經(jīng)過(guò)第一象限；當(dāng)時(shí)，方程可化為，要使直線不經(jīng)過(guò)第一象限，則解得．綜上，k的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】由題意可得，由取得，取得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，綜上，此時(shí)，直線的方程為．17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的正整數(shù)的最小值．【正確答案】（1）（2）6【分析】（Ⅰ）設(shè)的公比為，由題設(shè)條件，求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，利用乘公比錯(cuò)位相減法，求得，再根據(jù)題設(shè)，列出不等式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）設(shè)的公比為，由得，，所以，所以.又因?yàn)?，所以，所?所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，則，，所以，由，得，即，則，所以的最小值是6.本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”，此類(lèi)題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.18.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：AE⊥平面PBC；（2）試確定點(diǎn)F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°．【正確答案】（1）見(jiàn)解析（2）當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°【分析】（1）證明．，推出平面．得到．證明，得到平面．然后證明平面平面．（2）分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，求出為平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【詳解】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD∴PA⊥BC∵ABCD正方形∴AB⊥BC又PA∩AB=A，PA，AB平面PAB∴BC⊥平面PAB∴AE平面PAB∴AE⊥BC∵PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)∴AE⊥PB又PB∩BC=B，PB，BC平面PBC∴AE⊥平面PBC（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）∴，，設(shè)F（2，λ，0）（0≤λ≤2），∴設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為則∴令y1=2，則∴設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為則∴令y2=1，則∴∵平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°，∴，解得λ=1，∴當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°本題考查空間直線和直線、直線和平面、平面和平面的垂直的證明，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的邏輯推理能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力和空間想象能力．考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算．19.已知函數(shù)()，()，且函數(shù)的圖像在點(diǎn)(1，)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，其中＜，試比較與的大?。菊_答案】（1）；（2）答案見(jiàn)詳解；（3）.【分析】（1）先求出切點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，即可求出的值；（2）求出，求導(dǎo)，若時(shí)，，若時(shí)，求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）由（2）知，，由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足方程，利用韋達(dá)定理得，，求，令，求導(dǎo)，分析的單調(diào)性，求出最值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意知，