2019屆北京專用高考數(shù)學一輪復習第四章三角函數(shù)解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)講義理

第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)總綱目錄教材研讀1.角的概念的推廣考點突破2.弧度制及相關(guān)公式3.任意角的三角函數(shù)考點二扇形的弧長與面積公式考點一角的集合表示及象限角的判斷考點三三角函數(shù)的定義教材研讀1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成是平面內(nèi)的一條射線繞著它的①

端點

從一個

位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.(2)分類

(3)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·

360°,k∈Z}.2.弧度制及相關(guān)公式(1)定義:把長度等于⑥

半徑長

的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧

度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|=

(l表示弧長,r表示半徑長)角度與弧度的換算1°=

rad;1rad=⑦

°

弧長公式l=⑧|α|r

扇形面積公式S=⑨

lr

=⑩

|α|r2

3.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y)

y

叫做α的正弦,記作sinα

x

叫做α的余弦,記作cosα

叫做α的正切,記

Ⅰ+++Ⅱ+--Ⅲ--+Ⅳ-+-

有向線段?

MP

為正弦線有向線段?

OM

為余弦線有向線段?

AT

為正切線

1.已知角α的終邊過點P(-1,2),則sinα=

()A.

B.

C.-

D.-

答案

B|OP|=

=

(O為坐標原點),所以sinα=

=

.B2.若角θ同時滿足sinθ<0且tanθ<0,則角θ的終邊一定落在

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限D(zhuǎn)答案

D由sinθ<0,可知θ的終邊可能位于第三象限或第四象限,也可

能與y軸的非正半軸重合.由tanθ<0,可知θ的終邊可能位于第二象限或

第四象限,故θ的終邊只能位于第四象限.3.已知圓的一條弦的長等于半徑長,則這條弦所對的圓心角的大小為

弧度.解析∵弦長等于半徑長,∴該弦與兩半徑構(gòu)成的三角形為正三角形.故該弦所對的圓心角的大小為

.答案

4.在-720°~0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為

-675°和-315°

.解析所有與45°角有相同終邊的角可表示為45°+k×360°(k∈Z),則令-720°≤45°+k×360°<0°,得-765°≤k×360°<-45°,解得-

≤k<-

,從而k=-2或k=-1,可得所求角為-675°和-315°.答案-675°和-315°5.已知角α的終邊經(jīng)過點(-3,4),則cosα=-

,cos2α=-

.答案-

;-

解析由題意可得cosα=-

,sinα=

,

所以cos2α=cos2α-sin2α=

-

=-.6.(2017北京海淀期中)若角θ的終邊過點P(3,-4),則sin(θ-π)=

.答案

解析由角θ的終邊過點P(3,-4),得sinθ=-

,所以sin(θ-π)=-sinθ=

.考點一角的集合表示及象限角的判斷典例1(1)設(shè)集合M=

,N=

,那么

()A.M=N

B.M?N

C.N?M

D.M∩N=?(2)終邊在直線y=

x上的角的集合是

;(3)已知角α的終邊在第二象限,則

的終邊在第

象限.考點突破答案(1)B(2)

(3)一或三解析(1)M=

={…,-45°,45°,135°,225°,…},N=

={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},顯然有M?N.故選B.(2)∵在(0,π)內(nèi)終邊在直線y=

x上的角是

,∴終邊在直線y=

x上的角的集合為

α

α=

+kπ,k∈Z

.(3)因為角α的終邊在第二象限,所以

+k·2π<α<π+k·2π,k∈Z,所以

+kπ<

<

+kπ,k∈Z.此時

的終邊在第一象限;當k=2m+1(m∈Z)時,

+m·2π<

<

+m·2π,此時

的終邊在第三象限.綜上,

的終邊在第一或第三象限.所以當k=2m(m∈Z)時,

+m·2π<

<

+m·2π,方法技巧(1)給出一個角,判斷該角為第幾象限角的方法:先將此角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與此角終邊相同的角α(0°≤α<360°),再

