2019屆北京專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)講義理

第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)總綱目錄教材研讀1.角的概念的推廣考點(diǎn)突破2.弧度制及相關(guān)公式3.任意角的三角函數(shù)考點(diǎn)二扇形的弧長與面積公式考點(diǎn)一角的集合表示及象限角的判斷考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義教材研讀1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成是平面內(nèi)的一條射線繞著它的①

端點(diǎn)

從一個(gè)

位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.(2)分類

(3)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·

360°,k∈Z}.2.弧度制及相關(guān)公式(1)定義:把長度等于⑥

半徑長

的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧

度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|=

(l表示弧長,r表示半徑長)角度與弧度的換算1°=

rad;1rad=⑦

°

弧長公式l=⑧|α|r

扇形面積公式S=⑨

lr

=⑩

|α|r2

3.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)

y

叫做α的正弦,記作sinα

x

叫做α的余弦,記作cosα

叫做α的正切,記

Ⅰ+++Ⅱ+--Ⅲ--+Ⅳ-+-

有向線段?

MP

為正弦線有向線段?

OM

為余弦線有向線段?

AT

為正切線

1.已知角α的終邊過點(diǎn)P(-1,2),則sinα=

()A.

B.

C.-

D.-

答案

B|OP|=

=

(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以sinα=

=

.B2.若角θ同時(shí)滿足sinθ<0且tanθ<0,則角θ的終邊一定落在

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限D(zhuǎn)答案

D由sinθ<0,可知θ的終邊可能位于第三象限或第四象限,也可

能與y軸的非正半軸重合.由tanθ<0,可知θ的終邊可能位于第二象限或

第四象限,故θ的終邊只能位于第四象限.3.已知圓的一條弦的長等于半徑長,則這條弦所對的圓心角的大小為

弧度.解析∵弦長等于半徑長,∴該弦與兩半徑構(gòu)成的三角形為正三角形.故該弦所對的圓心角的大小為

.答案

4.在-720°~0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為

-675°和-315°

.解析所有與45°角有相同終邊的角可表示為45°+k×360°(k∈Z),則令-720°≤45°+k×360°<0°,得-765°≤k×360°<-45°,解得-

≤k<-

,從而k=-2或k=-1,可得所求角為-675°和-315°.答案-675°和-315°5.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-3,4),則cosα=-

,cos2α=-

.答案-

;-

解析由題意可得cosα=-

,sinα=

,

所以cos2α=cos2α-sin2α=

-

=-.6.(2017北京海淀期中)若角θ的終邊過點(diǎn)P(3,-4),則sin(θ-π)=

.答案

解析由角θ的終邊過點(diǎn)P(3,-4),得sinθ=-

,所以sin(θ-π)=-sinθ=

.考點(diǎn)一角的集合表示及象限角的判斷典例1(1)設(shè)集合M=

,N=

,那么

()A.M=N

B.M?N

C.N?M

D.M∩N=?(2)終邊在直線y=

x上的角的集合是

;(3)已知角α的終邊在第二象限,則

的終邊在第

象限.考點(diǎn)突破答案(1)B(2)

(3)一或三解析(1)M=

={…,-45°,45°,135°,225°,…},N=

={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},顯然有M?N.故選B.(2)∵在(0,π)內(nèi)終邊在直線y=

x上的角是

,∴終邊在直線y=

x上的角的集合為

α

α=

+kπ,k∈Z

.(3)因?yàn)榻铅恋慕K邊在第二象限,所以

+k·2π<α<π+k·2π,k∈Z,所以

+kπ<

<

+kπ,k∈Z.此時(shí)

的終邊在第一象限;當(dāng)k=2m+1(m∈Z)時(shí),

+m·2π<

<

+m·2π,此時(shí)

的終邊在第三象限.綜上,

的終邊在第一或第三象限.所以當(dāng)k=2m(m∈Z)時(shí),

+m·2π<

<

+m·2π,方法技巧(1)給出一個(gè)角,判斷該角為第幾象限角的方法:先將此角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與此角終邊相同的角α(0°≤α<360°),再

