2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.5橢圓講義文蘇教版

§9.5橢圓基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.橢圓的概念平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做

，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的

，兩焦點間的距離叫做橢圓的

.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若

，則集合P為橢圓；(2)若

，則集合P為線段；(3)若

，則集合P為空集.知識梳理橢圓焦點焦距a>ca＝ca<c2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為

；短軸B1B2的長為___焦距F1F2＝___離心率e＝

∈(0,1)a，b，c的關(guān)系__________2a2b2ca2＝b2＋c2知識拓展點P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?<1.(2)點P(x0，y0)在橢圓上?

＝1.(3)點P(x0，y0)在橢圓外?>1.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓.(

)(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).(

)(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(

)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓.(

)(5)＝1(a≠b)表示焦點在y軸上的橢圓.(

)(6)＝1(a>b>0)與

＝1(a>b>0)的焦距相等.(

)×√×√×√考點自測1.(教材改編)橢圓

＝1的焦距為4，則m＝_____.答案解析4或8由題意知解得m＝4或m＝8.2.(2016·蘇州檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，動點P到定點F(－1,0)的距離與P到定直線x＝－4的距離的比值為.則動點P的軌跡C的方程為__________.答案解析設(shè)點P(x，y)，由題意知

，化簡得3x2＋4y2＝12，所以動點P的軌跡C的方程為

＝1.3.(2016·全國乙卷改編)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的

，則該橢圓的離心率為___.答案解析如圖，由題意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝·2b＝

b.在Rt△FOB中，OF·OB＝BF·OD，即cb＝a·b，解得a＝2c，故橢圓離心率e＝.4.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于

，則C的方程是_________.由題意知c＝1，e＝所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求橢圓方程為

＝1.答案解析5.(教材改編)已知點P是橢圓

＝1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標(biāo)為____________________.答案解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入

＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝

，所以P點坐標(biāo)為

或題型分類深度剖析題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程命題點1利用定義求軌跡例1

(2016·徐州模擬)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是______.答案解析橢圓由條件知PM＝PF，∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF.∴P點的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點的橢圓.幾何畫板展示命題點2利用待定系數(shù)法求橢圓方程例2

(1)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為_____________________.答案解析＋y2＝1或

＋

＝1若焦點在x軸上，設(shè)方程為

＝1(a>b>0).∵橢圓過P(3,0)，∴

＝1，即a＝3，又2a＝3×2b，∴b＝1，∴橢圓方程為

＋y2＝1.若焦點在y軸上，設(shè)方程為

＝1(a>b>0).∵橢圓過點P(3,0)，∴

＝1，即b＝3.又2a＝3×2b，∴a＝9，∴橢圓方程為

＝1.∴所求橢圓的方程為

＋y2＝1或

＝1.(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2()，則橢圓的方程為__________.答案解析設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).∵橢圓經(jīng)過點P1，P2，∴點P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程.①②兩式聯(lián)立，解得∴所求橢圓方程為

＝1.命題點3利用定義解決“焦點三角形”問題例3

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：

＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且

.若△PF1F2的面積為9，則b＝___.答案解析3設(shè)PF1＝r1，PF2＝r2，因為2r1r2＝(r1＋r2)2－(

)＝4a2－4c2＝4b2，又因為所以b＝3.幾何畫板展示引申探究1.在例3中，若增加條件“△PF1F2的周長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程.解答由原題得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故橢圓方程為

＝1.2.在例3中，若將條件“”“△PF1F2的面積為9”分別改為“∠F1PF2＝60°”“

”，結(jié)果如何？解答PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以

－2PF1·PF2cos60°＝

，即(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4c2，所以PF1·PF2＝b2，所以3PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，所以PF1·PF2＝

，又因為所以b＝3.(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>F1F2這一條件.(2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.(3)當(dāng)P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求PF1·PF2；通過整體代入可求其面積等.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2016·鹽城模擬)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為__________.答案解析設(shè)圓M的半徑為r，則MC1＋MC2＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝C1C2，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為

＝1.幾何畫板展示(2)(2016·鎮(zhèn)江模擬)設(shè)F1、F2分別是橢圓

＋y2＝1的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使

＝0(O為坐標(biāo)原點)，則△F1PF2的面積是____.1∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.設(shè)PF1＝m，PF2＝n，則m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，答案解析題型二橢圓的幾何性質(zhì)例4

