高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《平面向量的線性運算與數(shù)量積》專項測試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《平面向量的線性運算與數(shù)量積》專項測試卷（含答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．2、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）2．已知向量，滿足，，則______．3、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（文））3．正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．54、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（理））4．已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．5、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（文））5．已知向量，則（

）A． B． C． D．6、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（理））6．向量，且，則（

）A． B． C． D．7、【2022年全國乙卷】已知向量a=(2,1)，b=(?2,4)，則A．2 B．3 C．4 D．58．【2022年全國乙卷】已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．?2 B．?1 C．1 D．29、【2022年新高考1卷】在△ABC中，點D在邊AB上，BD=2DA．記CA=m，CD=A．3m?2n B．?2m+3n10．【2022年新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．?6 B．?5 C．5 D．611、【2022年全國甲卷】已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a12．【2022年全國甲卷】設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且a=1，b=313、（2023年新高考天津卷）7．在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．

題組一、平面向量的線性運算與基本定理的應(yīng)用1-1、（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．1-2、（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）平行四邊形中，點在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．1-3、（2023·山西·統(tǒng)考一模）已知矩形中，為邊中點，線段和交于點，則（

）A． B．C． D．1-4、（2021·山東泰安市·高三三模）已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點滿足，與交于點，若，則（）A． B． C． D．題組二、向量的坐標(biāo)運算2-1、（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，且，則實數(shù)（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或2-2、（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．2-3、（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知向量，，且，則______.2-4、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知平面向量，若，則__________.2-5、（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）已知向量，，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若在上的投影為，則向量與夾角為C．與共線的單位向量只有一個為D．存在，使得題組三、向量的夾角與模3-1、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎矫嫦蛄繚M足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．3-2、（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知平面向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．3-3、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知是單位向量，向量滿足與成角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3-4、（2022·山東青島·高三期末）已知非零向量滿足：，則夾角的值為（）A． B． C． D．題組四、向量的投影4-1、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，則在方向上的投影向量的模長的最大值為（

）A． B．C． D．4-2、（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．4-2、（2023·浙江·校聯(lián)考三模）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或4-3、（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級中學(xué)校考三模）如果平面向量，，則向量在上的投影向量為_____.題組五、向量數(shù)量積的運用5-1、（2023·湖北·校聯(lián)考三模）正的邊長為2，，則（

）A．2 B． C． D．5-2、（2022·山東日照·高三期末）已知△是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，且，則的值為（）A． B． C．1 D．5-3、（2023·安徽·校聯(lián)考三模）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）A． B． C． D．5-4、（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點P在圓О上運動，則的最小值為（

）A．-1 B．-2 C．1 D．21、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知，，若，則（

）A． B．4 C．3 D．2、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）在平行四邊形中，是邊上中點，則（

）A． B． C． D．3、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知向量，，且，則實數(shù)（

）A．2 B． C．8 D．4、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）在扇形COD中，．設(shè)向量，，則（

）A．－4 B．4 C．－6 D．65、（2023·云南·統(tǒng)考一模）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則（

）A． B． C． D．6、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知，為不共線的非零向量，，，，則（

）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線7、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）正方形邊長為，為中點，點在上，，則（

）A． B． C．5 D．108、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）（多選題）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則向量在上的投影向量為 D．若，則向量與的夾角為銳角9、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┤粝蛄?，，且，共線，則______．10、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)校考一模）已知向量，，若，則______11、（2023·安徽安慶·?？家荒＃┮阎蛄?，設(shè)與的夾角為，則__________.12、（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）設(shè)向量與向量的夾角為，定義與的向量積：是一個向量，它的模．若，，則（

）A．-1 B．1 C． D．參考答案1、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．2、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）2．已知向量，滿足，，則______．【答案】【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.3、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（文））3．正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.4、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（理））4．已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點位于直線異側(cè)時，設(shè)，則：，則當(dāng)時，有最大值.

當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，則當(dāng)時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.5、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（文））5．已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.6、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（理））6．向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.7、【2022年全國乙卷】已知向量a=(2,1)，b=(?2,4)，則A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因為a?b=故選：D8．【2022年全國乙卷】已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】C【解析】：∵|a又∵|∴9=1?4a∴a故選：C.9、【2022年新高考1卷】在△ABC中，點D在邊AB上，BD=2DA．記CA=m，CD=A．3m?2n B．?2m+3n【答案】B【解析】因為點D在邊AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即所以CB=3CD?2故選：B．10．【2022年新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．?6 B．?5 C．5 D．6【答案】C【解析】：c=3+t,4,cosa,c故選：C11、【2022年全國甲卷】已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a【答案】?34【解析】由題意知：a?b=m+3(m+1)=0故答案為：?312．【2022年全國甲卷】設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且a=1，b=3【答案】11【解析】：設(shè)a與b的夾角為θ，因為a與b的夾角的余弦值為13，即cos又a=1，b=3，所以所以2a故答案為：11．13、（2023年新高考天津卷）7．在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．【答案】【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.

