2025高考數(shù)學二輪復(fù)習-專題4 立體幾何-專項突破四 立體幾何解答題【課件】

專項突破四

立體幾何解答題專題四2025突破1空間位置關(guān)系、空間角的向量方法必備知識?精要梳理1.證明線線平行和線線垂直的常用方法(1)證明線線平行:①利用平行線的傳遞性;②利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換;③利用三角形的中位線定理;④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理等.(2)證明線線垂直:①利用等腰三角形三線合一的性質(zhì);②利用勾股定理;③利用線面垂直的性質(zhì)等.2.證明線面平行和線面垂直的常用方法(1)證明線面平行:①利用線面平行的判定定理;②利用面面平行的性質(zhì).(2)證明線面垂直:①利用線面垂直的判定定理;②利用面面垂直的性質(zhì)定理.3.證明面面平行和面面垂直的常用方法(1)證明面面平行最常用的方法是利用面面平行的判定定理.(2)證明面面垂直最常用的方法是利用面面垂直的判定定理.4.利用空間向量證明平行與垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分別為μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),l?α,則(1)線面平行:l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)線面垂直:l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k≠0).(3)面面平行:α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ≠0).(4)面面垂直:α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.關(guān)鍵能力?學案突破考向一

空間位置關(guān)系的證明

[例1]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=PA=2,AB=1,E為PC的中點.求證:(1)BE⊥PD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.證明

(方法一)(1)如圖,取PD的中點F,連接AF,EF,因為E為PC的中點,所以FE∥DC,且FE=DC,又因為DC=2AB,AB∥DC,所以FE∥AB,且FE=AB,所以四邊形ABEF是平行四邊形,所以BE∥AF.又因為PA=AD,F為PD的中點,所以AF⊥PD,所以BE⊥PD.(2)由(1)知BE∥AF,AF?平面PAD,BE?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB.又因為AD⊥AB,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.又因為AB∥DC,所以DC⊥平面PAD.又因為DC?平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.(方法二)因為PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.以點A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系如圖所示.(3)由(2)知

為平面PAD的一個法向量,則DC⊥平面PAD.又DC?平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.方法總結(jié)證明空間中位置關(guān)系的方法證明空間中的平行、垂直關(guān)系,均可利用幾何法和向量法.在實際應(yīng)用中,可靈活處理,如果題目給出的空間圖形適合建立空間直角坐標系,那么可建系后利用坐標運算來證明位置關(guān)系.精典對練·得高分

求證:(1)A1B1⊥平面AA1C;(2)AB1∥平面A1C1C.證明

(方法一)(1)因為AB=AC,BC=

AB,所以AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC.因為四邊形A1ABB1是正方形,所以A1B1∥AB,AB⊥AA1.又AA1∩AC=A,所以AB⊥平面AA1C.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)如圖,取BC的中點D,連接AD,B1D,C1D.因為B1C1∥BC,且B1C1=BC=BD,所以四邊形BDC1B1是平行四邊形,所以C1D∥BB1,且C1D=BB1.因為四邊形A1ABB1是正方形,所以AA1∥BB1,且AA1=BB1.所以C1D∥AA1,且C1D=AA1,所以四邊形AA1C1D是平行四邊形,所以A1C1∥AD.因為AD?平面A1C1C,A1C1?平面A1C1C,所以AD∥平面A1C1C.同理B1D∥平面A1C1C.因為B1D∩AD=D,所以平面B1AD∥平面A1C1C.因為AB1?平面B1AD,所以AB1∥平面A1C1C.(方法二)因為二面角A1-AB-C是直二面角,四邊形A1ABB1為正方形,所以AA1⊥平面BAC.又因為AB=AC,BC=

AB,所以∠CAB=90°,即AC⊥AB.所以AB,AC,AA1兩兩互相垂直.如圖,建立空間直角坐標系,設(shè)AB=2,則A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).考向二

利用空間向量求線面角命題角度1

求線面角[例2-1](2022·全國乙,理18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當△AFC的面積最小時,求CF與平面ABD所成的角的正弦值.(1)證明

∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB.又E為AC的中點,AD=CD,∴DE⊥AC,BE⊥AC.又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BED.又AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.

