第16講-拋物線解析版

第16講拋物線1．了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的幾何性質(zhì)．2．通過(guò)拋物線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．3．了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．1定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線，定點(diǎn)F稱(chēng)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱(chēng)為拋物線的準(zhǔn)線.如圖，P在拋物線上，2幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)圖象頂點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)F(F(?F(0,F(0,?準(zhǔn)線方程x=?x=y=?y=離心率e=13一些常見(jiàn)結(jié)論①過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱(chēng)軸且交拋物線于A,B兩點(diǎn)的線段AB，稱(chēng)為拋物線的“通徑”，即|AB|=2p②若A、B在拋物線y2=2px上，F(xiàn)【題型1拋物線的定義與方程】【典題】（1）與圓x－22+y2=1外切，且與直線x+1=0【解析】由圓x－22+y2=1可得：圓心F(2，設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P(x,y)過(guò)點(diǎn)P作PM⊥直線l：x+1=0，則|PF|－r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1因此可得點(diǎn)P的軌跡是到定點(diǎn)F(2,0)的距離和到直線L：x=－2的距離相等的點(diǎn)的集合．由拋物線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是拋物線，定點(diǎn)F(2,0)為焦點(diǎn)，定直線L：x=－2是準(zhǔn)線．∴拋物線的方程為：y2∴所求軌跡方程是y2【點(diǎn)撥】①直線l與圓O相切?圓心O到直線l的距離d=r;②根據(jù)拋物線定義求方程，要確定好焦點(diǎn)與準(zhǔn)線.鞏固練習(xí)1.若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離少1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是．【答案】y2【解析】∵點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離少1∴點(diǎn)P到直線x=－4的距離和它到點(diǎn)(4,0)的距離相等．根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(4,0)為焦點(diǎn)，以直線x=－4為準(zhǔn)線的拋物線，∴p=8，∴P的軌跡方程為y2故答案為：y22.到直線x=－2與到定點(diǎn)P(2,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是()A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．直線【答案】C【解析】動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)P(2,0)的距離與到定直線l：x=－2的距離相等，所以M的軌跡是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，故選：C．【題型2拋物線的圖象及其性質(zhì)】【典題】（1）已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在拋物線上，且M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線點(diǎn)【解析】如圖，分別過(guò)M，N作ME，由PN→=由拋物線定義可知NF=NG再由△PNG∽△PME，得∴MF=2NF，則NF=1∴p故答案為：23【點(diǎn)撥】①本題主要利用了相似三角形的性質(zhì)(A字型)與拋物線的定義得到各線段的比值關(guān)系，平時(shí)解題中要多觀察圖象；②題中線段過(guò)多，顯得有些亂，其實(shí)在考試的非解答題中，遇到這類(lèi)似問(wèn)題，由于題目中沒(méi)出現(xiàn)任一線段長(zhǎng)度，確定p|MF|=FKME后，可設(shè)某一線段等于一具體數(shù)值，比如本題設(shè)PN=1(其實(shí)令【典題】（2）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)，PQ垂直l于點(diǎn)Q，M，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)【解析】如圖所示：連接MF，∵y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為∴FH=2∵M(jìn)，N分別為PQ∵PQ垂直l于點(diǎn)Q∴四邊形MQFR是平行四邊形，∵PQ=PF，∠∴MF⊥PQ，∴四邊形MQHF是矩形，∴FR=MQ=2，故答案為：2．【點(diǎn)撥】①△PQF為等邊三角形?三線合一：MF⊥PQ②M，N分別為PQ，【典題】（3）已知F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，K為C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，設(shè)∠①β的最大值是π4；②tanβ=sinθ；③存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足其中正確結(jié)論的序號(hào)是．【解析】①由于對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)點(diǎn)P(m,n)，則n當(dāng)直線PK與拋物線相切時(shí)，可使β取得最大值．可設(shè)直線PK方程為y=k(x+p由y=k(x+p2則?=k∵β是銳角，∴tanβ=k=1?β=π4②過(guò)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，在Rt△PQK中在Rt△PQF中，∴tanβ=sinθ，即②③在△PKF中，由正弦定理知，若α=2β，則m+p故存在點(diǎn)P符合題意，即③正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)撥】第一問(wèn)是通過(guò)幾何法確定直線PK與拋物線相切時(shí)，可使β取得最大值；第二問(wèn)，涉及到三角函數(shù)tanβ、sinθ之類(lèi)的，可想到構(gòu)造直角三角形；第三問(wèn)，是否存在點(diǎn)P，用了假設(shè)法確定m是否在自身范圍之內(nèi)，即m>0與否.鞏固練習(xí)1.如圖過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若A．2 B．32 C．3 D．6【答案】B【解析】過(guò)A，B|BC|=2|BF|=2BM，∠MCB=30°所以F為AC的中點(diǎn)，故選：B．2.