高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(25)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（25）15.已知、、分別為的三個內(nèi)角、、的對邊長，，且．（1）求角的值；（2）求面積的取值范圍．16.已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.如圖，在斜三棱柱中，平面平面，，四邊形是邊長為2的菱形，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：.（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，當(dāng)軸時，；當(dāng)時，.（1）求C的方程；（2）已知斜率為-1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)，點(diǎn)．若，是否存在到直線l的距離的P點(diǎn)？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足：，①求證：；②求證：.

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（25）15.已知、、分別為的三個內(nèi)角、、的對邊長，，且．（1）求角的值；（2）求面積的取值范圍．【答案】（1）2π（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)條件，用正弦定理進(jìn)行化簡，再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（2）由正弦定理，結(jié)合三角形的面積公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由條件，可得，由正弦定理，得，所以，所以，因?yàn)?，所以．【小?詳解】由正弦定理，可知，

，∵，∴，∴.16.已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解答；（2）.【解答】【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系，作差可得，即可利用等比數(shù)列的定義求解，（2）根據(jù)錯位相減法求和以及分組求解，結(jié)合等差等比數(shù)列求和求解.【小問1詳解】時，，即.又，也符合，所以時，，即.又，所以，所以，所以數(shù)列成等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，則，所以，所以.17.如圖，在斜三棱柱中，平面平面，，四邊形是邊長為2的菱形，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)題干，先證明平面，從而得到，又因?yàn)?，再得到平面，進(jìn)而得到；（2）在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線與平面中各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用線面夾角公式代入求解即可得到.【小問1詳解】證明：如圖，連接.因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形，，所以為等邊三角形，則.又平面平面，平面平面，平面ACFD，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，，所?因?yàn)椋矫?，所以平?又平面，所以.【小問2詳解】如圖，過作的平行線為軸，結(jié)合（1）知軸，，兩兩垂直.故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則得取，得，則.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又.所以.則.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，當(dāng)軸時，；當(dāng)時，.（1）求C的方程；（2）已知斜率為-1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)，點(diǎn)．若，是否存在到直線l的距離的P點(diǎn)？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解答】【分析】（1）利用通徑公式和橢圓定義，結(jié)合余弦定理即可建立方程，從而可求解橢圓方程；（2）由點(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)可得，設(shè)直線l：，點(diǎn)，，聯(lián)立橢圓方程，消元，利用韋達(dá)定理可得，．根據(jù)，得到．代入斜率公式，得到，再由，求出的取值范圍即可.【小問1詳解】當(dāng)軸時，，即①，當(dāng)時，，在中，，由余弦定理可知，，即，整理，可得，即②，由①②，解得，．所以C的方程為．【小問2詳解】設(shè)直線l：，點(diǎn)，，令，則，，由點(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)，可得，聯(lián)立，消去x，可得，則恒成立，所以，．因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，而，即，所以，而，則，所以，則，即，即，整理，得，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以．令，結(jié)合，解得，則．所以時，點(diǎn)P到直線l的距離．【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：第二問中的關(guān)鍵是能把轉(zhuǎn)化為，由正弦定理，得，從而得到，即，從而利用斜率公式和韋達(dá)定理求解.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足：，①求證：；②求證：.【答案】（1）答案見解答（2）①證明見解答；②證明見解答【解答】【分析】（1）對求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）①構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合（1）中結(jié)論可證得，而此時函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，從而可得，對其變形，結(jié)合累乘法以及不等式的性質(zhì)即可得證；②通過歸納可得，進(jìn)一步通過放縮可得當(dāng)時，，由累加法結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，令，可得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】①當(dāng)時，，令，可得，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以