(1)已知點F1，F(xiàn)2是橢圓x2＋2y2＝2的左，右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么

的最小值是____.2答案解析設(shè)P(x0，y0)，則

＝(－1－x0，－y0)，

＝(1－x0，－y0)，∴

＝(－2x0，－2y0)，∵點P在橢圓上，∴0≤

≤1，∴當(dāng)

＝1時，

取最小值2.(2)(2016·全國丙卷改編)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：

＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為橢圓C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為_____.答案解析設(shè)M(－c，m)，則

，OE的中點為D，則

，又B，D，M三點共線，所以

，a＝3c，e＝.(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系.②利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.(2)求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝

與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是_____.答案解析聯(lián)立方程組解得B，C兩點坐標(biāo)為又F(c,0)，則又由∠BFC＝90°，可得

＝0，代入坐標(biāo)可得c2－

＝0，

①又因為b2＝a2－c2.代入①式可化簡為

，則橢圓離心率為e＝.題型三直線與橢圓例5

(2016·天津)設(shè)橢圓

的右焦點為F，右頂點為A.已知

，其中O為原點，e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程；解答可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以橢圓的方程為

＝1.(2)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直線l的斜率.解答設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y＝k(x－2).設(shè)B(xB，yB)，由方程組

消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得x＝2或x＝由題意，得xB＝

，從而yB＝由(1)知，F(xiàn)(1,0)，設(shè)H(0，yH)，設(shè)M(xM，yM)，由方程組

消去y，因此直線MH的方程為y＝解得xM＝在△MAO中，∠MOA＝∠MAO?MA＝MO，所以直線l的斜率為(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單.(2)設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率).提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.思維升華跟蹤訓(xùn)練3如圖，已知橢圓O：

＋y2＝1的右焦點為F，B，C分別為橢圓O的上，下頂點，P是直線l：y＝－2上的一個動點(與y軸交點除外)，直線PC交橢圓O于另一點M.(1)當(dāng)直線PM過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；解答由題意知B(0,1)，C(0，－1)，焦點F(，0)，當(dāng)直線PM過橢圓O的右焦點F時，直線PM的方程為

＝1，即y＝

－1.聯(lián)立解得

或(舍去)，即點M的坐標(biāo)為().連結(jié)BF，則直線BF的方程為

＝1，即x＋

＝0.又BF＝a＝2，點M到直線BF的距離為故△FBM的面積為S△MBF＝(2)①記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；解答方法一設(shè)P(m，－2)，且m≠0，則直線PM的斜率為k＝則直線PM的方程為y＝－

x－1.聯(lián)立

消去y，得

＝0，解得點M的坐標(biāo)為()，所以k1·k2＝

為定值.方法二

設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0，y0)(x0≠0)，則直線PM的方程為y＝

x－1，令y＝－2，得點P的坐標(biāo)為(－

，－2)，②求

的取值范圍.解答方法一由①知，

＝(－m,3)，令m2＋4＝t>4，因為y＝t－

＋7在t∈(4，＋∞)上單調(diào)遞增，故

的取值范圍為(9，＋∞).因為y＝－t＋

＋7在t∈(0,2)上單調(diào)遞減，令t＝y(tǒng)0＋1∈(0,2)，故

的取值范圍為(9，＋∞).考點分析離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法.高考中求橢圓的離心率問題高頻小考點8典例1

(2015·福建改編)已知橢圓E：

＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點.若AF＋BF＝4，點M到直線l的距離不小于

，則橢圓E的離心率的取值范圍是________.答案解析左焦點F0，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵AF＋BF＝4，∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.設(shè)M(0，b)，則

，∴1≤b＜2.典例2

(14分)(2016·浙江)如圖，設(shè)橢圓

＋y2＝1(a＞1).(1)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.規(guī)范解答解

(1)設(shè)直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段為AM，由

得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－

，[6分](2)假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足AP＝AQ.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2. [8分]由k1≠k2，k1，k2＞0，得1＋

＋a2(2－a2)

