中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第19講 平行四邊形中的分類討論（原卷版）

第19講平行四邊形中的分類討論【應(yīng)對方法與策略】平行四邊形中的動點問題是一類非常重要的問題，它將三角形和平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合在一起進(jìn)行考察。一、解題基本思路解決動點問題的思路，要注意以下幾點：1、設(shè)出未知數(shù)動點問題一般都是求點的運動時間，通常設(shè)運動時間為t2、動點的運動路徑就是線段長度題目通常會給動點的運動速度例如每秒兩個單位，那么運動路程就是2t個單位。而2t也就是這個點所運動的線段長。進(jìn)而能表示其他相關(guān)線段的長度。所以我們在做動點問題的時候，第一步就是把圖形中的線段都用含t的代數(shù)式來表示。3、方程思想求出時間動點問題通常都是用方程來解決，根據(jù)題目找到線段之間的等量關(guān)系，然后用含有t的代數(shù)式表示出來，列出方程求解出t的值。4、難點是找等量關(guān)系這種題的難點是找到等量關(guān)系。這個等量關(guān)系往往不是題目中用語言敘述出來的，而是同學(xué)們根據(jù)題型自己挖掘出來的等量關(guān)系，所以對同學(xué)們圖形分解的能力以及靈活運用知識的能力要求非常高。5、注意分類討論因為點的運動的位置不同，形成的圖形就不同，符合結(jié)論的情況可能就不止一種，所以做動點問題要注意分類討論?！径囝}一解】【一題多解】一、填空題1．（2022春·四川巴中·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，cm，cm，點在邊上以每秒1cm的速度從點、A向點運動，點在邊上，以每秒4cm的速度從點出發(fā)，在間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點到達(dá)點時停止（同時點也停止）在運動以后，當(dāng)______時以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形．二、解答題2．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級嘉祥縣第四中學(xué)校考期末）已知，如圖拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側(cè)．點B的坐標(biāo)為，．(1)求拋物線的解析式；(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形AOCD面積的最大值；(3)若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2022春·廣東湛江·八年級吳川市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，直線經(jīng)過點，與x軸交于點A，與y軸交于點B．線段平行于x軸，交直線于點D，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)動點P從點O出發(fā)，沿對角線以每秒1個單位長度的速度向點D運動，直到點D為止：動點Q同時從點D出發(fā)，沿對角線以每秒1個單位長度的速度向點O運動，直到點O為止．設(shè)兩個點的運動時間均為1秒，當(dāng)時，求的面積．(3)在（2）的條件下，當(dāng)點P，Q運動至四邊形為矩形時，求t的值．4．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，中，，動點P、Q、M、N分別從點A、B、C、D同時出發(fā)，沿平行四邊形的邊，分別向點B、C、D、A勻速運動，運動時間記為t，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，其余各點均停止運動，連接PQ，QM，MN，NP．已知，，動點P、M的速度均是，動點Q、N的速度均是，(1)_______，_______（用含t的代數(shù)式表示）(2)在點P、Q、M、N的整個運動過程中，四邊形PQMN一定會是一種特殊的四邊形嗎？如果是，指出并證明你的結(jié)論，如果不是，說明理由．(3)在點P、Q、M、N的運動過程中，四邊形PQMN能成為菱形嗎？如果能，求出t的值，如果不能，說明理由．5．（2023春·遼寧大連·九年級專題練習(xí)）已知、為雙曲線上兩點，且其橫坐標(biāo)分別為，，分別過、作軸、軸的垂線，垂足分別為、，交點為．(1)若矩形的面積為，求的值；(2)隨著a的取值的不同，兩點不斷運動，判斷能否為邊的中點，同時為中點？請說明理由；(3)矩形能否成為正方形？若能，求出此時的值及正方形的邊長，若不能，說明理由．6．（2022春·廣東·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有長方形OABC，其中點C坐標(biāo)為，，點D是邊OC的中點，點P是射線CA上的一個動點，請回答下面的問題：(1)若點P是線段AC的中點，直接寫出________．(2)如圖2，過點P作軸，垂足是點E，若以C、D、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點P的坐標(biāo)．(3)連接BP，若是等腰三角形，求CP的長度．7．（2022春·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線經(jīng)過、兩點，直線與直線交于點C，與x軸交于點D．(1)求點C的坐標(biāo)；(2)點P是y軸上一點，當(dāng)四邊形PDCB的周長最小時，求四邊形PDCB的面積；(3)把直線沿y軸向上平移9個單位長度，得到新直線與直線交于點E，試探究在x軸上是否存在點Q，在平面內(nèi)存在點F使得以點D，Q，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形（含正方形）？若存在，直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．8．（2022春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，每秒個單位長度的速度沿方向運動，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿對角線方向運動．已知點、兩點同時出發(fā)，當(dāng)點到達(dá)點時，、兩點同時停止運動，連接，設(shè)運動時間為秒．(1)_________，_________；(2)當(dāng)為何值時，；(3)在運動過程中，是否存在一個時刻，使所得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(4)當(dāng)點關(guān)于點的對稱點落在的內(nèi)部（不包括邊上）時，請直接寫出的取值范圍．9．（2022春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐問題情境：矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，將△BCD沿著對角線BD所在的直線平移，得到△B′C′D′，連接AB′，DC′．操作探究：(1)如圖1，當(dāng)△BCD沿射線BD的方向平移時，請判斷AB′與DC′的長度有何關(guān)系？