由角α終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角.(2)已知θ的終邊所在的象限,求

或nθ(n∈N*)的終邊所在的象限的方法:將θ的范圍用不等式(含有k(k∈Z))表示,然后兩邊同除以n或乘n,再對k進

行討論,得到

或nθ(n∈N*)的終邊所在的象限.1-1若sinαtanα<0,且

<0,則角α是

()A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C答案

C由sinαtanα<0可知sinα,tanα異號,從而可判斷角α為第二或

第三象限角.由

<0可知cosα,tanα異號,從而可判斷角α為第三或第四象限角.綜上可知,角α為第三象限角.1-2本例(3)中,若把第二象限改為第三象限,則結(jié)果如何?解析由角α終邊在第三象限,可知π+2kπ<α<

+2kπ,k∈Z,所以

+kπ<

<

+kπ,k∈Z.當k=2m(m∈Z)時,

+2mπ<

<

+2mπ,此時

的終邊在第二象限;當k=2m+1(m∈Z)時,

+2mπ<

<

+2mπ,此時,

的終邊在第四象限.綜上可知,

的終邊在第二或第四象限.考點二扇形的弧長與面積公式典例2(1)已知扇形周長為10,面積是4,則扇形的圓心角的大小為

.(2)如圖,已知扇形的圓心角α=120°,弦AB長12cm,則該扇形的弧長l=

cm.

答案(1)

(2)

π解析(1)設(shè)圓心角是θ,半徑是r,則

?

或

(舍),故扇形的圓心角的大小為

.(2)設(shè)扇形的半徑為rcm,如圖.由sin60°=

,得r=4

,∴l(xiāng)=|α|·r=

×4

=

πcm.方法技巧解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項(1)解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題時,要注意角的單位,一般將角度化

為弧度.(2)求解扇形面積的最值問題時,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配

方法使問題得到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三

角形.2-1扇形弧長為20cm,圓心角為100°,則該扇形的面積為

cm2.答案

解析由弧長公式l=|α|r,得r=

=

cm,∴S扇形=

lr=

×20×

=

cm2.2-2在本例(1)中,若去掉條件中的“面積是4”,則扇形的半徑和圓心

角取何值時,扇形面積最大?解析設(shè)圓心角是θ,半徑是r,則2r+rθ=10.所以扇形的面積S=

θ·r2=

r(10-2r)=r(5-r)=-

+

≤

,當且僅當r=

時,扇形面積S最大,且Smax=

,此時θ=2.所以當r=

,θ=2時,扇形面積最大.典例3已知角θ的終邊經(jīng)過點P(-

,m)(m≠0)且sinθ=

m,試判斷角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.考點三三角函數(shù)的定義解析由題可得,r=

,∴sinθ=

=

m.又m≠0,∴m=±

.故角θ是第二或第三象限角.當m=

時,r=2

,點P的坐標為(-

,

),故根據(jù)三角函數(shù)的定義可得cosθ=

=-

,tanθ=

=-

.當m=-

時,r=2

,點P的坐標為(-

,-

).故根據(jù)三角函數(shù)的定義可得cosθ=

=-

,tanθ=

=

.綜上可知,cosθ=-

,tanθ=-

或cosθ=-

,tanθ=

.易錯警示利用三角函數(shù)的定義,求一個角的三角函數(shù)值,需確定三個量:角的終邊

上任意一個異于原點的點的橫坐標x,縱坐標y,該點到原點的距離r.若題

目中已知角的終邊在一條直線(非坐標軸)上,則要注意在終邊上任取一

點有兩種情況(點所在象限不同).3-1如圖,在平面直角坐標系xOy中,角α的終邊與單位圓(圓心為O)交

于點A,點A的縱坐標為

,則cosα的值為

()

A.

B.-

C.

D.-

D答案

D因為點A的縱坐標yA=

,且點A在第二象限,又因為圓O為單位圓,所以點A