題組一、平面向量的線性運算與基本定理的應(yīng)用1-1、（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯誤，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.1-2、（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）平行四邊形中，點在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】在中，，，所以.故選：D1-3、（2023·山西·統(tǒng)考一模）已知矩形中，為邊中點，線段和交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取中點，可證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可確定為上靠近的三等分點，從而根據(jù)向量線性運算推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】取中點，連接，交于點，，，四邊形為平行四邊形，，又為中點，，同理可得：，，.故選：D.1-4、（2021·山東泰安市·高三三模）已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點滿足，與交于點，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知，，，∴，故選：C.題組二、向量的坐標(biāo)運算2-1、（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，且，則實數(shù)（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或【答案】D【詳解】所以，因為，所以，解得或，故選：D.2-2、（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，；故選：A.2-3、（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知向量，，且，則______.【答案】【詳解】已知向量，，，∵，∴，解得，∴，.故答案為：2-4、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知平面向量，若，則__________.【答案】【詳解】，因為，所以，解得.故答案為：2-5、（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）已知向量，，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若在上的投影為，則向量與夾角為C．與共線的單位向量只有一個為D．存在，使得【答案】BD【解析】：向量，，對A：因為，所以，所以，故選項A錯誤；對B：因為在上的投影向量為，即，所以，又，所以，因為，所以向量與夾角為，故選項B正確；對C：與共線的單位向量有兩個，分別為和，故選項C錯誤；對D：當(dāng)時，，此時向量與共線同向，滿足，所以存在，使得，故選項D正確；故選：BD.題組三、向量的夾角與模3-1、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)校考三模）已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為平面向量滿足，，且與的夾角為，則，則，即解得，所以.故選：D3-2、（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知平面向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知.故選：D.3-3、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知是單位向量，向量滿足與成角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，如圖所示：則由，又與的夾角為，.又由，由正弦定理，得，，，，故選：C3-4、（2022·山東青島·高三期末）已知非零向量滿足：，則夾角的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解:因為，所以，所以，因為，所以，由于所以故選：B題組四、向量的投影4-1、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，則在方向上的投影向量的模長的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，，設(shè)的夾角為，，解得：，因為，則，設(shè)，所以設(shè)，，因為，則，化簡得：，所以在方向上的投影向量的模長為：，所以在方向上的投影向量的模長的最大值為：.故選：D.4-2、（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在上的投影向量是計算即可解決.【詳解】由題知，，所以，設(shè)與夾角為，所以在上的投影向量是，故選：.4-2、（2023·浙江·校聯(lián)考三模）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或【答案】ABD【詳解】因為，所以，A正確因為，所以，所以，即為直角三角形，B正確；設(shè)與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量為，C錯誤；因為，設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，D正確，故選：ABD．4-3、（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級中學(xué)?？既＃┤绻矫嫦蛄浚?，則向量在上的投影向量為_____.【答案】【詳解】由已知可得，，，所以，，所以，向量在上的投影向量為.故答案為：.題組五、向量數(shù)量積的運用5-1、（2023·湖北·校聯(lián)考三模）正的邊長為2，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，如圖所示：因為所以，故選：C．5-2、（2022·山東日照·高三期末）已知△是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，且，則的值為（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】把△如下圖放在直角坐標(biāo)系中，由于△的邊長為1，故，點分別是邊的中點，，設(shè)，，，，.故選：B.5-3、（2023·安徽·校聯(lián)考三模）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，所以，，所以．故選：C．5-4、（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點P在圓О上運動，則的最小值為（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，由題意知，，，則，，所以，當(dāng)，即時取最小值，故選：D.1、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知，，若，則（

）A． B．4 C．3 D．【答案】B【分析】由平面向量的坐標(biāo)運算求解，【詳解】因為，所以，所以.故選：B.2、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）在平行四邊形中，是邊上中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為是平行四邊形的邊上中點，所以，所以，所以.故選：C.3、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知向量，，且，則實數(shù)（

）A．2 B． C．8 D．【答案】D【分析】計算出和，利用垂直列出方程，求出實數(shù)的值.【詳解】由題意得，，由．得，所以.故選：D．4、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）在扇形COD中，．設(shè)向量，，則（

）A．－4 B．4 C．－6 D．6【答案】D【分析】運用向量的數(shù)量積運算公式求解即可.【詳解】∵，，∴，，，∴.故選：D.5、（2023·云南·統(tǒng)考一模）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則由題意得，解出方程，檢驗即可.【詳解】設(shè)，則由題意得，即，解得或，設(shè)，當(dāng)時，此時，又因為向量夾角范圍為，故此時夾角為銳角，舍去；當(dāng)時，此時，故此時夾角為鈍角，故選：D.6、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知，為不共線的非零向量，，，，則（

）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量逐項判斷作答.【詳解】，為不共線的非零向量，，，，則，，因，則與不共線，