2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上冊月考2數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．若直線l的方向向量，平面的法向量，則（

）A． B． C． D．或3．已知直線l1：與l2：平行，則l1與l2的距離為（

）A． B． C． D．4．已知圓，若圓與圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)（

）A．9 B． C．8 D．5．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．古希臘的幾何學(xué)家用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面去截一個(gè)圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，M為PB中點(diǎn)，某同學(xué)用平行于母線PA且過點(diǎn)M的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線．若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．2 B．3 C． D．7．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，、為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為（

）A．10 B．8 C．24 D．8．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在上存在點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），使得，則的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．對于直線與圓，下列說法不正確的是（

）A．過定點(diǎn)B．的半徑為9C．與可能相切D．被截得的弦長最小值為10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線：的焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．C． D．11．已知正方體的棱長為1，H為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．平面與平面的夾角為C．三棱錐的體積為定值D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為三、填空題（本大題共4小題）12．已知，則．13．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為.14．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是.15．正方體的棱長為5，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為25，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的最小值是.四、解答題（本大題共5小題）16．已知圓過原點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在軸上.(1)求圓的方程；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程.17．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足直線與的斜率之積為2.記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若，是曲線上兩點(diǎn)，試判斷點(diǎn)能否成為線段的中點(diǎn)，如果可以，求出直線的方程；如果不可以，請說明理由.18．如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E為AB中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．19．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線E上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且是拋物線E上異于O的兩點(diǎn).(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的斜率之積為，求證：直線恒過定點(diǎn).20．已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，記的面積為S，求S的最大值．

答案1．【正確答案】D【詳解】由雙曲線，可得，則，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.2．【正確答案】D【分析】根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以?故選：D3．【正確答案】D【詳解】由題意知，，又，所以，且兩直線之間的距離為.故選：D4．【正確答案】B【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為.若圓M與圓恰有三條公切線，則兩圓外切.圓可化為，圓心為，半徑為，.由，所以，解得.故選：B5．【正確答案】B【詳解】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量方向分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以異面直線與所成角的余弦值等于.故選：B6．【正確答案】D【詳解】因?yàn)镸是PB的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，則，，截圓錐的平面平行于母線PA且過母線PB的中點(diǎn)M，故O也在截面上，根據(jù)對稱性可知拋物線的對稱軸為，焦點(diǎn)在上，建立以M為原點(diǎn)，為x軸，過M點(diǎn)的垂線為y軸，設(shè)拋物線與底面交點(diǎn)為E，則，設(shè)拋物線為y2=2pxp>0，則，解得即該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，即為.故選：D.7．【正確答案】B【詳解】橢圓中，，因?yàn)?、為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，所以，又，故四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為矩形，即⊥，由勾股定理得①，由橢圓定義得②，式子②平方得，結(jié)合①得，故四邊形的面積為.故選：B8．【正確答案】A【詳解】設(shè)與y軸交于點(diǎn)，連接，則，得到，因?yàn)?，故P點(diǎn)在雙曲線右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形內(nèi)角和為，故，則，即，即，所以的離心率的取值范圍為，故選：A.9．【正確答案】BC【詳解】可變形為，由，得，所以直線過定點(diǎn)2,3，故A正確；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑為3，故B不正確；由，所以點(diǎn)2,3在圓的內(nèi)部，所以與相交，不會(huì)相切，故C不正確；當(dāng)與點(diǎn)2,3和圓心的連線垂直時(shí)，被截得的弦長最小.因?yàn)辄c(diǎn)2,3和圓心連線的斜率為，所以，解得，此時(shí)的方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以弦長為，故D正確.故選：BC.10．【正確答案】BC【詳解】由題意，則拋物線：，準(zhǔn)線方程為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組得，解得，，所以點(diǎn)，點(diǎn)，所以，，故選項(xiàng)BC正確；又，所以，故，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：BC.

11．【正確答案】AC【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)，其中.對于A選項(xiàng)，，，則，所以，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，則，設(shè)平面的法向量為，，由，取，則，則，可得，所以平面與平面的大小不是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，平面，平面，平面，到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離，而點(diǎn)A到平面的距離為，即三棱錐的高為，因此，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，平面，則為平面的一個(gè)法向量，且，又，，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC.【方法總結(jié)】求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.12．【正確答案】【詳解】由，有．故13．【正確答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).【詳解】由已知可得，又為上一點(diǎn)且在第一象限,為等腰三角形，．∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．14．【正確答案】【詳解】方程可以轉(zhuǎn)化為，所以或或或，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為原點(diǎn)和四段圓弧.如圖：

由于對稱性，僅考慮圓弧，其表示圓心為，半徑為的圓弧，顯然當(dāng)點(diǎn)P為時(shí)，.故15．【正確答案】【詳解】如圖所示，作，Q為垂足，則易知平面，過點(diǎn)Q作，交于，則易知平面，所以即為P到直線的距離．因?yàn)?，且，所以．所以點(diǎn)P的軌跡是以AD為準(zhǔn)線，點(diǎn)M為焦點(diǎn)的拋物線．如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的軌跡方程是，點(diǎn)，設(shè)，所以，所以當(dāng)，取得最小值.故16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為.依題意，在，解得從而圓的半徑為，所以圓的方程為.（2）依題意，圓C的圓心到直線的距離為4，顯然直線符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即所以解得，所以直線的方程為綜上，直線的方程為或.17．【正確答案】(1)（且）(2)不可以，理由見解析【詳解】（1）由題意，顯然且，所以的方程為（且）；（2）設(shè)在曲線上（），且中點(diǎn)為，則（且），所以，所以直線為即，，聯(lián)立，整理得，，解得x=1或，但這與且矛盾，故不符合題意；設(shè)在曲線上（），且中點(diǎn)為，但根據(jù)雙曲線的對稱性可知，中點(diǎn)應(yīng)該為，這與中點(diǎn)為，矛盾；綜上所述，不存在滿足題意的直線的方程.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)O，連接OE，由分別為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由，底面，故底面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，即，令，則，則，因?yàn)榈酌?，所以為平面一個(gè)法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19．【正確答案】(1).(2)證明見解析.【詳解】（1）由題意得，，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且，則，∴拋物線E的方程為；（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，因?yàn)橹本€的斜率之積為則，化簡得．所以，此時(shí)直線的方程為．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，化簡得，需滿足，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以，即，即，解得（舍去）或，所以，即，滿足，所以，即，綜上所述，直線過定點(diǎn)．20．【正確答案】(1);