2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)講義文蘇教版

§2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：f(x)＝

.②頂點(diǎn)式：f(x)＝

.③零點(diǎn)式：f(x)＝

.知識(shí)梳理ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域_______________________________單調(diào)性在x∈上單調(diào)遞減；在x∈

上單調(diào)遞增在x∈

上單調(diào)遞增；在x∈上單調(diào)遞減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝

對(duì)稱2.冪函數(shù)(1)定義：一般地，形如

的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).(2)冪函數(shù)的圖象比較y＝xα幾何畫板展示(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，1)；③當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；④當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.知識(shí)拓展2.冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性.(2)冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(

)(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù).(

)(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小.(

)(4)函數(shù)

是冪函數(shù).(

)(5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).(

)(6)當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù).(

)××√×√×考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)，則f(9)＝_____.答案解析27∴f(9)＝

＝27.幾何畫板展示2.(教材改編)設(shè)α∈{－1，1，

，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有α值和為_____.當(dāng)α＝1，3時(shí)，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)；答案解析∴滿足題意的a值為1和3，其和為4.43.(教材改編)函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，2]時(shí)是減函數(shù)，則f(1)＝______.答案解析∴m＝8，∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.－34.已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________.答案解析如圖，由圖象可知m的取值范圍是[1，2].[1，2]幾何畫板展示5.(教材改編)已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)

，則此函數(shù)的解析式為________；在區(qū)間__________上單調(diào)遞減.答案解析(0，＋∞)y＝

題型分類深度剖析題型一求二次函數(shù)的解析式例1

(1)(2016·南京模擬)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，則f(x)＝________.答案解析x2＋2x設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式.解答∵f(2＋x)＝f(2－x)對(duì)任意x∈R恒成立，又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2.∴f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，3)，∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.∴f(x)的對(duì)稱軸為x＝2.∴3a＝3，a＝1，求二次函數(shù)解析式的方法思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝__________.設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.答案解析x2＋2x＋1(2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝_________.答案解析－2x2＋4由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴－a＝－(－)，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.題型二二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)命題點(diǎn)1二次函數(shù)的單調(diào)性例2函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.答案解析[－3，0]當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足條件.解得－3≤a＜0.綜上，a的取值范圍為[－3，0].幾何畫板展示引申探究若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝_____.答案解析－3由題意知a<0，命題點(diǎn)2二次函數(shù)的最值例3

已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函數(shù)f(x)的最小值.解答幾何畫板展示(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，f(x)＝ax2－2x的對(duì)稱軸在[0，1]內(nèi)，∴f(x)min＝f(1)＝－2.(2)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象開口向上②當(dāng)>1，即0<a<1時(shí)，f(x)＝ax2－2x的對(duì)稱軸在[0，1]的右側(cè)，∴f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.(3)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象開口向下且對(duì)稱軸x＝<0，在y軸的左側(cè)，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.命題點(diǎn)3二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題例4

(1)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.答案解析2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立.當(dāng)x＝0時(shí)，－3<0，成立；(2)(2016·江蘇徐州一中質(zhì)檢改編)若

t2－kt－1≤0在t∈[－1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解答幾何畫板展示求二次函數(shù)f(t)＝

t2－kt－1在給定區(qū)間[－1，1]上的最大值M，二次函數(shù)f(t)的圖象的對(duì)稱軸為直線t＝2k.(1)二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵①一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).②兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.思維升華跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.答案解析(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值.解答∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵x＝1不一定在區(qū)間[－2，a]內(nèi)，∴應(yīng)進(jìn)行討論，當(dāng)－2<a≤1時(shí)，函數(shù)在[－2，a]上單調(diào)遞減，則當(dāng)x＝a時(shí)，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在[－2，1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，則當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最小值，即ymin＝－1.綜上，當(dāng)－2<a≤1時(shí)，ymin＝a2－2a，當(dāng)a>1時(shí)，ymin＝－1.∴對(duì)稱軸為直線x＝1，幾何畫板展示例5

