2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)高考專題突破四高考中的立體幾何問題講義文蘇教版

高考專題突破四高考中的立體幾何問題考點(diǎn)自測(cè)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點(diǎn)自測(cè)1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為BC中點(diǎn)，E為A1C1中點(diǎn)，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為______.答案解析如圖取B1C1的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，DF，DE，則EF∥A1B1，DF∥B1B，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.平行2.設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”為真命題的是______.答案解析②③由正方體模型可知①④為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理可知②③為真命題.3.(2016·無錫模擬)如圖，在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連結(jié)EF，F(xiàn)B，DE，BD，則幾何體EFC1－DBC的體積為_____.答案解析66如圖，連結(jié)DF，DC1，那么幾何體EFC1－DBC被分割成三棱錐D－EFC1及四棱錐D－CBFC1，那么幾何體EFC1－DBC的體積為V＝

××3×4×6＋

××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求幾何體EFC1－DBC的體積為66.4.如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD為正方形，E、F分別為側(cè)棱VC、VB上的點(diǎn)，且滿足VC＝3EC，AF∥平面BDE，則

＝_____.答案解析2連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)EO，取VE的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，MF，∵VC＝3EC，∴VM＝ME＝EC，又AO＝CO，∴AM∥EO，又EO?平面BDE，∴AM∥平面BDE，又AF∥平面BDE，AM∩AF＝A，∴平面AMF∥平面BDE，又MF?平面AMF，∴MF∥平面BDE，又MF?平面VBC，平面VBC∩平面BDE＝BE，∴MF∥BE，∴VF＝FB，∴＝2.5.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.則直線PA與平面DEF的位置關(guān)系是______；平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是_______.(填“平行”或“垂直”)答案解析平行垂直①因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA.又因?yàn)镻A?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.②因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝

PA＝3，EF＝

BC＝4.又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2＋EF2，又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因?yàn)锳C∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.所以平面BDE⊥平面ABC.題型分類深度剖析題型一求空間幾何體的表面積與體積例1

(2016·全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)證明：AC⊥HD′；證明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得

，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝

，OD′＝

，求五棱錐D′-ABCFE的體積.解答由EF∥AC得.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4，所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝()2＋12＝9＝D′H2，由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC.故OD′⊥OH.又由

得EF＝.五邊形ABCFE的面積所以五棱錐D′-ABCFE的體積(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1正三棱錐的高為1，底面邊長為

，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖).求：(1)這個(gè)正三棱錐的表面積；解答底面正三角形中心到一邊的距離為則正棱錐側(cè)面的斜高為(2)這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.解答設(shè)正三棱錐P－ABC的內(nèi)切球的球心為O，連結(jié)OP，OA，OB，OC，而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r.∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC∴S內(nèi)切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例2

(2016·揚(yáng)州模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn).(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；證明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因?yàn)锳B?平面ABC，所以BB1⊥AB.又因?yàn)锳B⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)求證：C1F∥平面ABE；證明方法一如圖1，取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG＝

AC.因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1F∥EG.又因?yàn)镋G?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE.方法二如圖2，取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)C1H，F(xiàn)H.因?yàn)镠，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以HF∥AB，又因?yàn)镋，H分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，所以EC1綊AH，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F?平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.(3)求三棱錐E－ABC的體積.解答因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝所以三棱錐E－ABC的體積(1)①證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問題，再將“線面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問題.②證明C1F∥平面ABE：(ⅰ)利用判定定理，關(guān)鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行，則先要確定一個(gè)平面C1HF滿足面面平行，實(shí)施線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化.(2)計(jì)算幾何體的體積時(shí)，能直接用公式時(shí)，關(guān)鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時(shí)，注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·南京模擬)如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：(1)平面EFG∥平面ABC；證明由AS＝AB，AF⊥SB知F為SB中點(diǎn)，則EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，因此平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.證明由平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF?平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，則AF⊥BC.又BC⊥AB，AF∩AB＝A，則BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，因此BC⊥SA.題型三平面圖形的翻折問題例3

(2015·陜西)如圖1，在直角梯形

ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝

，AB＝BC＝

AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.(1)證明：CD⊥平面A1OC；證明在題圖1中，連結(jié)EC，因?yàn)锳B＝BC＝

