2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.6立體幾何中的向量方法(一)-證明平行與垂

§8.6立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一

向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為知識(shí)梳理非零2.用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?

.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?

.(3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?

.(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?

.v1∥v2存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u23.用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?

?

.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?

.(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?

?

.v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)平面的單位法向量是唯一確定的.(

)(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.(

)(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.(

)(5)若a∥b，則a所在直線與b所在直線平行.(

)(6)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行.(

)××√√××考點(diǎn)自測(cè)1.(2017·宿遷質(zhì)檢)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是_____.①(－1,1,1) ②(1，－1,1)答案解析③設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，∴x＝y(tǒng)＝z.③正確.2.已知直線l的方向向量為v＝(1,2,3)，平面α的法向量為u＝(5,2，－3)，則l與α的位置關(guān)系是__________.答案解析l∥α或l?α∵v·u＝0，∴v⊥u，∴l(xiāng)∥α或l?α.3.平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝_____.答案解析4∵α∥β，∴兩平面法向量平行，4.(教材改編)設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當(dāng)v＝(3，－2,2)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為_(kāi)______；當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為_(kāi)______.答案解析α⊥βα∥β當(dāng)v＝(3，－2,2)時(shí)，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0?α⊥β.當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，v＝－2u?α∥β.5.(教材改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是_____.答案解析垂直以A為原點(diǎn)，分別以

所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，0)，N(，0,1)，∴ON與AM垂直.題型分類深度剖析題型一利用空間向量證明平行問(wèn)題例1

(2016·揚(yáng)州模擬)如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：PB∥平面EFG.證明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1，2,0).∴＝(2,0，－2)，

＝(0，－1,0)，

＝(1,1，－1)，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.引申探究本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC.證明∵＝(0,1,0)，

＝(0,2,0)，∴，∴BC∥EF.又∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.(1)恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2016·北京海淀區(qū)模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn).求證：MN∥平面A1BD.證明如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1).又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.題型二利用空間向量證明垂直問(wèn)題命題點(diǎn)1證線面垂直例2

如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.證明如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以

所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0).設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，

＝(－1,2，)，

＝(－2,1,0).令x＝1，則y＝2，z＝

，故n＝(1,2，)為平面A1BD的一個(gè)法向量，故AB1⊥平面A1BD.命題點(diǎn)2證面面垂直例3

(2016·鹽城模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn).(1)求證：EF∥平面PAD；證明如圖，取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OF.因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥AB.又ABCD是正方形，所以O(shè)F⊥AD.因?yàn)镻A＝PD＝

，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(，0,0)，F(xiàn)(0，

，0)，D(－

，0,0)，P(0,0，)，B(，a,0)，C(－

，a,0).因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以E易知平面PAD的一個(gè)法向量為

＝(0，

，0)，因?yàn)?/p>

＝(，0，－)，所以EF∥平面PAD.(2)求證：平面PAB⊥平面PDC.證明因?yàn)?/p>

＝(，0，－)，

＝(0，－a,0)，所以

＝(，0，－)·(0，－a,0)＝0，所以

，所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC.又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.證明垂直問(wèn)題的方法(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可，當(dāng)然

，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·淮安模擬)如圖，在多面體ABC－A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝

，B1C1綊

，二面角A1－AB－C是直二面角.求證：(1)A1B1⊥平面AA1C；證明∵二面角A1－AB－C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，∴AA1⊥平面BAC.又∵AB＝AC，BC＝

，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，∴AB，AC，AA1兩兩互相垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB＝2，則A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2).設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，即

取y＝1，則n＝(0,1,0).∴＝2n，即

∥n.＝2n，即

∥n.∴A1B1⊥平面AA1C.(2)AB1∥平面A1C1C.證明易知

＝(0,2,2)，

＝(1,1,0)，

＝(2,0，－2)，設(shè)平面A1C1C的一個(gè)法向量m＝(x1，y1，z1)，令x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1).∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴⊥m.又AB1?平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.題型三利用空間向量解決探索性問(wèn)題例4

(2016·北京)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求證：PD⊥平面PAB；證明∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，且PA，PB?平面PAB，∴PD⊥平面PAB.∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；解答取AD中點(diǎn)O，連結(jié)CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又∵PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵CO?平面ABCD，∴PO⊥CO，∵AC＝CD，∴CO⊥AD.以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，－1,0)，C(2,0,0).則

＝(1,1，－1)，

＝(0，－1，－1)，

＝(2,0，－1).＝(－2，－1,0).設(shè)n＝(x0，y0,1)為平面PCD的一個(gè)法向量.設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ.(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求

的值；若不存在，說(shuō)明理由.解答設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在λ∈[0,1]使得