名師點析利用向量求直線與平面所成角的方法(1)分別求出直線與它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角).(2)求出直線的方向向量m,平面的法向量n,設(shè)直線與平面所成的角為θ,則sin

θ=|cos<m,n>|=,求出θ的值.精典對練·得高分(1)證明:直線l⊥平面B1BDD1;(2)已知EF=2,三棱錐B1-BDF的體積

若D1F與平面BDD1所成角為θ,求sinθ的取值范圍.∴四邊形AEFC為平行四邊形,∴AC∥EF.∵EF?平面BEF,AC?平面BEF,∴AC∥平面BEF.∵平面BEF∩平面ABCD=l,AC?平面ABCD,∴AC∥l.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥BB1.∵BD∩BB1=B,BD,BB1?平面B1BDD1,∴AC⊥平面B1BDD1.∵AC∥l,∴l(xiāng)⊥平面B1BDD1.(2)解

連接A1C1交B1D1于O1點,設(shè)AC∩BD=O,則OO1∥BB1.∵BB1⊥平面ABCD,∴OO1⊥平面ABCD.∵OB,OC?平面ABCD,∴以O(shè)為原點,OB,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系如圖所示.數(shù)學思想·擴思路轉(zhuǎn)化與化歸思想如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,CC1=2,E,F分別為BC,CC1的中點.(1)求過E,F,D1三點的截面的面積;(2)一只小蟲從點A經(jīng)BB1上一點P到達點C1,求小蟲所經(jīng)過的路程最短時,直線ED1與平面APC1所成角的正弦值.(2)以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系如圖所示,則A(2,0,0),C1(0,1,2),D1(0,0,2),E(1,1,0).名師點析沿幾何體表面運動,求距離之和最小的問題,通常采取化曲為直的思想方法,將幾何體的表面展開,在平面內(nèi),將折線轉(zhuǎn)化為直線,進而求出距離之和最小等問題.命題角度2

已知線面角求其他量又因為AB⊥B1D,AB∩CD=D,所以B1D⊥平面ABC.又因為B1D?平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面ABC.精典對練·得高分如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四邊形EDCF為矩形,DE=2,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)證明:DF∥平面ABE;(2)P為線段BE上一點,直線AP與平面BEF所成角的正弦值為,求線段BP的長.(1)證明

∵四邊形EDCF為矩形,∴DE⊥CD.又平面EDCF⊥平面ABCD,平面EDCF∩平面ABCD=CD,∴ED⊥平面ABCD.在平面ABCD內(nèi)過點D作DH垂直BC于H點,則DA,DH,DE相互垂直,以D為原點,DA,DH,DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸,考向三

利用空間向量求二面角命題角度1

求二面角[例3-1](2023·新高考Ⅱ,20)如圖,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.(1)證明:BC⊥DA;(1)證明

如圖①,連接AE,DE.∵DB=DC,E為BC的中點,∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均為等邊三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E為BC中點,∴BC⊥AE.∵AE,DE?平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE,∴BC⊥DA.圖①

∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC為等腰直角三角形,∴AE=1.易知DE=1.∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,∴AE,BC,DE兩兩垂直.以E為坐標原點,ED,EB,EA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖②所示的空間直角坐標系,則A(0,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0),D(1,0,0),E(0,0,0),圖②

名師點析利用空間向量求二面角的步驟(1)分別求出兩個半平面的一個法向量;(2)求出兩個法向量的夾角;(3)根據(jù)圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,利用二面角的平面角與兩個法向量的夾角的關(guān)系,求出二面角.精典對練·得高分(1)證明:平面PBC⊥平面PAE;(2)求二面角D-AP-E的余弦值.命題角度2

已知二面角求其他量[例3-2](2023·新高考Ⅰ,18)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2∥A2D2;(2)點P在棱BB1上,當二面角P-A2C2-D2為150°時,求B2P.(1)證明

如圖①,設(shè)棱DD1上的點N滿足DN=AA2=1,取CC1的中點M,連接A2N,MN,B2M.因為DN∥AA2,且DN=AA2,所以四邊形AA2ND為平行四邊形,所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可證,B2M∥BC,且B2M=BC.因為AD∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.所以四邊形A2B2MN為平行四邊形.因為D2N∥C2M,D2N=C2M=1,所以四邊形C2D2NM為平行四邊形.所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2D2,故A2B2∥C2D2,A2B2=C2D2.所以四邊形A2B2C2D2為平行四邊形,所以B2C2∥A2D2.圖①

(2)解

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點C為坐標原點,CD,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖②所示的空間直角坐標系.圖②