【多選題】拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)M(3,1)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)P(xA．x1x2=1C．|PQ|=254 D．l1與【答案】ABC【解析】如圖所示，由題意可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14,1)∴x1x∴kPQ=由拋物線的定義可知，|PQ|=x1∵l1與∴l(xiāng)1與l2之間的距離d=|故選：ABC．3.已知點(diǎn)A(0,4)，拋物線C：x2=2py(0<p<4)的準(zhǔn)線為1，點(diǎn)P在C上，作PH⊥l于H，【答案】x2【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(0,p2)，∵|PH|=|PA|，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q則Q為AF的中點(diǎn)，∵∠APH=120°，∴∴|PQ|=3∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(∵點(diǎn)P在拋物線C上，化簡(jiǎn)得5p2+112p－192=0∴拋物線方程為x24.【多選題】已知拋物線x2=1A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為(18，B．若直線MN過(guò)點(diǎn)F，則xC．若MF→=λNF→，D．若|MF|+|NF|=32，則線段MN的中點(diǎn)P到x【答案】BCD【解析】拋物線x2=12y的焦點(diǎn)為F根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得：MN過(guò)F時(shí)，則x1x2若MF→=λNF→，則|MN|拋物線x2=12過(guò)點(diǎn)M、N、P分別作準(zhǔn)線的垂線MM'則|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|所以|PP'|=所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP'|?18=故選：BCD．5如圖，點(diǎn)A是曲線y=x2+2(y≤2)上的任意一點(diǎn)，P(0,－2)，Q(0,2)，射線QA交曲線y=18x2于B點(diǎn)，BC垂直于直線y=3A．①②都正確 B．①②都錯(cuò)誤 C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①都錯(cuò)誤，②正確【答案】A【解析】曲線y=x2為雙曲線y22?x2由雙曲線定義知，||AP|－|AQ||=22，又曲線y=18x2即拋物線x過(guò)B作BD垂直直線y=－2于D由拋物線定義，知|QB|+|BC|=|BD|+|BC|=|CD|=5，②故選：A．【題型3最值問(wèn)題】【典題】（1）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線y=x2A．|OA|?|OB|≥2B．|OA|+|OB|≥2C．直線AB過(guò)拋物線y=x2的焦點(diǎn) D．O到直線AB【解析】設(shè)A(∵OA⊥OB，∴OA∴OA∴1+x∴OA=1+當(dāng)且僅當(dāng)x12=1x又|OA|+|OB|≥2|OA|?|OB|≥22，∵直線AB的斜率為x∴直線AB的方程為：y－x當(dāng)x=0時(shí)，y=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,14)不滿(mǎn)足直線AB原點(diǎn)(0,0)到直線AB：(x1?故選項(xiàng)D正確，故選：ABD．【點(diǎn)撥】①題中垂直關(guān)系相當(dāng)了向量數(shù)量積為0，②本題求最值用了基本不等式a+b≥2ab【典題】（2）若點(diǎn)P是曲線C1：y2=16x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是曲線C2：x－42+y2=9【解析】設(shè)P的坐標(biāo)(x,y),由拋物線的方程y2可得焦點(diǎn)F(4,0),恰好為圓：x－42+因?yàn)镻在拋物線上，所以|OP|=|PQ|的最小值為P到圓心的距離減半徑3，即P到準(zhǔn)線的距離減3(P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)取到)，所以|PQ|=x+4－3=x+1，所以|設(shè)t=x+1，則x=t－1，所以PQ當(dāng)t=157，即x=87所以|PQOP|故答案為：158【點(diǎn)撥】求PQOP的最小值，而它是由兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q(1)可先假設(shè)點(diǎn)P是定點(diǎn)，思考點(diǎn)Q在哪里PQOP取到最小值(此時(shí)兩動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題變成了一動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題)，而P是定點(diǎn)，OP是確定的，由拋物線定義可知PQmin(2)接著再思考點(diǎn)P在哪里PQOP取到最小值，即思考x為何值時(shí)，鞏固練習(xí)1.若點(diǎn)A為拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，|AF|=6，點(diǎn)P為直線x=－1【答案】221【解析】由題意可知，由拋物線的定義可知，代入拋物線方程，得yA2=20，設(shè)點(diǎn)F關(guān)于x=－1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，則∴|PA|+|PF|=|PA|+|PE|≥|AE|=(5+32.已知點(diǎn)Q(22,0)及拋物線y=x24上一動(dòng)點(diǎn)P(【答案】2【解析】用拋物線的定義：焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為dy0(當(dāng)且僅當(dāng)F、Q、P共線時(shí)取等號(hào))故y0+|PQ|的最小值是故答案為：2．3.已知點(diǎn)M(2,0)，點(diǎn)P在曲線y2=4x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，則|PM【答案】4【解析】設(shè)P(x,y)，可得|PM當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得最小值4．4.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，M(x1,y1【答案】π3【解析】∵拋物線方程為：y2=4x設(shè)P(m,n)(m>0)，則Q(0,n),∴PQ∴當(dāng)m=12時(shí)，5.已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)，則【答案】2【解析】由拋物線的方程y2=4x可得焦點(diǎn)過(guò)拋物線上的點(diǎn)P作PD垂直于準(zhǔn)線交于D點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)可得PF=PD在△PAD中，所以PDPA最小時(shí)，則cos∠PAF最小，則∠PAF而∠PAF最大時(shí)即過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線相切，設(shè)P(x,y)在第一象限，y>0，由y所以在P處的切線的斜率為1整理可得：2x=x+1，解得x=1，代入拋物線的方程可得y=2所以PFPA的最小值為故答案為：22．