＝0，因此

＝1＋a2(a2－2)，

①因為①式關(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞. [12分]因此，任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1＜a≤，所以離心率的取值范圍是(0，]. [14分]課時作業(yè)1.(2016·鹽城模擬)已知橢圓C：

＝1(m>0)的左、右焦點分別為F1、F2，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為

，則橢圓C的方程為_________.∵△AF1B的周長＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a，12345678910111213答案解析2.(2016·蘇北四市一模)已知橢圓

＝1(a>b>0)，點A、B1、B2、F依次為其左頂點、下頂點、上頂點和右焦點.若直線AB2與直線B1F的交點恰在直線x＝

上，則橢圓的離心率為____.答案解析由題意知直線AB2：

＝1，直線B1F：

＝1，聯(lián)立解得x＝

，若交點在橢圓的右準(zhǔn)線上，則

，即2c2＋ac－a2＝0，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝.123456789101112133.若對任意k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓

＝1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_______________.聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y得(2k2＋m)x2＋4kx＋2－2m＝0，因為直線與橢圓恒有公共點，所以Δ＝16k2－4(2k2＋m)(2－2m)≥0，即2k2＋m－1≥0恒成立，因為k∈R，所以k2≥0，則m－1≥0，所以m≥1，又m≠2，所以實數(shù)m的取值范圍是[1,2)∪(2，＋∞).答案解析12345678910111213[1,2)∪(2，＋∞)4.(2016·南昌模擬)已知橢圓：

＋x2＝1，過點P()的直線與橢圓相交于A，B兩點，且弦AB被點P平分，則直線AB的方程為____________.答案解析9x＋y－5＝012345678910111213設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為A，B在橢圓

＋x2＝1上，即

＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被點P()平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，將其代入上式，得

＋x1－x2＝0，得

＝－9，即直線AB的斜率為－9，所以直線AB的方程為y－

＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0.123456789101112135.(2016·宿遷模擬)已知F1、F2是橢圓

＋y2＝1的兩個焦點，P為橢圓上一動點，則使PF1·PF2取得最大值的點P為______________.答案解析(0,1)或(0，－1)由橢圓定義得PF1＋PF2＝2a＝4，∴PF1·PF2≤()2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2＝2，即P(0，－1)或(0,1)時，PF1·PF2取得最大值.12345678910111213*6.已知兩定點A(－2,0)和B(2,0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為_____.答案解析12345678910111213由題意知，橢圓C的離心率e＝

，求e的最大值，即求a的最小值.由于A，B兩點是橢圓的焦點，所以PA＋PB＝2a，即在直線l上找一點P，使PA＋PB的值最小，設(shè)點A(－2,0)關(guān)于直線l：y＝x＋3的對稱點為Q(x0，y0)，即Q(－3,1)，則PA＋PB≥QB123456789101112137.若橢圓

＝1(a>0，b>0)的焦點在x軸上，過點(2,1)作圓x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程為____________.答案解析設(shè)切點坐標(biāo)為(m，n)，則

＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直線AB的方程為2x＋y－4＝0.∵直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝20，∴橢圓方程為

＝1.123456789101112138.已知P為橢圓

＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點，則PM＋PN的最小值為____.答案解析7由題意知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且PF1＋PF2＝10，從而PM＋PN的最小值為PF1＋PF2－1－2＝7.123456789101112139.(2017·連云港質(zhì)檢)橢圓

＋y2＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若∠F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_____________.設(shè)橢圓上一點P的坐標(biāo)為(x，y)，∵∠F1PF2為鈍角，∴<0，即x2－3＋y2<0，

①答案解析1234567891011121310.已知橢圓

＝1(a>b>0)的離心率等于

，其焦點分別為A，B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在△ABC中，

＝____.答案解析123456789101112133在△ABC中，由正弦定理得因為點C在橢圓上，所以由橢圓定義知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以11.(2016·南京模擬)如圖，橢圓C：

＝1(a>b>0)的右焦點為F，右頂點，上頂點分別為A，B，且AB＝

BF.(1)求橢圓C的離心率；解答由已知AB＝

BF，即

，4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4(a2－c2)＝5a2，12345678910111213(2)若斜率為2的直線l過點(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點，OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程.解答12345678910111213設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由(1)知a2＝4b2，∴橢圓C：

＝1.由

消去y，Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.1234