因為二面角P-A2C2-D2為150°,整理可得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.結(jié)合圖形可知,當a=3或a=1時,B2P=1,此時二面角P-A2C2-D2為150°.名師點析已知二面角求其他量的解法要點(1)正確設(shè)置變量,已知二面角求其他量時,關(guān)鍵是在空間直角坐標系中設(shè)出相關(guān)點的坐標或相關(guān)向量的坐標,從而用設(shè)出的參數(shù)表示出兩個平面的法向量.(2)準確建立方程,根據(jù)已知條件(二面角的度數(shù)、二面角的余弦值、二面角的正弦值等)建立關(guān)于參數(shù)的方程.(3)求解方程,得到參數(shù)值,注意根據(jù)二面角的大小對參數(shù)值進行取舍,進而得到其他量.精典對練·得高分(1)若AD⊥PB,證明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值為

,求AD.解

(1)∵PA⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,∴PA⊥AD,又∵AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,∴AD⊥平面PAB,又∵AB?平面PAB,∴AD⊥AB.∵AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,∴BC∥AD,∵AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC.(2)由題意知DC,AD,AP兩兩垂直,如圖,以D為坐標原點,AD所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,過點D且平行于AP的直線為z軸建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),設(shè)A(a,0,0),a>0,易錯防范·不丟分(1)證明

如圖,設(shè)AC∩BD=N,連接PN,OA,OC.因為∠DAB=∠BCD=90°,O為BD的中點,所以O(shè)A=OD=OC,即O為△ACD的外心.又AD=AC=CD,所以△ACD為等邊三角形,所以O(shè)為△ACD的中心.所以AC⊥BD.由PO⊥平面ABCD,可得PO⊥AC.又PO∩BD=O,所以AC⊥平面PDB,所以AC⊥DP.所以DP2+PN2=DN2,所以DP⊥PN.又PN∩AC=N,所以DP⊥平面APC.又DP?平面ADP,所以平面ADP⊥平面APC.易錯警示由于二面角的大小與兩個面的法向量的夾角并不完全相等,因此要注意結(jié)合圖形判斷二面角的范圍來確定參數(shù)的取值,忽視對范圍的判斷將會導(dǎo)致錯誤.考向四

利用空間向量求距離[例4]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2a,PA=PD,二面角P-AD-B的大小為135°,點P到底面ABCD的距離為

.(1)過點P是否存在直線l,使直線l∥平面ABCD?若存在,作出該直線,并寫出作法與理由;若不存在,請說明理由.解

(1)過點P存在直線l,滿足直線l∥平面ABCD,理由如下.過點P在平面PAD內(nèi)作直線l平行于AD,如圖所示.因為l∥AD,l?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以l∥平面ABCD.(2)取線段AD的中點為O,線段BC的中點為E,連接OE,OP.因為四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,所以O(shè)E∥AB.又因為AD⊥AB,所以AD⊥OE.因為PA=PD,所以PO⊥AD.又因為PO∩OE=O,PO,OE?平面POE,所以AD⊥平面POE.過點O在平面POE內(nèi)作直線ON⊥OE,則直線OA,OE,ON兩兩垂直,以O(shè)為原點,OA,OE,ON所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.過點P作PF∥ON,交直線OE于點F,因為ON⊥OA,ON⊥OE,OA,OE?平面ABCD,OA∩OE=O,所以O(shè)N⊥平面ABCD,故PF⊥平面ABCD.增分技巧求點到平面的距離的四步驟

精典對練·得高分(2024·天津,17)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1C1的中點,M是DD1的中點.(1)求證:D1N∥平面CB1M;(2)求平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值;(3)求點B到平面CB1M的距離.(1)證明

如圖,以A為坐標原點,以AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,突破2立體幾何中的翻折問題及探索性問題關(guān)鍵能力?學案突破考向一

立體幾何中的翻折問題

圖①

圖②

(1)求證:平面BC1E⊥平面ABED;(2)求直線BC1與平面AC1D所成角的正弦值.(1)證明

連接AE,由已知得AE=2.∵CE∥AB,CE=AB=AE=2,∴四邊形ABCE為菱形.連接AC交BE于點F,則CF⊥BE.∴C1F⊥AF.又BE∩AF=F,∴C1F⊥平面ABED.又C1F?平面BC1E,所以平面BC1E⊥平面ABED.名師點析立體幾何中翻折問題的求解策略(1)解決翻折問題最關(guān)鍵的就是對比翻折前后的圖形,找到哪些點、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化,哪些發(fā)生了變化,這些不變的量和變化的量反映了翻折后空間圖形的結(jié)構(gòu)特征,在證明和求解的過程中應(yīng)恰當?shù)丶右岳?(2)一般地,位于折痕同側(cè)的點、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化,而位于折痕兩側(cè)的點、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系會發(fā)生變化.特別地,與折痕垂直的線段,翻折前后垂直關(guān)系不變(常用于找翻折后形成的二面角的平面角);與折痕平行的線段,翻折后平行關(guān)系保持不變.精典對練·得高分如圖①,在等腰梯形ABCD中,E為CD的中點,AB=BC=CE,將△ADE,△BCE分別沿AE,BE折起,使得平面ADE⊥平面ABE,平面BCE⊥平面ABE,如圖②.圖①

