2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．過點，且傾斜角為的直線方程為（）A． B． C． D．2．某市年深入實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，新產(chǎn)業(yè)新產(chǎn)品增勢良好．調(diào)研統(tǒng)計了家企業(yè)，得到了他們的科技創(chuàng)新月平均新增收益如下：（單位：百萬元），則其百分位數(shù)是（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，，若，則（）A． B． C． D．4．與橢圓共焦點，且與雙曲線共漸近線的雙曲線的方程為（）A． B． C． D．5．如圖，空間四邊形OABC中，，點M在線段OA上，且，點N為BC中點，則（

）A． B．C． D．6．有一組數(shù)據(jù)：2，4，5，7，6，7，x，10，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．5 B．6 C．7 D．87．拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面的反射后，集中于它的焦點.已知一束平行反射鏡軸的入射光線與拋物線的交點為A（4，4），則反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為（

）

A． B． C． D．8．“天問一號”是執(zhí)行中國首次火星探測任務(wù)的探測器，該名稱源于屈原長詩《天問》，寓意探求科學(xué)真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無止境．圖（1）是“天問一號”探測器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個焦點．過橢圓上的點P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問一號”在點P時對火星的觀測角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個點處，對火星的觀測角最大的是（

）A．Q B．R C．S D．T二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓B．當(dāng)曲線表示雙曲線時，的取值范圍是C．當(dāng)時，曲線表示兩條直線D．存在，使得曲線為等軸雙曲線10．設(shè)是兩個隨機事件，若，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則相互獨立 D．若相互獨立，則11．在正方體中，，點是的中點，空間中一點滿足，則（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得與所成角為三、填空題（本大題共3小題）12．已知拋物線，則其焦點到準(zhǔn)線的距離為．13．如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件的可靠性是，則從到這部分電路暢通的概率為．14．已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線，其焦點F到其準(zhǔn)線的距離為2，過焦點F且傾斜角為45°的直線l交拋物線C于A，B兩點，(1)求拋物線C的方程及其焦點坐標(biāo)；(2)求．16．已知動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值，試求：(1)動點P的軌跡C的方程；(2)是否存在過點與（1）中曲線C相交所得弦長的直線，若存在，求直線l的方程；若不存在，試說明理由.17．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點，N是AB的中點．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓．

(1)若直線過點，且與圓相切，求直線的方程；(2)設(shè)為直線上的點，滿足：過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等．試求滿足條件的點的坐標(biāo)．19．一般地，我們把平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距.(1)請用上述定義證明反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；(2)利用所學(xué)的知識，指出雙曲線的焦點坐標(biāo)與漸近線方程；(3)我們知道，雙曲線上的任意一點到與的距離之積是常數(shù)，即.探討雙曲線上的任意一點是否有類似結(jié)論，若有，寫出結(jié)論并證明；若沒有，則說明理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】因為過點的直線傾斜角為，即直線垂直于軸，所以直線方程為.故選：A2．【正確答案】C【詳解】因為，所以從小到大排列取第個數(shù)為．故選：C．3．【正確答案】B【詳解】由，知，使得，即，所以，解得，所以．故選：B4．【正確答案】A【詳解】因為橢圓，焦點在y軸上，且，又因為所為雙曲線與雙曲線共漸近線，所以設(shè)所求雙曲線，即則，解得.所以所求雙曲線為.故選：A5．【正確答案】D【詳解】點M在線段OA上，且，又，∵N為BC的中點，.故選：D.6．【正確答案】A【詳解】依題意，，解得，所以組數(shù)據(jù)的方差為.故選：A7．【正確答案】C【分析】由題意可以求出拋物線的方程，再根據(jù)光線的反射性質(zhì)求出反射光線的方程，即可求出反射光線與拋物線的交點坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式即可得出答案.【詳解】因為點在拋物線上，所以，解得，所以拋物線方程為.故拋物線的焦點為，又因為反射光線經(jīng)過點及焦點，所以反射光線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，解得或，故反射光線AB與拋物線的交點為，由兩點距離公式得所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為.故選C.