一、單選題1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.2．（2007·山東·高考真題）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)做軸，令，則，利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離求解即可.【詳解】如圖所示過(guò)點(diǎn)做軸，令，因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，與軸正向的夾角為，所以由拋物線的性質(zhì)得，解得，所以，故選：B3．（2007·全國(guó)·高考真題）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為該拋物線上三點(diǎn)．若，則（

）A．9 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)，把（三個(gè)焦半徑之和）轉(zhuǎn)化為三個(gè)點(diǎn)線距之和，用上條件即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．又，則，，．由拋物線的定義可得：，，故選：B4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)榍?，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長(zhǎng)度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.二、多選題6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)：直線過(guò)點(diǎn)，所以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡(jiǎn)得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)?，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.三、填空題8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.9．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過(guò)原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得．故答案為：．10．（2005·重慶·高考真題）連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是.（填寫(xiě)所有正確選項(xiàng)的序號(hào)）①菱形;②有3條邊相等的四邊形;③梯形;④平行四邊形;⑤有一組對(duì)角相等的四邊形.【答案】②③⑤【分析】根據(jù)具體的情況在拋物線上進(jìn)行分析,畫(huà)圖即可得到結(jié)果.【詳解】解:關(guān)于選項(xiàng)A,因?yàn)榱庑问?條邊相等,而且對(duì)角線垂直,但是拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn),所以無(wú)法做到兩條直線垂直,且各邊長(zhǎng)度相等,最多三邊相等,故①錯(cuò)誤,②正確;因?yàn)樘菪问侵挥猩系缀拖碌灼叫?作兩條垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線交拋物線于四點(diǎn),順次連接,即可得到,故③正確;連接拋物線上四點(diǎn),只有垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線平行,其他的不可能做到平行且相等,故④錯(cuò)誤;以一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)做兩條射線交拋物線于兩點(diǎn),剩下的角有一個(gè)角取值,故⑤正確.故答案為:②③⑤11．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，若兩曲線相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，則該雙曲線的離心率等于.【答案】【分析】利用拋物線的性質(zhì)，得到M的坐標(biāo)，再帶入到雙曲線方程中，即可求解.【詳解】由題意知：拋物線方程為：在拋物線上，所以在雙曲線上，，又，故答案為：四、解答題12．（2008·浙江·高考真題）已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡．l是過(guò)點(diǎn)的直線，M是C上（不在l上）的動(dòng)點(diǎn)；A、B在l上，，軸（如圖）．(1)求曲線C的方程；(2)求出直線l的方程，使得為常數(shù)．【答案】(1)(2)2x?y＋2＝0【分析】（1）設(shè)N（x,y）為C上的點(diǎn)，進(jìn)而可表示出|NP|，根據(jù)N到直線的距離和|NP|進(jìn)而可得曲線C的方程．（2）先設(shè)，直線l：y＝kx＋k,進(jìn)而可得B點(diǎn)坐標(biāo)，再分別表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根據(jù)求得k.【詳解】（1）設(shè)N（x,y）為C上的點(diǎn)，則，N到直線的距離為．由題設(shè)得，化簡(jiǎn)，得曲線C的方程為．（2）設(shè)，明顯直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx＋k，則B（x,kx＋k），從而．在Rt△QMA中，因?yàn)?，．所以，∴，．?dāng)k＝2時(shí)，，從而所求直線l方程為2x?y＋2＝0，使得為常數(shù)13．（2003·上?！じ呖颊骖}）在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為的直角頂點(diǎn)．已知，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零．(1)求向量的坐標(biāo)；(2)求圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，說(shuō)明理由：若存在，求a的取值范圍．【答案】(1);(2);(3)存在實(shí)數(shù)，.【分析】（1）設(shè)出要求的向量的坐標(biāo)，根據(jù)所給的模長(zhǎng)的關(guān)系和直角三角形兩條直角邊垂直的關(guān)系，寫(xiě)出關(guān)于向量坐標(biāo)的關(guān)系式，解方程，舍去不合題意的結(jié)果，得到向量的坐標(biāo).（2）要求圓關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圓，只要求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可，先根據(jù)向量的坐標(biāo)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的方程,通過(guò)計(jì)算得到結(jié)果.