并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)△BCD沿射線DB的方向平移時，四邊形AB′C′D能成為菱形嗎？若能，求出平移的距離；若不能，說明理由；(3)當(dāng)△BCD平移距離為2時，請你在備用圖中畫出平移后的圖形（除圖2），并提出一個問題，直接寫出結(jié)論．10．（2022春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延長BC到點E，使CE＝3，連接DE．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線BC－CD向終點D運動，設(shè)點P運動的時間為t秒．（t>0）(1)DE＝______；(2)連接AP，當(dāng)四邊形APED是菱形時，求菱形APED的周長；(3)連接BP、PD，設(shè)四邊形ABPD的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(4)直接寫出點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等時t的值．11．（2021春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）如圖（a），直線∶經(jīng)過點A、B，OA=OB=3，直線:交y軸于點C，且與直線交于點D，連接OD．(1)求直線的解析式；(2)求△OCD的面積；(3)如圖（b），點P是直線上的一動點，連接CP交線段OD于點E，當(dāng)△COE與△DEP的面積相等時，求點P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點H為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點H，使以D、C、P、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．12．（2022春·浙江舟山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，點在軸上，點在軸上，且，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點．(1)求點的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)如圖，將正方形沿軸向右平移個單位長度得到正方形，點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求值．(3)在（2）的條件下，坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．13．（2022春·山東青島·九年級山東省青島實驗初級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，AD=12，BD=16．動點E在線段AD上，從點A出發(fā)沿AD方向以每秒2個單位勻速運動．動點F在線段CD上，從點C出發(fā)沿CD方向以每秒4個單位勻速運動．過點E作EG⊥AD交AB于G．若點E、F同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時整個運動隨之停止，設(shè)運動時間為t秒（0＜t≤5）．(1)是否存在某一時刻t，使四邊形BCFG為平行四邊形，若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．(2)是否存在某一時刻t，使四邊形BDEG的面積占△ABD面積的，若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在某一時刻t，使點G在∠ADC的平分線上，若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．(4)是否存在某一時刻t，使∠GEF=45°，若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．14．（2022秋·吉林長春·九年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)期末）如圖，在□ABCD中，∠ABD＝90°，，BD＝8cm．點P從點A出發(fā)，沿折線AB—BC向終點C運動，點P在AB邊、BC邊上的運動速度分別為1cm/s、cm/s．在點P的運動過程中，過點P作AB所在直線的垂線，交邊AD或邊CD于點Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM=2PQ，MN與BD在PQ的同側(cè)．設(shè)點P的運動時間為t（秒），矩形PQMN與□ABCD重疊部分的面積為S（cm2）．(1)求邊AB的長；(2)當(dāng)0＜t＜4時，PQ＝，當(dāng)4＜t＜8時，PQ＝（用含t的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)點M落在BD上時，求t的值；(4)當(dāng)矩形PQMN與□ABCD重疊部分圖形為四邊形時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．15．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在中，，cm，cm．點是中點，點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為2cm/s；同時點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為3cm/s；連接，，，將繞點旋轉(zhuǎn)得，連接，．設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：(1)當(dāng)為何值時，？(2)當(dāng)為何值時，四邊形是菱形？(3)設(shè)四邊形的面積為（cm2），求與的函數(shù)關(guān)系式；(4)是否存在某一時刻，使得點在的外接圓上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．16．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于點B、C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為A．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點P在直線l下方的拋物線上，過點P作軸交l于點D，軸交l于點E，求的最大值；(3)設(shè)F為直線l上的點，點P仍在直線l下方的拋物線上，以A、B、P、F為頂點的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，求出點F的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．17．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）已知在正方形中，E是邊上一動點，作點B關(guān)于的對稱點F，交于點G，連結(jié)．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，過點D作交的延長線于點M，連結(jié)．若，試探究四邊形的形狀，并說明理由；(3)如圖3，連結(jié)，在上截取，點P，Q分別是上的動點．若正方形的面積為32，直接寫出周長的最小值．18．（