高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理1課件新人教版A

第一章§1.1正弦定理和余弦定理1．1.2余弦定理(一)1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考1

知識(shí)點(diǎn)一余弦定理的推導(dǎo)根據(jù)勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，則c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①試驗(yàn)證①式對(duì)等邊三角形還成立嗎？你有什么猜想？答案當(dāng)a＝b＝c時(shí)，∠C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，即①式仍成立，據(jù)此猜想，對(duì)一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.思考2

在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcos

C能解釋為哪兩個(gè)向量的數(shù)量積？你能由此證明思考1的猜想嗎？

答案余弦定理的發(fā)現(xiàn)是基于已知兩邊及其夾角求第三邊的需要．因?yàn)閮蛇吋捌鋳A角恰好是平面向量一組基底的條件，所以能把第三邊用基底表示進(jìn)而求出模長．另外，也可通過建立坐標(biāo)系利用兩點(diǎn)間距離公式證明余弦定理．梳理知識(shí)點(diǎn)二余弦定理的呈現(xiàn)形式1.a2＝

，b2＝

，c2＝

.2.cos

＝cos

＝cos

＝ABCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC每個(gè)公式右邊都涉及三個(gè)量，兩邊及其夾角.故如果已知三角形的兩邊及其夾角，可用余弦定理解三角形.思考1

觀察知識(shí)點(diǎn)二第1條中的公式結(jié)構(gòu)，其中等號(hào)右邊涉及幾個(gè)量？你認(rèn)為可用來解哪類三角形？知識(shí)點(diǎn)三適宜用余弦定理解決的兩類基本的解三角形問題答案每個(gè)公式右邊都涉及三個(gè)量，即三角形的三條邊，故如果已知三角形的三邊，也可用余弦定理解三角形.思考2

觀察知識(shí)點(diǎn)二第2條中的公式結(jié)構(gòu)，其中等號(hào)右邊涉及幾個(gè)量？你認(rèn)為可用來解哪類三角形？答案梳理余弦定理適合解決的問題：(1)已知兩邊及其夾角，解三角形；(2)已知三邊，解三角形.題型探究例1已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.類型一余弦定理的證明解答則|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC.所謂證明，就是在新舊知識(shí)間架起一座橋梁.橋梁架在哪兒，要勘探地形，證明一個(gè)公式，要觀察公式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，看有沒有相似的地方.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

例1涉及線段長度，能不能用解析幾何的兩點(diǎn)間距離公式來研究這個(gè)問題？如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcos

A，bsin

A)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

解答類型二用余弦定理解三角形命題角度1已知兩邊及其夾角例2

在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形.(角度精確到1°，邊長精確到1cm)解答根據(jù)余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676.78，所以a≈41(cm).

因?yàn)閏不是三角形中最大的邊，所以C為銳角，利用計(jì)算器可得C≈33°，所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.反思與感悟已知三角形兩邊及其夾角時(shí)，應(yīng)先從余弦定理入手求出第三邊，再利用正弦定理求其余的角.

跟蹤訓(xùn)練2

在△ABC中，已知a＝2，b＝

C＝15°，求A.解答因?yàn)閎>a，所以B>A，所以A為銳角，所以A＝30°.命題角度2已知三邊例3

在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形.(角度精確到1′)解答

∴A≈56°20′.∴B≈32°53′.∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

在△ABC中，sinA∶sin

B∶sin

C＝2∶4∶5，判斷三角形的形狀.解答因?yàn)閍∶b∶c＝sinA∶sin

B∶sin

C＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).所以C為鈍角，從而三角形為鈍角三角形.當(dāng)堂訓(xùn)練1.一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是

則三角形的另一邊長為A.52 B. C.16 D.4√123答案解析123答案解析∵a>b>c，∴C為最小角且C為銳角，

√3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為

123答案解析設(shè)頂角為C，周長為l，因?yàn)閘＝5c，所以a＝b＝2c，√1.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形.(2)已知三邊求三角形的任意一角.2.余弦定理與勾股定理的關(guān)系：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定