8．【正確答案】A【分析】連接點P和橢圓的左焦點，由對稱性和橢圓上點到焦點距離的特征得點P位于條件中點Q處，對火星的觀測角最大.【詳解】設(shè)火星半徑為R，橢圓左焦點為，連接，則，因為，所以越小，越大，越大，所以當(dāng)點P位于條件中點Q處，對火星的觀測角最大.故選：A.9．【正確答案】AC【詳解】對于A，當(dāng)時，，表示焦點在軸上的橢圓，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故選項正確；對于，若曲線表示雙曲線，則，解得或，即實數(shù)的取值范圍為，故選項B錯誤；對于，當(dāng)時，曲線，即，即曲線表示兩條直線，故選項C正確；對于，若曲線為等軸雙曲線，則，解集為，不存在，使得曲線為等軸雙曲線，故選項D錯誤．故選：AC．10．【正確答案】AC【詳解】對于A，若，則，A正確；對于B，若，則事件互斥，所以，B錯誤；C選項，因為，所以，則相互獨立，C正確；D選項，若相互獨立，則相互獨立，且，所以，D錯誤．故選：AC．11．【正確答案】AC【詳解】對于選項A，當(dāng)時，，如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時P在線段上，由于在正方體中，平面，平面，所以，選項A正確；對于選項B，當(dāng)時，，如圖所示，

由平面向量基本定理，此時P在線段上，由圖可知，三棱錐當(dāng)以平面為底面時為定值，但因為頂點P在線段上運動，所以P到底面的高不確定，故三棱錐的體積不是定值，選項B錯誤；對于選項C，當(dāng)時，如圖所示，

此時，由平面向量基本定理，取AB與中點M，N，則P在線段MN上運動，由圖可知，過B點且與平面平行的平面為平面，平面，所以此時平面，又P是MN與交點，即當(dāng)且僅當(dāng)P是MN中點時，有平面，故選項C正確；對于選項D，如圖所示，

以D為原點，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為，則有，又，所以，所以.于是，，所以的夾角為時有，，解得或，即或都可以使得的夾角為，選項D錯誤.故選：AC.12．【正確答案】/0.25【詳解】由得，所以拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離.故13．【正確答案】【詳解】上半部分電路暢通的概率為：，下半部分電路暢通的概率為，上下兩部分并聯(lián)，暢通的概率為：．故答案為.14．【正確答案】/【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點，則，從而.

設(shè)的左焦點為，連接，由雙曲線的定義，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)拋物線C的方程為．焦點坐標(biāo)為．(2)8【分析】（1）根據(jù)焦點F到其準(zhǔn)線的距離求出，即可求出拋物線C的方程及其焦點坐標(biāo).（2）根據(jù)直線l過焦點F且傾斜角為45°，得出直線l的方程，讓直線l與拋物線方程聯(lián)立，消去y，設(shè)出A，B兩點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義即可求出.【詳解】（1）由題意在拋物線中，焦點F到其準(zhǔn)線的距離為2，∴，∴拋物線C的方程為，焦點坐標(biāo)為．（2）由題意及（1）得在拋物線中，過焦點F且傾斜角為45°的直線l的方程為，∴聯(lián)立方程組消去y可得，設(shè)，，則，∴根據(jù)拋物線的定義，．16．【正確答案】(1)；(2)存在，或.【詳解】（1）設(shè)動點，由題意，化簡整理得，故點P的軌跡C的方程是.（2）直線斜率不存在時不合題意，斜率存在時，設(shè)直線與曲線C的交點為，由，得，，則，，，整理得，解得或（舍）.經(jīng)檢驗，符合題意，直線l的方程為，即或.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，是的中點，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．18．【正確答案】(1)或(2)【分析】（1）直線斜率不存在時，顯然滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得切線方程；（2）設(shè)點，當(dāng)直線斜率存在時，根據(jù)截得弦長相等可求得的值；當(dāng)斜率為時，易知不滿足題意；當(dāng)直線斜率存在且不為時，假設(shè)直線方程，根據(jù)垂徑定理表示出直線被圓截得的弦長，根據(jù)有無數(shù)個解可確定的取值.【詳解】（1）由圓的方程知：圓心，半徑；當(dāng)直線斜率不存在時，即，此時直線與圓顯然相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為：，即，圓心到直線的距離，解得：，直線方程為：，即；綜上所述：直線方程為或.（2）由圓的方程知：圓心，半徑；設(shè)點，①當(dāng)過的直線斜率不存在時，則方程為：，方程為：；則被圓截得的弦長為：；被圓截得的弦長為，解得：或；或；②當(dāng)過的直線斜率為時，直線斜率不存在，此時與圓相離，不合題意；③當(dāng)過的直線斜率存在且不為時，設(shè)，則，即，，圓心到直線的距離；圓心到直線的距離；直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，，即，，又，，，，當(dāng)時，整理可得：，滿足題意的直線有無數(shù)對，，解得：，即；當(dāng)時，整理可得：，滿足題意的直線有無數(shù)對，，方程組無解；綜上所述：滿足條件的點的坐標(biāo)為.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)焦點：；準(zhǔn)線：和(3)答案見解析【詳解】（1）證明：觀察圖象可知若函數(shù)的圖象是雙曲線，則它一定是等軸雙曲線，且軸?軸是圖象的漸近線，直線是雙曲線的對稱軸，它與雙曲線的兩個交點是雙曲線的兩個頂點，實軸長.兩焦