（3）設(shè)出拋物線上關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上且兩點(diǎn)連線與已知直線垂直，寫(xiě)出所設(shè)的點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)方程有解用判別式得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則由,得，解得或.因?yàn)?，所以，解得，得，所?（2）由，得，于是直線方程為，由，得，得圓心為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，所以所求圓的方程為（3）存在實(shí)數(shù),理由如下：設(shè)為拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)，則，得，即為方程的兩個(gè)相異實(shí)根，于是由，得.所以當(dāng)時(shí)，拋物線上總有關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn).故實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．（2005·上海·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，過(guò)A作軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)M作，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義有求p，即可得拋物線方程.（2）由題設(shè)可得、、，寫(xiě)出直線、直線，聯(lián)立求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.（3）討論、兩種情況下的直線與圓的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系得出位置關(guān)系．【詳解】（1）由題設(shè)，，則，故拋物線的方程為.（2）由（1）及已知可得：，故，而，所以直線為，故直線為，則，解得，故.（3）由題意，圓M的圓心是，半徑為2．當(dāng)時(shí)，直線AK為，此時(shí)直線AK與圓M相離，當(dāng)時(shí)，直線AK為，即，圓心M到直線AK的距離，當(dāng)，即時(shí)直線AK與圓M相離；當(dāng)，即時(shí)直線AK與圓M相切；當(dāng)，即時(shí)直線AK與圓M相交．15．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿(mǎn)足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對(duì)稱(chēng)軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因?yàn)?，所以．于是，所以則直線的斜率為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.五、雙空題16．（2005·北京·高考真題）拋物線的準(zhǔn)線方程是．焦點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線和焦點(diǎn)坐標(biāo)的定義直接得到答案.【詳解】拋物線，則，準(zhǔn)線方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為：；一、單選題1．拋物線W：的焦點(diǎn)為F.對(duì)于W上一點(diǎn)P，若P到直線的距離是P到點(diǎn)F距離的2倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】設(shè)出P的橫坐標(biāo)為，利用條件列出方程，去掉不合題意的解，求出.【詳解】由題意得：，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，由拋物線的定義可知：則，解得：或（舍去），從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1故選：A2．過(guò)拋物線：焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則（

）A． B． C．18 D．20【答案】B【分析】依題意拋物線的準(zhǔn)線為，即可求出，從而求出拋物線方程，再由，求出，從而求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出，再根據(jù)焦半徑公式計(jì)算可得.【詳解】依題意拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，所以?huà)佄锞€方程為，則焦點(diǎn)為，又，所以，解得，所以，所以，所以直線的方程為，由，消去整理得，解得、，即，所以.故選：B3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)得，即得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題得，所以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C4．拋物線的焦點(diǎn)與圓C：上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為（

）A．7 B．3 C． D．1【答案】B【分析】確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及圓的圓心和半徑，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)與圓C：上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為：,求得答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，圓C：即，圓心為,半徑，則拋物線的焦點(diǎn)與圓C：上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為：,故選：B5．已知A，B兩點(diǎn)在以F為焦點(diǎn)的拋物線上，并滿(mǎn)足，過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的平行線，與OA交于N點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由，利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)A在第一象限，作垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足分別為，作于C,如圖所示，設(shè)，由拋物線的定義知,在中，，則,所以，所以直線AB的方程為,與拋物線的方程聯(lián)立得，解得，,所以，，故AB的中點(diǎn),直線OA的方程為，令，得，所以MN的長(zhǎng)為故選：C6．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，在準(zhǔn)線上的射影為，，則等于()．A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由拋物線的定義及內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠AFA1=∠A1FK，同理可證∠BFB1=∠B1FK，由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，可得答案．解答：解：如圖：設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，∵A、B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為A1、B1，由拋物線的定義可得，AA1=AF，∴∠AA1F=∠AFA1，又由內(nèi)錯(cuò)角相等得∠AA1F=∠A1FK，∴∠AFA1=∠A1FK．同理可證∠BFB1=∠B1FK．由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，∴∠A1FK+∠B1FK=∠A1FB1=90°，故選B．二、多選題7．平面內(nèi)到定點(diǎn)和到定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.則（

