高中數(shù)學(xué)第一章不等式和絕對(duì)值不等式本講整合課件新人教A版選修

本講整合專題一專題二專題三專題一:不等式的證明本講中證明不等式主要運(yùn)用基本不等式和絕對(duì)值三角不等式.應(yīng)依據(jù)題目特點(diǎn),結(jié)合不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、絕對(duì)值三角不等式等進(jìn)行推理論證.(1)使用不等式的基本性質(zhì)時(shí),要注意條件.(2)使用基本不等式時(shí),要注意拆并項(xiàng)、轉(zhuǎn)化系數(shù)等技巧的應(yīng)用,并注意等號(hào)成立的條件.(3)使用絕對(duì)值三角不等式時(shí),注意拆項(xiàng)和構(gòu)造法的運(yùn)用.專題一專題二專題三例1設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,求證:分析：(1)可直接利用重要不等式進(jìn)行證明;(2)可通過運(yùn)用基本不等式并結(jié)合傳遞性進(jìn)行證明.解：(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立).專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三例2設(shè)f(x)=ax2+bx+c,當(dāng)|x|≤1時(shí),總有|f(x)|≤1,求證|f(2)|≤7.分析：由已知條件出發(fā),對(duì)x取特殊值,得到a,b,c滿足的條件,再利用三角不等式證明.證明：因?yàn)楫?dāng)|x|≤1時(shí),有|f(x)|≤1,所以|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1.又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,則|a+b+c|≤1,|a-b+c|≤1,所以|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤|3f(1)|+|f(-1)|+|3f(0)|≤3+1+3=7.故|f(2)|≤7.專題一專題二專題三變式訓(xùn)練2

若f(x)=x2-x+c(c為常數(shù)),且|x-a|<1.

求證|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).證明：|f(x)-f(a)|=|(x2-x+c)-(a2-a+c)|=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1|,又|x-a|<1,∴|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).專題一專題二專題三專題二:不等式的求解例3解不等式|x+1|>|2x-3|-2.分析：可采用零點(diǎn)分段法求解.專題一專題二專題三變式訓(xùn)練3

解不等式|2x-4|-|3x+9|<1.

專題一專題二專題三例4已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1(a>0).(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式的解集;(2)若此不等式的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：對(duì)于(1),可直接代入a的值,然后利用|ax+b|≤c型絕對(duì)值不等式的解法求解;對(duì)于(2),可轉(zhuǎn)化為最值問題求解.(2)∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|,即|ax-1|+|ax-a|的最小值為|a-1|,∴原不等式解集為R,等價(jià)于|a-1|≥1,∴a≥2或a≤0.又a>0,∴a≥2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,+∞).專題一專題二專題三變式訓(xùn)練4

已知函數(shù)f(x)=|x-1|.

(1)解關(guān)于x的不等式f(x)+x2-1>0;(2)若g(x)=-|x+3|+m,且f(x)<g(x)的解集非空,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1)由題意原不等式可化為|x-1|>1-x2,當(dāng)x=1時(shí),明顯不成立.當(dāng)x>1時(shí),由x-1>1-x2得x>1或x<-2,故x>1;當(dāng)x<1時(shí),由1-x>1-x2得x>1或x<0,故x<0.綜上,原不等式的解集為{x|x<0或x>1}.(2)原不等式等價(jià)于|x-1|+|x+3|<m的解集非空,令h(x)=|x-1|+|x+3|,即h(x)=(|x-1|+|x+3|)min<m.由|x-1|+|x+3|≥|x-1-x-3|=4,則h(x)min=4,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(4,+∞).專題一專題二專題三專題三:最值及恒成立問題例5若不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a對(duì)于一切x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

分析：應(yīng)求出log3(|x-4|+|x+5|)的最小值,令a小于這個(gè)最小值,即為實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：由絕對(duì)值的幾何意義知|x-4|+|x+5|≥9,則log3(|x-4|+|x+5|)≥2,所以要使不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a對(duì)于一切x∈R恒成立,則a<2.答案：(-∞,2)專題一專題二專題三變式訓(xùn)練5

若關(guān)于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

所以要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,應(yīng)有|a|≥3,即a≤-3或a≥3.答案：(-∞,-3]∪[3,+∞)專題一專題二專題三例6設(shè)a>0,b>0,且不等式

恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值等于(

)A.0 B.4 C.-4 D.-2分析：首先將參數(shù)k與變量a,b進(jìn)行分離,即把參數(shù)k放到不等式的一邊,不等式的另一邊是關(guān)于變量a,b的代數(shù)式,然后只需求出關(guān)于變量a,b的代數(shù)式的最值,即可得到參數(shù)k的取值范圍,從而得出k的最小值.專題一專題二專題三答案：C

專題一專題二專題三變式訓(xùn)練6

設(shè)函數(shù)f(x)=|x+2|-|x-2|.

(1)解不等式f(x)≥2;(2)當(dāng)x∈R,0<y<1時(shí),求證|x+2|-|x-2|≤12345678考點(diǎn)1:最值及恒成立問題1.(2015重慶高考)若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a=

.

12345678所以f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)在x=a處取最小值f(a)=a+1,由a+1=5,得a=4,符合a>-1.綜上,實(shí)數(shù)a的值為-6或4.答案：-6或4123456782.(2013天津高考)設(shè)a+b=2,b>0,則

的最小值為

.

123456783.(2017全國(guó)Ⅰ高考)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.解：(1)當(dāng)a=1時(shí),不等式

f(x)≥g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①當(dāng)x<-1時(shí),①式化為x2-3x-4≤0,無解;當(dāng)-1≤x≤1時(shí),①式化為x2-x-2≤0,從而-1≤x≤1;12345678(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等價(jià)于當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必為f(-1)與f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范圍為[-1,1].12345678考點(diǎn)2:不等式證明4.(2017全國(guó)Ⅱ高考)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.解：(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.123456785.(2015全國(guó)Ⅱ高考)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:12345678(2)必要性:若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.12345678考點(diǎn)3:解不等式問題6.(2013陜西高考)設(shè)a,b∈R,|a-b|>2,則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是

.

解析：由不等式性質(zhì)知:|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|b-a|=|a-b|>2,所以|x-a|+|x-b|>2的解集為全體實(shí)數(shù).答案：(-∞,+∞)123456787.(2017全國(guó)Ⅲ高考)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.當(dāng)x<-1時(shí),f(x)≥1無解;當(dāng)-1≤x≤2時(shí),由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;當(dāng)x>2時(shí),由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集為