AD＝a，∠BAD＝

，AD∥BC，E為AD中點(diǎn)，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四邊形BCDE為平行四邊形，故有CD∥BE，所以四邊形ABCE為正方形，所以BE⊥AC，即在題圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，從而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1-BCDE的體積為

，求a的值.解答由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱錐A1BCDE的高，由題圖1知，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1-BCDE的體積為平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·蘇州模擬)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC.其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF.(1)證明：CF⊥平面MDF；證明幾何畫板展示因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD.又因?yàn)锳BCD是矩形，CD⊥AD，PD與CD交于點(diǎn)D，所以AD⊥平面PCD.又CF?平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF.(2)求三棱錐M－CDE的體積.解答因?yàn)镻D⊥DC，PC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，所以PD＝

，由(1)知FD⊥CF，在直角三角形DCF中，CF＝

CD＝.如圖，過點(diǎn)F作FG⊥CD交CD于點(diǎn)G，得FG＝FCsin60°所以DE＝FG＝

，故ME＝PE＝所以MD＝題型四立體幾何中的存在性問題例4

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面BMD1N與棱CC1，AA1分別交于點(diǎn)M，N，且M，N均為中點(diǎn).(1)求證：AC∥平面BMD1N.證明連結(jié)MN.因?yàn)镸，N分別為CC1，AA1的中點(diǎn)，所以AN＝

AA1，CM＝

CC1.又因?yàn)锳A1∥CC1，且AA1＝CC1，所以AN∥CM，且AN＝CM，所以四邊形ACMN為平行四邊形，所以AC∥MN.因?yàn)镸N?平面BMD1N，AC?平面BMD1N，所以AC∥平面BMD1N.(2)若AD＝CD＝2，DD1＝

，O為AC的中點(diǎn).BD1上是否存在動(dòng)點(diǎn)F，使得OF⊥平面BMD1N？若存在，求出點(diǎn)F的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.解答當(dāng)點(diǎn)F滿足D1F＝3BF時(shí)，OF⊥平面BMD1N，證明如下：連結(jié)BD，則BD經(jīng)過點(diǎn)O，取BD1的中點(diǎn)G，連結(jié)OF，DG，又D1F＝3BF，所以O(shè)F為三角形BDG的中位線，所以O(shè)F∥DG.因?yàn)锽D＝

＝DD1，且G為BD1的中點(diǎn)，所以BD1⊥DG，所以BD1⊥OF.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AC⊥BD.又DD1⊥底面ABCD，所以AC⊥DD1，又BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，又OF?平面BDD1，所以AC⊥OF.由(1)知AC∥MN，所以MN⊥OF.又MN，BD1是平面四邊形BMD1N的對(duì)角線，所以它們必相交，所以O(shè)F⊥平面BMD1N.對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在這假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).思維升華跟蹤訓(xùn)練4

(2016·鎮(zhèn)江模擬)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求證：D1C⊥AC1；證明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連結(jié)C1D，∵DC＝DD1，∴四邊形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C?平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD?平面ADC1，DC1?平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)問在棱CD上是否存在點(diǎn)E，使D1E∥平面A1BD.若存在，確定點(diǎn)E位置；若不存在，說明理由.解答假設(shè)存在點(diǎn)E，使D1E∥平面A1BD.連結(jié)AD1，AE，D1E，設(shè)AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，連結(jié)MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，又M是AD1的中點(diǎn)，則N是AE的中點(diǎn).又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中點(diǎn).綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E∥平面A1BD.課時(shí)作業(yè)1.(2016·連云港模擬)如圖所示，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β.A，B是直線l上的兩點(diǎn)，C，D是平面β內(nèi)的兩點(diǎn)，且AD⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8.P是平面α上的一動(dòng)點(diǎn)，且有∠APD＝∠BPC，則四棱錐P－ABCD體積的最大值是______.答案解析123456789由題意知，△PAD，△PBC是直角三角形，又∠APD＝∠BPC，所以△PAD∽△PBC.因?yàn)镈A＝4，CB＝8，所以PB＝2PA.作PM⊥AB于點(diǎn)M，由題意知，PM⊥β.令A(yù)M＝t(0<t<6)，則PA2－t2＝4PA2－(6－t)2，所以PA2＝12－4t.所以PM＝