）A．曲線的方程為B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線的定義可判斷曲線C為拋物線，求出其方程，結(jié)合拋物線的性質(zhì)一一判斷各選項(xiàng)，可得答案.【詳解】由拋物線定義，知曲線C是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則焦準(zhǔn)距，故其方程為，故A正確；拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；由知，故C正確；當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，由于拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)點(diǎn)位于原點(diǎn)時(shí)，到直線l的距離最小為1，故點(diǎn)P到直線l的距離，所以D錯(cuò)誤，故選：.8．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出，反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N.下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則MB平分C．若，則 D．若，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線【答案】CD【分析】對(duì)AB：根據(jù)已知條件，求得的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線焦點(diǎn)弦的計(jì)算，以及的長(zhǎng)度關(guān)系，即可判斷；對(duì)CD：根據(jù)已知條件，求得的坐標(biāo)，即可求得，再結(jié)合直線的方程，求得的坐標(biāo)，即可判斷.【詳解】對(duì)A：若，則拋物線方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題可知，此點(diǎn)坐標(biāo)為，又三點(diǎn)共線，則直線的斜率，故直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，即，解得，即，代入拋物線方程可得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：根據(jù)題意，作圖如下：根據(jù)選項(xiàng)A中所求可得，又，故，則△中，，又//，，則，即不平分，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，此時(shí)拋物線方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，又三點(diǎn)共線，且所在直線為，對(duì)，令，解得或，即，則點(diǎn)的坐標(biāo)，故，C正確；對(duì)D：根據(jù)題意，作圖如下：根據(jù)選項(xiàng)C中所求，點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線的方程為：，聯(lián)立可得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)的坐標(biāo)我，且與軸平行，故三點(diǎn)共線，D正確.故選：CD.三、填空題9．拋物線過(guò)點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】/【分析】利用待定系數(shù)法，即可求出，再根據(jù)拋物線焦點(diǎn)的概念，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.10．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為.【答案】2【分析】求出雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用的面積，找到的關(guān)系式，即可求出離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線為,拋物線的準(zhǔn)線為，所以，因?yàn)榈拿娣e為,所以故答案為：11．已知圓：和拋物線：，請(qǐng)寫(xiě)出與和都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的一條直線的方程.（寫(xiě)出一條即可）【答案】（或，或，或，或，或，寫(xiě)出一個(gè)即可）【分析】所求直線l方程可設(shè)為，利用其與圓相切和與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)列方程即可求得的值，進(jìn)而得到直線的方程.【詳解】圓：的圓心，半徑，由題意可得所求直線l斜率存在，其方程可設(shè)為，由，整理得，當(dāng)時(shí)，方程可化為，方程組有一組解，又直線與圓相切，則，或；當(dāng)時(shí)，由直線l與拋物線相切可得，，即，又由直線l與圓相切可得，，即聯(lián)立，整理得解之得或或或則直線l方程為或或或綜上，直線l方程為或，或，或，或，或，故答案為：（或，或，或，或，或，寫(xiě)出一個(gè)即可）12．已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，直線l的傾斜角，l與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，過(guò)F作l的垂線，垂足為D，P為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】8【分析】先設(shè)出直線l的方程并代入拋物線方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件得到直線l過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而得到D在以FG為直徑的圓的上運(yùn)動(dòng)，最后利用拋物線的定義、三角形的三邊關(guān)系及垂線段最短求解．【詳解】如圖，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，則可設(shè)l的方程為，聯(lián)立，整理得，∴，，∴，∴或（舍去），G的坐標(biāo)為．∵，直線l的傾斜角，點(diǎn)D在以FG為直徑的圓的上運(yùn)動(dòng)分別過(guò)P