，因此點(diǎn)M(0,1－λ，λ)，

＝(－1，－λ，λ)，∵BM?平面PCD，∴BM∥平面PCD，∴·n＝0，即(－1，－λ，λ)·＝0，解得λ＝

，∴在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM∥平面PCD，此時(shí).對(duì)于“是否存在”型問(wèn)題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·鎮(zhèn)江模擬)如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點(diǎn).(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；解答如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，依題意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)，所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為.(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解答假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN.連結(jié)AE，如圖所示.因?yàn)?/p>

＝(0,1,1)，可設(shè)

＝(0，λ，λ)，由ES⊥平面AMN，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS＝

時(shí)，ES⊥平面AMN.故線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN，此時(shí)AS＝.典例

(16分)如圖1所示，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如圖2所示.(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求二面角E－DF－C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論.利用向量法解決立體幾何問(wèn)題思想與方法系列19思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答幾何畫(huà)板展示對(duì)于較復(fù)雜的立體幾何問(wèn)題可采用向量法(1)用向量法解決立體幾何問(wèn)題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.(2)兩種思路：①選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運(yùn)算進(jìn)行判斷.②建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問(wèn)題.返回解

(1)AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點(diǎn)，得EF∥AB.又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF. [2分](2)以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，

，1)，F(xiàn)(1，

，0)，

[4分]易知平面CDF的法向量為

＝(0,0,2)，設(shè)平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)，∴二面角E－DF－C的余弦值為. [9分](3)設(shè)P(x，y,0)，則

＝0，又

＝(x－2，y,0)，

＝(－x,－y,0)，∵，∴(x－2)(－y)＝－xy，∴

＋y＝. [12分]把y＝

代入上式得x＝

，∴在線段BC上存在點(diǎn)P(，0)，使AP⊥DE. [16分]返回課時(shí)作業(yè)1.(2016·南京調(diào)研)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ).若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ＝____.答案解析由題意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，123456789101112132.(2016·泰州模擬)設(shè)點(diǎn)C(2a＋1，a＋1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)確定的平面上，則a＝____.答案解析16＝(－1，－3,2)，

＝(6，－1,4).根據(jù)共面向量定理，設(shè)(x、y∈R)，則(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，解得x＝－7，y＝4，a＝16.123456789101112133.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1，－1,2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是____.①P(2,3,3) ②P(－2,0,1)③P(－4,4,0) ④P(3，－3,4)答案解析①逐一驗(yàn)證法，對(duì)于①，

＝(1,4,1)，∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴點(diǎn)P在平面α內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi).123456789101112134.若

，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是______________.答案解析平行或在平面內(nèi)∴AB與平面CDE平行或在平面CDE內(nèi).123456789101112135.設(shè)u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量.若α⊥β，則t＝_____.答案解析5∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.123456789101112136.(2016·蘇州模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝

，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是_____.答案解析平行12345678910111213建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于A1M＝AN＝

，又C1D1⊥平面BB1C1C，所以

＝(0，a,0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量.因?yàn)?/p>

＝0，所以

，又MN?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.123456789101112137.(2016·徐州質(zhì)檢)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個(gè)法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是______.答案解析α∥β設(shè)平面α的法向量為m＝(x，y，z)，由m·＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z，由m·＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.123456789101112138.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果

＝(2，－1，－4)，

＝(4,2,0)，

＝(－1,2，－1).對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④.其中正確的是________.答案解析①②③∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確.又

與

不平行，∴是平面ABCD的法向量，則③正確.∴與

不平行，故④錯(cuò)誤.12345678910111213*9.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)___.答案解析12345678910111213由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則A(0，－1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M(0,0，)，設(shè)P(x，y,0)，∴點(diǎn)P的軌跡方程為y＝.根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為1234567891011121310.(2016·鹽城模擬)如圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn).求證：(1)DE∥平面ABC；證明12345678910111213以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，令A(yù)B＝AA1＝4，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4).取AB中點(diǎn)為N，連結(jié)CN，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴＝(－2,4,0)，

＝(－2,4,0)，∴

，∴DE∥NC，又∵NC?平面ABC，DE?平面ABC.故DE∥平面ABC.12345678910111213(2)B1F⊥平面AEF.證明

＝(－2,2，－4)，

＝(2，－2，－2)，

＝(2,2,0).

＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，

＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.1234567891011121311.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；證明12345678910111213如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OP所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.則O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4).于是

＝(0,3,4)，

＝(－8,0,0)，∴

＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，∴，即AP⊥BC.12345678910111213(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.證明12345678910111213由(1)知AP＝5，又AM＝3，且點(diǎn)M在線段AP上，又

＝(－8,0,0)，

＝(－4,5,0)，

＝(－4，－5,0)，∴，即AP⊥BM，又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC，且BM∩BC＝