圖②

(1)在圖②中求證:AB∥CD;(2)設(shè)平面ADE與平面BCE的交線為l,求二面角D-l-C的大小.(1)證明

由題意可知△ADE,△ABE,△BCE為全等的等邊三角形.如圖,分別過點C,D作CM⊥BE,DN⊥AE,垂足分別為M,N,連接MN,則M,N分別為BE,AE的中點,CM=DN.∵平面BCE⊥平面ABE,平面BCE∩平面ABE=BE,CM?平面BCE,∴CM⊥平面ABE.同理DN⊥平面ABE,∴CM∥DN.∴四邊形CDNM為平行四邊形,∴CD∥MN.又M,N分別為BE,AE的中點,∴MN∥AB,∴AB∥CD.(2)解

連接BN,則BN⊥AE.由(1)知DN⊥平面ABE,則NA,NB,ND兩兩互相垂直.以N為坐標原點,NA,NB,ND所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系如圖所示.一題多解·練思維如圖①,在?ABCD中,AD=2BD=4,AD⊥BD,將△ABD沿BD折起,使得點A到達點P處,如圖②.圖①

圖②(1)若PC=6,求證:PD⊥BC;(2)若

,求平面PDC與平面PBC夾角的余弦值.

(2)解

(方法1)如圖,過點D作DF∥BC,且DF=BC,連接PF,CF.由題意可知,BD⊥PD,BD⊥DF,PD∩DF=D,∴BD⊥平面PDF,∴BD⊥PF,∴CF⊥PF,又BD?平面BCFD,∴平面BCFD⊥平面PDF.取DF的中點O,連接PO,由PF=PD,得PO⊥DF,在平面BCFD內(nèi),過點O作OM垂直于DF,建立空間直角坐標系,如圖所示.設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),平面PDC的法向量為n=(x',y',z'),(方法2)由BD⊥BC,建立空間直角坐標系,如圖所示.∵AD=2BD=4,∴B(0,0,0),C(4,0,0),D(0,2,0),設(shè)P(x,y,z)(其中x,y,z均大于0),(方法3)如圖所示,過點B作BE⊥PC交PC于E,過點D作DF⊥PC交PC于F,異面直線DF,BE的夾角即為兩個平面的夾角.考向二

立體幾何中的探索性問題[例2-1]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,△PAB為等邊三角形,平面PAB⊥平面ABCD,E為AD的中點.(1)求證:CE⊥PD.(2)在線段BD(不包括端點)上是否存在點F,使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為?若存在,確定點F的位置;若不存在,請說明理由.解

取AB的中點O,連接PO,因為△PAB為等邊三角形,所以PO⊥AB.又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO?平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.取CD的中點G,連接OG,則OB,OP,OG兩兩互相垂直.以O(shè)為原點,OB,OG,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系如圖所示.設(shè)AB=2,則C(1,2,0),P(0,0,),E(-1,1,0),D(-1,2,0),A(-1,0,0),B(1,0,0).[例2-2]如圖,在棱長為2的正方體ABCD-EFGH中,點M是正方體的中心,將四棱錐M-BCGF繞直線CG逆時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<π)后,得到四棱錐M'-B'CGF'.(1)若

,求證:平面MCG∥平面M'B'F';(2)是否存在α,使得直線M'F'⊥平面MBC?若存在,求出α的值;若不存在,請說明理由.(1)證明

若

,則平面DCGH、平面CB'F'G為同一個平面,連接BH,BF',則M是BH的中點,M'是BF'的中點,故MM'是△BHF'的中位線,所以MM'∥GF',MM'=HF'=GF'.因為MM'∥GF',MM'=GF',所以平面四邊形MM'F'G是平行四邊形,所以MG∥M'F'.又MG?平面M'B'F',M'F'?平面M'B'F',所以MG∥平面M'B'F'.同理MC∥平面B'M'F',且MG?平面MCG,MC?