由角α終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角.(2)已知θ的終邊所在的象限,求

或nθ(n∈N*)的終邊所在的象限的方法:將θ的范圍用不等式(含有k(k∈Z))表示,然后兩邊同除以n或乘n,再對k進(jìn)

行討論,得到

或nθ(n∈N*)的終邊所在的象限.1-1若sinαtanα<0,且

<0,則角α是

()A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C答案

C由sinαtanα<0可知sinα,tanα異號(hào),從而可判斷角α為第二或

第三象限角.由

<0可知cosα,tanα異號(hào),從而可判斷角α為第三或第四象限角.綜上可知,角α為第三象限角.1-2本例(3)中,若把第二象限改為第三象限,則結(jié)果如何?解析由角α終邊在第三象限,可知π+2kπ<α<

+2kπ,k∈Z,所以

+kπ<

<

+kπ,k∈Z.當(dāng)k=2m(m∈Z)時(shí),

+2mπ<

<

+2mπ,此時(shí)

的終邊在第二象限;當(dāng)k=2m+1(m∈Z)時(shí),

+2mπ<

<

+2mπ,此時(shí),

的終邊在第四象限.綜上可知,

的終邊在第二或第四象限.考點(diǎn)二扇形的弧長與面積公式典例2(1)已知扇形周長為10,面積是4,則扇形的圓心角的大小為

.(2)如圖,已知扇形的圓心角α=120°,弦AB長12cm,則該扇形的弧長l=

cm.

答案(1)

(2)

π解析(1)設(shè)圓心角是θ,半徑是r,則

?

或

(舍),故扇形的圓心角的大小為

.(2)設(shè)扇形的半徑為rcm,如圖.由sin60°=

,得r=4

,∴l(xiāng)=|α|·r=

×4

=

πcm.方法技巧解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項(xiàng)(1)解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題時(shí),要注意角的單位,一般將角度化

為弧度.(2)求解扇形面積的最值問題時(shí),常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配

方法使問題得到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三

角形.2-1扇形弧長為20cm,圓心角為100°,則該扇形的面積為

cm2.答案

解析由弧長公式l=|α|r,得r=

=

cm,∴S扇形=

lr=

×20×

=

cm2.2-2在本例(1)中,若去掉條件中的“面積是4”,則扇形的半徑和圓心

角取何值時(shí),扇形面積最大?解析設(shè)圓心角是θ,半徑是r,則2r+rθ=10.所以扇形的面積S=

θ·r2=

r(10-2r)=r(5-r)=-

+

≤

,當(dāng)且僅當(dāng)r=

時(shí),扇形面積S最大,且Smax=

,此時(shí)θ=2.所以當(dāng)r=

,θ=2時(shí),扇形面積最大.典例3已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-

,m)(m≠0)且sinθ=

m,試判斷角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義解析由題可得,r=

,∴sinθ=

=

m.又m≠0,∴m=±

.故角θ是第二或第三象限角.當(dāng)m=

時(shí),r=2

,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

,

),故根據(jù)三角函數(shù)的定義可得cosθ=

=-

,tanθ=

=-

.當(dāng)m=-

時(shí),r=2

,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

,-

).故根據(jù)三角函數(shù)的定義可得cosθ=

=-

,tanθ=

=

.綜上可知,cosθ=-

,tanθ=-

或cosθ=-

,tanθ=

.易錯(cuò)警示利用三角函數(shù)的定義,求一個(gè)角的三角函數(shù)值,需確定三個(gè)量:角的終邊

上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題

目中已知角的終邊在一條直線(非坐標(biāo)軸)上,則要注意在終邊上任取一

點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同).3-1如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的終邊與單位圓(圓心為O)交

于點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

,則cosα的值為

()

A.

B.-

C.

D.-

D答案

D因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)yA=

,且點(diǎn)A在第二象限,又因?yàn)閳AO為單位圓,所以點(diǎn)A