，即為四棱錐P－ABCD的高，又底面ABCD為直角梯形，S＝

×(4＋8)×6＝36.1234567892.(2016·南京模擬)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l⊥α，m?β.給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β；④l⊥β?m∥α.其中正確的命題是______.(填寫所有正確命題的序號(hào))答案解析①④若l⊥α，α∥β，則l⊥β，又m?β，則l⊥m，故①正確；若l⊥α，α⊥β，則l∥β或l?β，又m?β，則l與m可能平行、相交或異面，故②錯(cuò)誤；若l⊥α，m∥α，則l⊥m，又m?β，則l與β可能平行、相交或l?β，故③錯(cuò)誤；若l⊥α，l⊥β，則α∥β，又m?β，則m∥α，故④正確.綜上，正確的命題是①④.1234567893.(2016·蘇州模擬)如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，連結(jié)BD，AC1，B1D1，CD1，B1C，現(xiàn)有以下幾個(gè)結(jié)論：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③CB1與BD為異面直線.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_______.由題意可知，BD∥B1D1，又B1D1?平面CB1D1，BD?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，①正確；易知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，又B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，②正確；由異面直線的定義可知③正確.答案解析①②③1234567894.(2016·泰州二模)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是______.(填寫結(jié)論序號(hào))答案解析②③123456789因?yàn)锽C∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則①錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使條件滿足，所以②正確；當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí)，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，所以③正確；因?yàn)辄c(diǎn)D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④錯(cuò)誤.故答案為②③.1234567895.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

＝_____時(shí)，D1E⊥平面AB1F.答案解析1123456789如圖，連結(jié)A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內(nèi)的射影.∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，又∵D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.連結(jié)DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影，∴D1E⊥AF?DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)，∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AF，即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E⊥平面AB1F，∴＝1時(shí)，D1E⊥平面AB1F.1234567896.(2016·連云港模擬)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且平面BB1C1C⊥平面AB1E.(1)求證：AE⊥BC；證明123456789123456789過點(diǎn)B在平面BB1C1C內(nèi)作BF⊥B1E，∵平面BB1C1C⊥平面AB1E，平面BB1C1C∩平面AB1E＝B1E，∴BF⊥平面AB1E.∵AE?平面AB1E，∴BF⊥AE.又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AE?平面ABC，∴BB1⊥AE.∵BB1∩BF＝B，∴AE⊥平面BB1C1C，∵BC?平面BB1C1C，∴AE⊥BC.(2)求證：A1C∥平面AB1E.證明123456789連結(jié)A1B，設(shè)A1B∩AB1＝G，連結(jié)GE，∵AE⊥BC，AB＝AC，∴BE＝CE，又A1G＝BG，∴GE是△A1BC的中位線，∴GE∥A1C.∵GE?平面AB1E，A1C?平面AB1E，∴A1C∥平面AB1E.1234567897.(2016·南通、揚(yáng)州、泰州聯(lián)考)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD＝2AB＝2BC，M，N分別是棱PA，CD的中點(diǎn).(1)求證：PC∥平面BMN；證明123456789設(shè)AC∩BN＝O，連結(jié)MO，AN，因?yàn)锳B＝

CD，AB∥CD，N為CD的中點(diǎn)，所以AB＝CN，且AB∥CN，所以四邊形ABCN為平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又M為PA的中點(diǎn)，所以MO∥PC.又因?yàn)镸O?平面BMN，PC?平面BMN，所以PC∥平面BMN.123456789(2)求證：平面BMN⊥平面PAC.證明123456789方法一因?yàn)镻C⊥平面PDA，AD?平面PDA，所以PC⊥AD.由(1)同理可得，四邊形ABND為平行四邊形，所以AD∥BN，所以BN⊥PC，因?yàn)锽C＝AB，所以平行四邊形ABCN為菱形，所以BN⊥AC.因?yàn)镻C∩AC＝C，所以BN⊥平面PAC.因?yàn)锽N?平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.123456789方法二連結(jié)PN，因?yàn)镻C⊥平面PDA，PA?平面PDA，因?yàn)镻C∥MO，所以PA⊥MO.又PC⊥PD.因?yàn)镹為CD的中點(diǎn)，所以PN＝

CD，由(1)得AN＝BC＝

CD，所以AN＝PN，又因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，所以PA⊥MN，因?yàn)镸N∩MO＝M，所以PA⊥平面BMN.因?yàn)镻A?平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.所以PC⊥PA.1234567898.(2016·北京東城區(qū)一模)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，AB＝2