(1)若>，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.答案解析題型三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)因?yàn)楹瘮?shù)y＝

的定義域?yàn)閇0，＋∞)且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，解2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2.(2)已知函數(shù)f(x)＝x－m＋3(m∈N*)是偶函數(shù)，且f(3)<f(5)，求m的值，并確定f(x)的函數(shù)解析式.解答由f(3)<f(5)，得3－m＋3<5－m＋3，所以－m＋3>0.解得m<3.又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1或2；當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－m＋3＝x為奇函數(shù)，所以m＝2舍去.當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x－m＋3＝x2為偶函數(shù)，所以m＝1，此時(shí)f(x)＝x2.(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.(2)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.思維升華跟蹤訓(xùn)練3(2016·鹽城模擬)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)，若0<a<b<1，則下列各式正確的是_____.答案解析③所以f(x)＝

，該函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，典例(14分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1，2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值.已知函數(shù)f(x)的最值，而f(x)圖象的對(duì)稱軸確定，要討論a的符號(hào).規(guī)范解答

分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用思想與方法系列3思想方法指導(dǎo)幾何畫板展示解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. [2分](1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；

[4分](2)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝

；

[9分](3)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3. [12分]綜上可知，a的值為

或－3. [14分]課時(shí)作業(yè)12345678910111213141.(教材改編)冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.把點(diǎn)(2，4)代入函數(shù)解析式得4＝2α，所以α＝2，故f(x)＝x2，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞).答案解析[0，＋∞)2.(教材改編)如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么f(－2)，f(0)，f(2)大小關(guān)系為_________________.答案解析f(0)＜f(2)＜f(－2)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(1＋x)＝f(－x).可知函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝

，又函數(shù)圖象開口向上，自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大.12345678910111213143.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案解析[0，4]由題意可知函數(shù)f(x)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x＝2(如圖)，若f(a)≥f(0)，從圖象觀察可知0≤a≤4.12345678910111213144.若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇－

，－4]，則m的取值范圍是________.答案解析12345678910111213145.若a<0，()a、(0.2)a、2a大小關(guān)系為______________.答案解析若a<0，則冪函數(shù)y＝xa在(0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，12345678910111213146.已知函數(shù)y＝

的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為______.由定義域?yàn)镽，則x2－2x＋a≥0恒成立.又值域?yàn)閇0，＋∞)，則函數(shù)y＝x2－2x＋a的圖象只能與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，所以Δ＝4－4a＝0，則a＝1，所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{1}.答案解析{1}12345678910111213147.(2016·連云港模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝

，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍為________.答案解析(3，5)∵冪函數(shù)f(x)＝

單調(diào)遞減，定義域?yàn)?0，＋∞)，解得3<a<5.12345678910111213148.(2016·無(wú)錫模擬)已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________.答案解析[1，2]作出已知函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)x＝1時(shí)，y最小，最小值為2；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3.由圖象知m的取值范圍是[1，2].1234567891011121314*9.“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的_____條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)答案解析充要12345678910111213141234567891011121314當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝|x|，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增；故“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件.10.若函數(shù)f(x)＝

x2－x＋a的定義域和值域均為[1，b](b>1)，則a＋b＝___.答案解析1234567891011121314∴其對(duì)稱軸為x＝1，即函數(shù)f(x)在[1，b]上單調(diào)遞增.123456789101112131411.(2016·江蘇贛榆高級(jí)中學(xué)質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－3x＋a.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.答案解析1234567891011121314方法一由f(x)＝0，123456789101112131412.(2016·江蘇淮陰中學(xué)期中)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是α，β，且有1<α<2<β<3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案解析1234567891011121314設(shè)f(x)＝x2－2ax＋a＋2，結(jié)合二次函數(shù)的圖象及一元二次方程根的分布情況可得12345678910